Основы квантовой механики
.pdf243
Пусть {|a } ≡ {|a1, a2, . . . , ai, . . . } — некоторый полный ортонормированный базис квантовых состояний системы. Тогда вектор состояния |Ψ(t) может быть записан в виде суперпозиции
|
(18.2) |
|Ψ(t) = Ca(t) |a , |
a
где набор коэффициентов Ca(t) — “волновая функция” в этом представлении, или, что то же самое, — набор амплитуд вероятности обнаружить систему в базисных состояниях. Получим из (18.1) систему дифференциальных уравнений для амплитуд Ca(t). С этой целью подставим разложение (18.2) в уравнение (18.1), а затем умножим скалярно обе его части на базисный вектор |a . В результате получим
|
|
dCa |
(t) |
|
|
|
(18.3) |
|
|
i |
|
|
= |
Haa (t)Ca (t) , |
|||
|
|
|
||||||
|
|
dt |
a |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
ˆ |
|
|
(18.4) |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Haa (t) = a|H(t)|a |
— матрица гамильтониана системы (или, как часто говорят, гамильтонова матрица) в выбранном a-представлении. Гамильтонова матрица обладает важным свойством
Haa (t) = Ha a(t). |
(18.5) |
Оно является следствием того, что гамильтониан любой физической системы — эрмитовый оператор [см. (16.35)].
Итак, исходное уравнение Шредингера (18.1) для абстрактного вектора состояния эквивалентно системе линейных дифференциальных уравнений для амплитуд вероятности Ca(t) в любом a-представлении. Система уравнений (18.3) обычно называется уравнением Шредингера в матричной форме. Следует, правда, отметить, что формальная простота уравнений (18.3) обманчива. Во-первых, число базисных состояний для интересующей нас квантовой системы может быть очень велико (или даже бесконечно). Более того, некоторые индексы ai базисных состояний могут быть непрерывны. Тогда сумма в правой части (18.3) превращается в интеграл и приходится иметь дело с так называемыми интегро-дифференциальными уравнениями. Теория таких уравнений весьма сложна и их удается решить в исключительно редких случаях. Наконец, нужно знать матричные элементы гамильтониана системы Haa (t). Вычисление этих матричных элементов само по себе может быть очень сложной задачей.
И все же система уравнений (18.3) является эффективным средством изучения квантовой динамики. Во многих задачах физический интерес представляют лишь переходы между небольшим числом базисных состояний, т. е. амплитуды вероятности для других состояний очень малы. Это бывает связано, например, с малостью соответствующих матричных элементов гамильтониана и с начальными условиями в рассматриваемой ситуации. В таких случаях система уравнений (18.3) сильно упрощается, поскольку нам нужны всего несколько уравнений для амплитуд состояний, между которыми происходят квантовые переходы. Конечно, построение простых, но реалистичных моделей, включающих небольшое число базисных состояний, требует физической интуиции и некоторого опыта.
244
18.2.Квантовая динамика системы с двумя базисными состояниями
Простейшей системой, для которой матричное уравнение Шредингера удается точно решить, является система с двумя базисными состояниями. Сначала мы приведем это решение, а потом дадим примеры физических систем, которые достаточно хорошо описываются этой моделью.
Предположим, что гамильтониан системы |
ˆ |
не зависит от времени, т. е. от- |
H |
сутствуют внешние переменные поля. Обозначим базисные состояния символами |1 и |2 . Будем считать, что они ортогональны друг к другу и нормированы на единицу:
1|1 = 2|2 = 1, 1|2 = 0. |
(18.6) |
Если при построении модели сначала были выбраны независимые, но не ортогональные состояния |1 и |2 , то, составляя их суперпозицию, всегда можно перейти к взаимно ортогональным состояниям |1 и |2 (см. упражнение 18.2.).
Вектор состояния системы в любой момент времени t можно записать как суперпозицию
|Ψ(t) = C1(t) |1 + C2(t) |2 , |
(18.7) |
поэтому динамика полностью описывается амплитудами вероятности C1(t) и C2(t) обнаружить систему в каждом из базисных состояний. Сами вероятности w1(t) = |C1(t)|2 и w2(t) = |C2(t)|2 удовлетворяют условию нормировки
|
|
w1(t) + w2(t) ≡ |C1(t)|2 + |C2(t)|2 = 1. |
(18.8) |
||||||||
В данном случае система уравнений (18.3) принимает вид |
|
||||||||||
|
|
i |
dC1 |
(t) |
|
C1(t) + H12 C2(t), |
|
||||
|
|
|
|
= H11 |
|
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
(18.9) |
||
|
|
|
dC2 |
(t) |
|
|
|
|
|
||
|
|
i |
|
C2(t) + H21 C1(t). |
|
||||||
|
|
|
|
= H22 |
|
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
Диагональные матричные элементы гамильтониана H11 = 1|H|1 и H22 |
= 2|H|2 |
||||||||||
представляют собой средние значения энергии системы в базисных состояниях, а |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
недиагональный матричный элемент H12 = 1|H|2 обычно называется амплиту- |
|||||||||||
дой перехода из состояния |2 в состояние |1 . Водя сокращенные обозначения |
|||||||||||
|
|
E1 = H11, |
|
E2 = H22, |
A = H12 = H21, |
(18.10) |
|||||
Запишем уравнения (18.9) для амплитуд вероятности в виде |
|
||||||||||
i |
dC1(t) |
= E1 C1(t) + A C2(t), |
i |
dC2(t) |
= E2 C2(t) + A C1(t). |
(18.11) |
|||||
|
|
||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|||
Сначала предположим, что амплитуда перехода A равна нулю. Тогда уравне- |
|||||||||||
ния (18.11) легко решаются: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
C1(t) = C1(t = 0) e−iE1t/ , |
|
|
|
C2(t) = C2(t = 0) e−iE2t/ . |
(18.12) |
246
где C1(0) и C2(0) — заданные амплитуды; они описывают квантовое состояние системы в момент времени t = 0. Заметим, правда, что эти условия не являются независимыми, так как
|
|
2 |
|
|
|
2 |
(18.19) |
|
+ |
= 1. |
|||||
C1(0) |
|
|
C2(0) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Кроме того, в любой момент времени должно выполняться условие нормировки (18.8). Это дает еще два условия на коэффициенты в формулах (18.17) (см. упражнение 18.3.). Наконец, нужно потребовать, чтобы в каждый момент времени удовлетворялись уравнения (18.11). Мы не будем приводить громоздких общих формул для коэффициентов a1, b1, a2, b2, поскольку их проще найти для каждого конкретного случая. Вместо этого рассмотрим один частный, но поучительный пример.
Предположим, что в начальный момент времени t = 0 система находилась в одном из базисных состояний, скажем, — в состоянии |1 . Это означает, что w1(0) = 1, а w2(0) = 0. Как будут изменяться со временем вероятности w1(t) и
w2(t) ? Поскольку в данном случае C1(0) = 1, а C2(0) = 0, из формул (18.17) и (18.18) находим, что
a1 + b1 = 1, a2 + b2 = 0.
С учетом второго равенства выражение (18.17) для амплитуды C2(t) принимает вид
C2(t) = 2i b2 e−iω0t |
eiΩt − e−iΩt |
= 2i b2 e−iω0t sin Ωt. |
|
2i |
|||
|
|
Отсюда для вероятности w2 |
(t) = |C2(t)|2 обнаружить систему в момент времени t |
|||
в базисном состоянии |2 получаем |
|
|
||
w2(t) = 4|b2|2 sin2 Ωt = 2|b2|2 (1 − cos 2Ωt) . |
(18.20) |
|||
Вероятность w1(t) дается, очевидно, формулой w1(t) = 1 − w2(t). |
|
|||
|
Зависимость w2(t) от t показана на |
|||
|
Рис. 18.1. Вероятность обнаружить си- |
|||
|
стему в состоянии |2 периодически из- |
|||
|
меняется со временем с частотой 2Ω, где |
|||
|
Ω зависит от разности (E1 − E2) средних |
|||
|
значений энергии в базисных состояниях |
|||
|
и амплитуды перехода A [см. (18.16)]. |
|||
|
Может |
показаться, |
что w2(t) |
|
|
[см. (18.20)] не обращается тождествен- |
|||
|
но в нуль при A = 0, хотя в этом случае, |
|||
|
как мы уже выяснили, состояние |1 |
|||
|
является стационарным и, следователь- |
|||
|
но, если вероятность w1 |
равна единице |
||
Рис. 18.1. |
в начальный |
момент времени, то она |
||
должна оставаться такой же во все |
||||
|
||||
другие моменты, а вероятность w2 должна быть равна нулю. Нетрудно доказать, |
однако, что при A = 0 коэффициент b2 в формуле (18.20) обращается в нуль, так что никаких парадоксов не возникает.
247
Зависимость вероятности w2(t) от времени, изображенная на Рис. 18.1., довольно интересна. Получается, что вероятность периодически “перекачивается” из состояния |1 в состояние |2 . Говорят, что система постоянно совершает “квантовые переходы” между базисными состояниями.
Уже неоднократно отмечалось, что выбор базисных состояний для описания динамики системы (т. е. выбор представления ) в значительной степени произволен. В частности, для рассматриваемой здесь модели годятся любые два состояния, удовлетворяющие соотношениям (18.6). В общем виде переход от одного представления к другому был сформулирован в разделах 16.1. и 16.2. Поучительно посмотреть, как “работает” эта схема на примере системы с двумя базисными состояниями. В качестве иллюстрации рассмотрим переход к энергетическому представлению.
Прежде всего, построим векторы стационарных состояний. С этой целью решим задачу на собственные состояния и собственные значения гамильтониана. Обозначая вектор стационарного состояния |ϕ , запишем стационарное уравнение Шредингера
ˆ |
(18.21) |
H |ϕ = E |ϕ . |
По предположению, |1 и |2 — базисные векторы состояния, поэтому любое решение уравнения (18.21) можно записать в виде суперпозиции
|ϕ = α1 |1 + α2 |2 |
(18.22) |
с некоторыми комплексными коэффициентами α1 и α2. Подставив это разложение в (18.21), вычислим скалярные произведения обеих частей уравнения с базисными векторами |1 и |2 . С учетом равенств (18.6) получаем систему уравнений для коэффициентов α1 и α2:
(H11 − E) α1 + H12α2 |
= 0, |
(18.23) |
H21α1 + (H22 − E) α2 = 0, |
|
где Hij — матричные элементы гамильтониана по базисным состояниям |1 и |2 . |
|||||||||||||||||
Напомним, что H21 = H12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ненулевые решения системы однородных уравнений (18.23) существуют только |
|||||||||||||||||
в том случае, когда определитель системы равен нулю, т. е. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
H11 − E |
|
|
H12 |
E |
= 0. |
(18.24) |
|||||||||
|
H21 |
H22 |
− |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Раскрывая определитель, находим уровни энергии E, которые занумеруем латин- |
|||||||||||||||||
скими цифрами I и II: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
EI = |
|
|
(H11 |
+ H22) + |
|
|
|
|
(H11 |
− H22)2 + |H12|2, |
|||||||
2 |
4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18.25) |
||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
EII = |
|
|
(H11 + H22) − |
|
(H11 − H22)2 + |H12 |
|2 |
|
||||||||||
|
2 |
4 |
|||||||||||||||
Вспоминая обозначения (18.10) и (18.16), легко проверить, что |
|
|
|
||||||||||||||
EI = (ω0 + Ω) , |
|
|
|
|
|
EII = (ω0 − Ω) , |
(18.26) |
250
18.3.Примеры систем с двумя базисными состояниями
Хотя модель с двумя базисными состояниями является предельно упрощенной, она, тем не менее, неплохо описывает некоторые “настоящие” физические объекты.
Рассмотрим атомы, основными термами которых являются термы с J = 1/2. Например, у атомов водорода (H), атомов щелочных металлов (Li, Na, K, Rb, Cs), меди (Cu), серебра (Ag), золота (Au) и т.д. основным является терм 2S1/2. В
этом состоянии отсутствует орбитальный момент атома (L = 0), так что полный момент определяется спином электронов. Спиновое квантовое число, как легко сообразить, равно S = 1/2. Основным термом атомов бора (B), алюминия (Al) и некоторых других является терм 2P1/2. В этом случае L = 1, а S = 1/2.
Предположим, что атом, основному состоянию которого соответствует J = 1/2,
находится в постоянном магнитном поле , причем дополнительная магнитная
B
энергия электронов в поле мала по сравнению с разностью между соседними уровнями энергии атома в отсутствии поля. В разделе 13.7. мы выяснили, что гамильтониан взаимодействия атома со слабым магнитным полем можно записать в виде
|
|
ˆ |
|
e ˆ |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
(18.33) |
|
|
Wмаг = −µ |
· B = g |
2m |
J |
· B. |
||
ˆ |
— оператор магнитного момента атома, g-множитель Ланде (13.88). Для |
||||||
Здесь µ |
термов 2S1/2 и 2P1/2 имеем, соответственно, g = 2 и g = 2/3. Если J = 1/2, то проекция оператора полного момента на любую ось квантования z может принимать
лишь два значения: Jz |
= /2 (MJ |
= 1/2) и Jz = − /2 (MJ |
= −1/2). |
|
|
|||
Динамика атома в магнитном поле описывается гамильтонианом |
|
|
||||||
|
|
|
ˆ |
ˆ (0) |
ˆ |
(18.34) |
||
|
|
|
H = H |
+ Wмаг, |
||||
где H |
|
— гамильтониан в отсутствие поля. Собственными состояниями H |
|
яв- |
||||
ˆ |
(0) |
|
|
|
|
ˆ |
(0) |
|
ляются состояния |LSJMJ , а собственными значениями — энергии стационарных
состояний ELSJ(0) . Напомним, что оператор (18.33) имеет отличные матричные элементы лишь для состояний |LSJMJ с одинаковыми квантовыми числами L, S и J. Поэтому задача о поведении атома в слабом магнитном поле сводится к модели с двумя базисными состояниями, в качестве которых можно выбрать состояния с различными значениями проекции Jz на ось квантования момента:
|1 = |LSJ, MJ = 1/2 , |
|
|2 = |LSJ, MJ = −1/2 . |
(18.35) |
|
|
|
|
|
|
Если направить ось квантования z вдоль магнитного поля B, то формула (18.33) |
||||
примет вид [см. также (13.90)] |
|
|
|
|
ˆ |
|
eB |
ˆ |
(18.36) |
Wмаг |
= g |
|
Jz . |
|
|
|
2m |
|
В этом случае матричные элементы гамильтониана (18.34) для базисных состояний (18.35) легко вычисляются:
(0) |
|
1 |
g µB B, |
(0) |
− |
1 |
g µB B, H12 |
|
|
(18.37) |
|
H11 = ELSJ |
+ |
|
H22 = ELSJ |
|
|
= H21 |
= 0. |
||||
2 |
2 |