1. Нулевой синдром указывает на то, что принятая кодовая комбинация является разрешенной, т. Е. Обнаруживаемых ошибок нет. Всякому ненулевому синдрому соответствует определенное расположение ошибок.

Достаточно ли знание синдрома для исправления ошибки? В общем случае - нет. Требуется еще знать, на какой символ необходимо заменять ошибочный. Но для двоичных кодов исправление ошибки производится единственным образом — инверсией символов (О заменяется на 1 и 1 на 0), поэтому знание синдрома является необходимым и достаточным условием для исправления ошибок в двоичных кодах.

Таким образом, синдромное декодирование двоичных кодов сводится к вычислению тем или другим способом синдрома, по которому обнаруживаются и исправляются ошибки. Десятки предложенных до настоящего времени корректирующих кодов как раз и отличаются способами формирования проверочных символов и вычисления синдрома при декодировании.

Для определения синдрома циклического кода достаточно поделить принятую кодовую комбинацию на порождающий полином.. Остаток от деления и является синдромом. Если принятая комбинация — разрешенная, то остаток от деления будет нулевым. Ненулевой остаток свидетельствует о наличии в принятой комбинации ошибок.

Взаимосвязь между синдромом (остатком) и ошибочным символом находится достаточно просто. Необходимо взять любую разрешенную кодовую комбинацию, ввести ошибку в определенный символ и выполнить деление на G(x). Полученный остаток (синдром) и будет указывать на ошибку в этом символе. Для циклического кода (7,4) взаимосвязь между синдромом и ошибочным символом при различных порождающих полиномах приведена в табл. 2. Пользуясь этой таблицей, по синдрому можно найти местоположение ошибки и исправить ее.

Таблица 2

Разделим принятую кодовую комбинацию на порождающий полином:

Получен остаток .

Данный остаток С(х) соответствует коду 100.

По таблице 2 находим, что синдрому С (х)= х² =100 соответствует ошибочный символ х². Проивертировав его в В_пр(х) = 1011000, получим кодовую комбинацию без ошибки

В_пр(х)= 1011100.

Выполним проверку делением

Остатка нет, поэтому ошибка исправлена верно.