Добавил:

Teana Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

Экономика

Файл:

Эконометрия - Суслов В.И., Ибрагимов Н.М., Талышева Л.П., Цыплаков А.А..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.05.2014

Размер:

1.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

6. Ошибки измерения факторов и фиктивные переменные

6.1. Ошибки измерения факторов

Пусть теперь нарушается гипотеза 2, и независимые факторы наблюдаются с ошибками (здесь используются обозначения первых двух форм уравнения регрессии):

z = z0 + ε , или в разрезе наблюдений: Z = Z0 + ε ,

где z0 и ε - n-вектора-строки истинных значений факторов и ошибок их измерений;

Z0 и ε - соответствующие N× n-матрицы значений этих величин по

наблюдениям.

Предполагается, что истинные значения и ошибки независимы друг от друга (по крайней мере, не скоррелированы друг с другом) и известны их матрицы ковариации (одинаковые для всех наблюдений):

E(z0/,ε ) = 0, E(z0/,z0) = M0, E(ε /ε ) = Ω .

Уравнение регрессии можно записать в следующей форме:


X =	Zα ++ ε − ε α ,

(т.е. остатки теперь не могут быть независимыми от факторов-регрессоров) и в рамках сделанных предположений доказать, что

E(M) = M0 + Ω , E(a) = (M0 + Ω )-1M0α ,

т.е. МНК-оценки теряют в такой ситуации даже свойство несмещенности. Как правило, они преуменьшены по сравнению с истинными значениями (в случае n = 1,

	σ	2	0
E(a) =		z		α ).
E(a) =	σ 2z0	+ σσ 2ε		α ).

Существуют три подхода к оценке параметров регрессии в случае наличия ошибок измерения независимых факторов.

а) Простая регрессия. Если имеется оценка W ковариационной матрицы

ошибок Ω и ошибки регрессоров взаимно независимы с изучаемой переменной, то

можно использовать следующий оператор оценивания:

a = (M-W)-1m,

который обеспечивает несмещенность оценок.

б) Инструментальные переменные. Если имеется n факторов y, которые взаимно независимы как с ошибками уравнения ε , так и ошибками основных

факторов ε , то оценка

a = (Y/ Z)− 1 (Y/ X)

несмещена.

, то применяется регрессия в метрике Ω

Исторически первой в этом классе получена оценка Вальда для случая n = 1. Для получения этой оценки i-я компонента вектора-столбца Y принимается равной единице, если zi больше своей медианы, и минус единице, если - меньше медианы

(при нечетном N среднее значение теряется). В результате получается, что

a = x2 − x1 z2 − z1

где x2 , z2 - средние значения переменных по верхней части выборки, x1 , z1 - их средние значения по нижней части выборки.

Такая оценка более эффективна, если исключить примерно треть “средних” наблюдений.

Позже эта оценка была обобщена: матрицу значений инструментальных переменных было предложено формировать столбцами рангов по наблюдениям

соответствующих переменных z.

в) Ортогональная регрессия. Если ошибки факторов не зависят друг от друга и от ошибок в уравнениях (которые в этом случае интерпетируются как ошибки изучаемой переменной), их дисперсии одинаковы и равны дисперсии ошибки изучаемой переменной, а между истинными значениями переменных имеется линейная зависимость, то можно использовать ортогональную регрессию. Возвращаясь к обозначениям 3-го раздела,

Xα = ε и

(M − λ In)a = 0, a/a = 1.

В этом случае матрица ковариации ошибкок переменных имеет вид

Если матрица ковариации ошибок есть σ 2Ω

σ 2In.

(M − λΩ )a== 0, a/Ω a== 1.

Для доказательства проводится преобразование в пространстве переменных с помощью матрицы C, такой, что Ω = = C− 1/C−− 1 , после которого матрица

ковариации ошибок переменных приобретает вид σ 2In, и становится возможным применить обычную ортогональную регрессию.

Ортогональная регрессия при принятых гипотезах приводит к состоятельным оценкам параметров.

6.2.Фиктивные переменные

Спомощью фиктивных или псевдопеременных, принимающих дискретные, обычно, целые значения, в регрессию включают качественные факторы.

Уточнение обозначений:

Z - N× n-матрица наблюдений за “обычными” независимыми факторами; α - n-вектор-столбец параметров регрессии при этих факторах;

Z0 = 1N ;

β 0 = β .

В этих обозначениях уравнение регрессии записывается следующим образом:

X = Zα ++ Zβ0β 0++ ε .

Пусть имеется один качественный фактор, принимающий два значения (например: “мужчина” и “женщина”, если речь идет о модели некоторой характеристики отдельных людей, или “годы войны” и “годы мира” - в модели, построенной на временных рядах наблюдений, которые охватывают периоды войны и мира, и т.д.). Ставится вопрос о том, влияет ли этот фактор на значение свободного

члена регрессии.
~ F	=	F
Z		{zij}−− N × 2-матрица наблюдений за качественным фактором (матрица
фиктивных		переменных):	zFi1 равен единице, если фактор в i-м наблюдении
принимает 1-е значение,			и нулю в противном случае; zFi2 равен единице, если

фактор в i-м наблюдении принимает 2-е значение, и нулю в противном случае.

~	β 1		- 2-х компонентный вектор-столбец параметров при фиктивных
β =	β		- 2-х компонентный вектор-столбец параметров при фиктивных
	β	2

переменных.

Исходная форма регрессии с фиктивными переменными:
X = Zα ++	0	0	++	~ F~
X = Zα ++	Zββ		++	Z ββ ++ ε .
Поскольку сумма	столбцов			~ F	0
Поскольку сумма	столбцов			матрицы Z	равна Z , оценка параметоров

непосредственно по этому уравнению невозможна.

Проводится преобразование фиктивных переменных одним из двух спасобов. а) В исходной форме регрессии исключается один из столбцов матрицы

фиктивных переменных, в данном случае - первый.

Z F - матрица фиктивных переменных без первого столбца;

		1	1 0
С =		1	1 0
С =	=	0	.
		0	− 1 1

Тогда эквивалентная исходной запись уравнения имеет вид:

X =	Zα ++	[Z0		β	0	+ ε ,
				β
			, Z F ]C ~
				β

и после умножения матрицы Ссправа на вектор параметров получается запись уравнения регресии в которой отсутствует линейная зависимость между факторамирегрессорами:

X = Zα ++

ε ,

Zββ

Z ββ ++

где

0 = ββ 0++ ββ 1 ,β

== ββ

2−− ββ

1 .

После оценки этих параметров можно определить значения исходных параметров β 0 и ~β , предполагая, что сумма параметров при фиктивных переменных (в данном случае β 1 + β 2) равна нулю, т.е. влияние качественного фактора приводит

кколебаниям вокруг общего уровня свободного члена:

β2 = ββ 2,ββ 1== −−ββ 2 ,ββ 0== ββ 0++ ββ 2 .

б) Предполагая, что сумма параметров при фиктивных переменных равна нулю, в исходной форме регрессии исключается один из этих параметров, в данном случае - первый.

β - вектор-стобец параметров при фиктивных переменных без первого

элемента;	− 1
C =	− 1
C =	.
	1
Эквивалентная исходной запись уравнения принимает форму:
	X =	Zα ++	0	0	++	~ F	Cββ ++	ε ,
	X =	Zα ++	Zββ		++	Z	Cββ ++	ε ,

и после умножения матрицы C слева на матрицу наблюдений за фиктивными переменными получается запись уравнения регрессии, в которой также отсутствует линейная зависимость между регрессорами:

X = Zα ++ Zβ0β 0++ ZFββ ++ ε .

После оценки параметров этого уравнения недостающаяся оценка параметра

β 1 определяется из условия β 1 = −ββ 2.

Качественный фактор может принимать больше двух значений. Так, в классической модели выделения сезонных колебаний он принимает 4 значения в

случае поквартальных наблюдений и 12 значений, если наблюдения проводились по

~ F

в этой модели имеет размерность,

соответственно, N× 4 или

месяцам. Матрица Z

N× 12.

Пусть в общем случае качественный фактор принимает k значений. Тогда:

матрица

~ F

имеет

размерность N× k, вектор-столбец

размерность k,

F и ZF - N×

(k− 1), вектора-столбцы

и β

- k− 1;

матрицы

k× (k− 1)

k× (k+1)

матрица

C =

матрица

− 1k− 1

Ik−−

−

1/k−

β 0

~ F

С =

; 1k

β = 0,

, Z

C =

Ik− 1

Можно показать, что

k− 1

− 1/k− 1

, или

1k− 1 (I k−− 1 −

)

0 ,

−

k− 1

0 Ik− 1

I k− 1

−

1k−

где 1k − 1 =

k −

- (k− 1)× (k− 1)-матрица, состоящая из единиц; и далее

k−− 1

показать, что результаты оценки параметров уравнения с фиктивными переменными при использовании обоих указанных подходов к устранению линейной зависимости факторов-регрессоров одинаковы.

После оценки регрессии можно применить t-критерий для проверки значимости влияния качественного фактора на свободный член уравнения.

Если k слишком велико и приближается к N, то на параметры при фиктивных переменных накладываются более жесткие ограничения (чем равенство нулю их суммы). Так, например, если наблюдения проведены в последовательные моменты

времени, и вводится качественный фактор “время”, принимающий особое значение в

~ F =

каждый момент времени, то Z IN , и обычно предполагается, что значение

параметра в каждый момент времени (при фиктивной переменной каждого момента времени) больше, чем в предыдущий момент времени на одну и ту же величину.

Тогда роль матрицы C играет N-вектор-столбец T, состоящий из чисел натурального ряда, начиная с 1, и ~β = Tββ T , где β T - скаляр. Уравнение регрессии с

фактором времени имеет вид (эквивалентная исходной форма уравнения при использовании способа “б” исключения линейной зависимости фиктивных переменных):

X = Zα ++ Zβ0β 0++ Tββ T++ ε .

Метод фиктивных переменных можно использовать для проверки влияния качественного фактора на коэффициент регрессии при любом обычном факторе. Исходная форма уравнения, в которое вводится качественный фактор для параметра

α j, имеет следующий вид:		0	0		~ F~ j
X =	Zα ++			++ Z j
		Zββ			Z αα + + ε ,

где Z j − j-й столбец матрицы Z,

α~ j - k-вектор-столбец параметров влияния качественного фактора на α j;

в векторе α j-я компонента теперь обозначается α 0j - средний уровень параметра α j;

- операция прямого произведения столбцов матриц.

Замечание

Прямое произведение матриц A B, имеющих размерность, соответственно, mA nA и mB nB есть матрица размерности (mAmB) (nAnB) следующей структуры:

	a11B .			.	a1n		A		B
			.				A
.			.	.		.
.				.		.
am		A	1B .	. am		A	n	A		B
		A				A		A

Прямое произведение матриц обладает следующими свойствами:

(A B)(C D) = (AC) (BD), если произведения AC и BD имеют смысл,

(A B)/= = A/ B/ , (A B)− 1= = A−− 1 B−− 1 .

Прямое произведение столбцов матриц применимо к матрицам, имеющим одинаковое число строк, и осуществляется путем проведения операции прямого произведения последовательно с векторами-строками матриц.

Приоритет прямого произведения матриц выше, чем обычного матричного произведения.

При использовании способа “а” эквивалентная исходной форма уравнения имеет вид (форма “а”):

α 0j

+ ε ,

X = Z

, Z

Zββ

α~ j

− j

−− j

где Z− j - матрица Z без j-го столбца,

α − j - вектр α без j-го элемента;

а в случае применения способа “б” (форма “б”):
		0 0		~ F	j	ε .
X =	Zα ++		++ Z j
		Zββ		Z	Cαα + +

Все приведенные выше структуры матриц и соотношения между матрицами и векторами сохраняются.

Вуравнение регрессии можно включать более одного качественного фактора.

Вслучае двух факторов, принимающих, соответственно, k1 и k2 значения, форма “б” уравнения записывается следующим образом:

X = Zα ++ Zβ0β 0++ Z1ββ 1++ Z2ββ 2++ ε ,

где вместо “F” в качестве индекса качественного фактора используется его

номер.

Это уравнение может включать фиктивные переменные совместного влияния качественных факторов (взаимодействия фактров). В исходной форме компонента

совместного влияния записывается следующим образом:
	Z~ 1	Z~β2~β 12 ,
~ 12	Z~ 1	Z~β2~β 12 ,
~ 12	- k1× k2-вектор-столбец (β 12		, ...,ββ 12	,ββ 12	, ...,ββ 12	, ...,ββ 12	, ...,ββ 12		/	,
где β	- k1× k2-вектор-столбец (β 12		, ...,ββ 12	,ββ 12	, ...,ββ 12	, ...,ββ 12	, ...,ββ 12		)	,
	11		1k2	21	2k2	k1 1		k1k2
а β 12	- параметр при фиктивной переменной, которая равна 1,							если 1-й
i1 i2

фактор принимает i1-е значение, а 2-й фактор - i2-е значение, и равна 0 в остальных

случаях (вектором-столбцом наблюдений за этой переменной является (k1(i1-1)+i2)-
~	1	~	2
				).
й столбец матрицы Z		Z
Как и прежде, вектор параметров, из которого исключены все компоненты,

линейно выражаемые через остальные, обозначается β 12 . Он имеет размерность
(k1− 1)× (k2− 1) и связан с исходным вектором параметров таким образом:
~	12	=	1	2		12	,
β			С	С	ββ
где C1 и C2 - матрицы	размерности				k1× (k1-1) и k2× (k2-1), имеющие

описанную выше структуру (матрица C).

Теперь компоненту совместного влияния можно записать следующим

образом:

(Z~ 1 Z~ 2 )(C1 C2 )β 12= = (Z~ 1C1 ) (Z~ 2C2 )ββ 12= = Z1 Z2ββ 12= = Z12ββ 12 ,

а уравнение, включающее эту компоненту (форма “б”) -

ε .

X = Zα ++ Zββ

Z ββ

В общем случае имеется L качественных факторов, j-й фактор принимает kj значений. Пусть упорядоченное множество {1,2,...,L} обозначается F, а J - его

подмножества. Общее их количество, включая пустое подмножество, равно 2L. Каждому такому подмножеству взаимно однозначно соответствует число, например,

в системе исчисления с основанием max k j , и их можно упорядочить по

возрастанию этих чисел. Если пустое подмножество обозначить 0, то можно

записать J = 0,1,...,L,{1,2},...,{1,L},{2,3},...,{1,2,3},...,F. Тогда уравнение

регрессии записывается следующим образом:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Экономика