- •Оглавление
- •Введение
- •Глава 1. Особенности регрессионного анализа для стохастических объясняющих переменных
- •Глава 2. Стационарные ряды. Модели ARMA
- •2.1. Общие понятия.
- •2.2. Процесс белого шума
- •2.3. Процесс авторегрессии
- •2.4. Процесс скользящего среднего
- •2.6. Модели ARMA, учитывающие наличие сезонности
- •Глава 3. Подбор стационарной модели ARMA для ряда наблюдений
- •3.1. Идентификация стационарной модели ARMA
- •3.2. Оценивание коэффициентов модели
- •3.3. Диагностика оцененной модели
- •Глава 4. Регрессионный анализ для стационарных объясняющих переменных
- •4.1. Асимптотическая обоснованность стандартных процедур
- •4.2. Динамические модели
- •4.3. Векторная авторегрессия
- •4.4. Некоторые частные случаи динамических моделей
- •Глава 5. Нестационарные временные ряды
- •5.1. Нестационарные ARMA модели
- •5.2. Проблема определения принадлежности временного ряда классу TS рядов или классу DS рядов
- •5.3. Различение TS и DS рядов в классе моделей ARMA. Гипотеза единичного корня.
- •Глава 6. Процедуры для различения TS и DS рядов
- •6.1. Предварительные замечания
- •6.2. Критерии Дики – Фуллера
- •6.3. Расширенные критерии Дики - Фуллера
- •6.4. Краткий обзор критериев Дики – Фуллера
- •6.5. Некоторые другие сочетания DGP и SM
- •6.6. Ряды с квадратичным трендом.
- •6.7. Многовариантная процедура проверки гипотезы единичного корня
- •6.8. Обзор некоторых других процедур
- •6.8.1. Критерий Филлипса – Перрона
- •6.8.2. Критерий Лейбурна
- •6.8.3. Критерий Шмидта – Филлипса.
- •6.8.4. Критерий DF-GLS
- •6.8.5. Критерий Квятковского – Филлипса – Шмидта – Шина (KPSS)
- •6.8.6. Процедура Кохрейна (отношение дисперсий)
- •6.9. Некоторые проблемы, возникающие при различении TS и DS гипотез
- •6.9.1. Коррекция сезонности
- •6.9.2. Протяженность ряда и мощность критерия
- •6.9.3. Проблема согласованности статистических выводов при различении TS и DS гипотез
- •6.9.4. Наличие нескольких единичных корней
- •6.10. Критерий Перрона и его обобщение
- •6.10.1. Критерий Перрона
- •6.10.2. Обобщенная процедура Перрона
- •Глава 7. Регрессионный анализ для нестационарных объясняющих переменных
- •7.1. Проблема ложной регрессии
- •7.2. Коинтегрированные временные ряды. Модели коррекции ошибок
- •7.4. Оценивание коинтегрированных систем временных рядов
- •Глава 8. Процедура Йохансена
- •8.1. Оценивание ранга коинтеграции
- •8.2. Оценивание модели коррекции ошибок
- •Заключение
- •Список литературы
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru |
29 |
|
6.8.2.Критерий Лейбурна
Вработе [Leybourne (1995)] предлагается вычислять значения статистики критерия
Дики – Фуллера DF для исходного ряда xt и для ряда, получаемого из исходного обращением времени, и затем взять максимум DFmax из двух полученных значений. Лейбурн изучил асимптотическое распределение статистики DFmax и построил таблицы критических значений при T = 25, 50, 100, 200, 400 для моделей с (линейным) трендом и без тренда. Таблицы получены моделированием в предположении независимости и одинаковой распределенности ошибок (инноваций). Однако автор утверждает, что ими можно пользоваться и в рамках расширенного варианта критерия Дики – Фуллера. Критерий Лейбурна обладает несколько большей мощностью по сравнению с критерием Дики – Фуллера.
Пример
При анализе стационарного ряда ST_3 по 100 наблюдениям мы получили значение статистики Дики – Фуллера DF = – 3.207 . Для обращенного ряда значение статистики Дики – Фуллера равно – 3.352. Максимум из этих двух значений, равный – 3.207, остается выше 5% критического уровня –3.45, рассчитываемого по таблицам Фуллера. Однако 5% критический уровень для максимума приблизительно равен (по Лейбурну)
– 3.15, и это дает возможность отвергнуть гипотезу единичного корня для ряда ST_3 уже на 5% уровне.
6.8.3.Критерий Шмидта – Филлипса.
Вработе [Schmidt, Phillips (1992)] авторы строят критерий для проверки гипотезы DS (в форме гипотезы единичного корня) в рамках модели
xt =ψ +ξ t + wt ,
где
wt = β wt−1 +ε t , t = 2,...,T .
Это удобно тем, что здесь в любом случае (β = 1 или β ≠ 1) параметр ψ представляет уровень, а параметр ξ представляет тренд. При этом распределения статистик критерия и при нулевой (DS) и при альтернативной (TS) гипотезах не зависят от мешающих параметров ψ, ξ и σε . Асимптотические распределения выводятся при тех же условиях, что и в критерии Филлипса – Перрона, и при ширине окна l порядка T1/2. Вместо линейного тренда в модели можно использовать и полиномиальный тренд. Более полное описание этого критерия и таблицу критических значений можно найти в [Maddala, Kim (1998), стр.85]. Здесь мы ограничимся только рассмотрением примера его применения.
Пример
Опять обращаясь к анализу ряда ST_3 по 100 наблюдениям, находим значение статистики критерия Шмидта – Филлипса: – 3.12. В то же время, 5% критическое значение равно – 3.06. Это дает возможность отвергнуть гипотезу единичного корня на 5% уровне.
www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru |
30 |
|
6.8.4. Критерий DF-GLS
Этот критерий, асимптотически более мощный, чем критерий Дики – Фуллера, был предложен в работе [Elliott, Rothenberg, Stock (1996)]. Критерий DF-GLS проверяет (см. [Maddala, Kim (1998)]) нулевую гипотезу a0 = 0 в модели
∆ydt= a0 ydt–1+a1∆ydt–1+ + ap∆ydt–p+error,
где ydt - “локально детрендированный” ряд (подробности см. в цитированной работе).
Пример |
|
Продолжая предыдущий пример, вычисляем статистику критерия |
DF-GLS. Ее |
значение равно – 3.246, что меньше 5% критического уровня – |
2.89. Гипотеза |
единичного корня отвергается на 5% уровне, причем более уверенно, чем в случаях критериев Лейбурна и Шмидта-Филлипса.
6.8.5. Критерий Квятковского – Филлипса – Шмидта – Шина (KPSS)
Этот критерий, предложенный в работе [Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin (1992)],
в качестве нулевой берет гипотезу TS. Рассмотрение ведется в рамках модели
Ряд = Детерминированный тренд + Стохастический тренд + Стационарная ошибка.
Стохастический тренд представляется случайным блужданием, и нулевая гипотеза предполагает, что дисперсия инноваций, порождающих это случайное блуждание, равна нулю. Альтернативная гипотеза соответствует предположению о том, что эта дисперсия отлична от нуля, так что анализируемый ряд принадлежит классу DS рядов. В такой формулировке предложенный критерий является LM критерием для проверки указанной нулевой гипотезы.
Как и в критерии Филлипса-Перрона, требования на ошибки здесь менее строгие, чем в критерии Дики - Фуллера. Однако при применении данного критерия возникает проблема выбора ширины окна l в оценке Newey-West, поскольку значения статистики критерия довольно чувствительны к значению l. Сами авторы в цитируемой статье рассматривают варианты выбора ширины окна, следующие рекомендациям Шверта (см. [Schwert (1989)]).
Подробное описание критерия KPSS можно найти вместе с таблицей критических значений в [Maddala, Kim (1998), стр.120-122].
Пример
При анализе ряда ST_3 по 100 наблюдениям значение статистики критерия KPSS с l = 3 равно 0.157. В рамках этого критерия нулевая гипотеза о том, что мы имеем дело с TS рядом, отвергается, если наблюдаемое значение статистики критерия превышает критический уровень. По таблицам, предусматривающим наличие линейного тренда, находим: 5% критический уровень равен 0.146, так что TS гипотеза отвергается в пользу DS гипотезы. Такой вывод противоречит статистическим выводам, полученным при применении критериев Лейбурна, Шмидта-Филлипса и DF-GLS, и иллюстрирует трудности с различением TS и DS рядов, имеющих похожие реализации.
www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm
Эконометрика. Введение в регрессионный анализ временных рядов. В.П.Носко www.iet.ru |
31 |
|
6.8.6. Процедура Кохрейна (отношение дисперсий)
Эта процедура, предложенная в работе [Cochrane (1998)], основывается на изучении характера поведения отношения дисперсий
VRk = Vk V1
(VR – variance ratio), где
Vk = 1k D(xt − xt−k ) .
Если xt − случайное блуждание, то тогда VRk = 1 , а если xt − процесс, стационарный
относительно линейного тренда (или просто стационарный), то тогда VRk → 0 при k →
∞.
При работе с реальными данными дисперсии заменяются их состоятельными оценками и полученное отношение умножается еще на T / (T − k + 1) для достижения несмещенности полученной оценки для VRk . Затем строится график значений полученных оценок для VRk при различных k = 1,…, K и по поведению этого графика делаются выводы о принадлежности ряда классу TS или DS, имея в виду различия в поведении этого графика для этих двух классов временных рядов.
Другой вариант работы с реальными данными состоит в использовании равносильного представления статистики отношения дисперсий VRk :
k |
|
|
j |
|
||
VRk =1+ 2∑ 1 |
− |
|
|
rj , |
||
k +1 |
||||||
j=1 |
|
|
|
где rj − значение на лаге j автокорреляционной функции ряда разностей ∆xt = xt − xt–1
.
Пример
Обратимся опять к реализации ST_3 ряда, стационарного относительно линейного тренда, по которой оказалось затруднительным вынести определенное решение относительно принадлежности к классу TS или к классу DS модели, порождающей эту реализацию. Привлечем к решению этого вопроса процедуру Кохрейна.
1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
1.0 |
|
|
|
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
VARRATIO
Поведение отношения дисперсий говорит в пользу TS гипотезы.
Для сравнения приведем аналогичный график отношения дисперсий для реализации WALK_2 случайного блуждания со сносом:
www.iet.ru/mipt/2/text/curs_econometrics.htm