Системный анализ в управлении - Анфилатов В.С., Емельянов А.А., Кукушкин А.А. (под ред. Емельянова А.А

мы по одному показателю ведет к понижению качества по дру­ гому, такая постановка бьша признана некорректной для боль­ шинства практически важных приложений. В самом деле, пусть система передачи информации оценивается по двум показате­ лям: пропускной способности у^ и достоверности передачи дан­ ных д'2- Известно, что повышение достоверности передачи данных связано с использованием служебной информации (ал­ горитмы восстановления после сбоев, помехоустойчивое коди­ рование и т.д.), которая приводит к снижению пропускной спо­ собности системы передачи. Поэтому некорректно форму­ лировать задачу одновременного повышения качества по обоим показателям.

Таким образом, наличие неоднородных связей между отдель­ ными показателями сложных систем приводит к проблеме коррек­ тности критерия превосходства к необходимости идти на ком­ промисс и выбирать для каждой характеристики не оптимальное значение, а меньшее, но такое, при котором и другие показатели тоже будут иметь приемлемые значения.

Для решения проблемы корректности критерия превосходства были разработаны методы количественной оценки систем:

•методы теории полезности;

•методы векторной оптимизации;

•методы ситуационного управления, инженерии знаний. Методы теории полезности основаны на аксиоматическом

использовании отношения предпочтения множества векторных оценок систем.

Методы векторной оптимизации базируются на эвристичес­ ком использовании понятия векторного критерия качества сис­ тем (многокритериальные задачи) и включают методы главного критерия, лексикографической оптимизации, последовательных уступок, скаляризации, человеко-машинные и другие методы. При решении задач векторной оптимизации векторный (многокомпо­ нентный) критерий эффективности, выраженный через показате­ ли исходов операции, заменяют скалярным на основе какой-либо функции свертки.

Методы ситуационного управления, инженерии знаний осно­ ваны на построении семиотических моделей оценки систем. В таких моделях система предпочтений ЛПР формализуется в виде

2.5.1. ОЦЕНКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ПОЛЕЗНОСТИ

При аксиоматическом подходе к оценке систем на основе те­ ории полезности используется метод свертывания векторного критерия в скалярный. Отличие данного подхода от других со­ стоит в том, что свертывание производится на основе аксиома­ тизации предпочтений ЛПР. Естественные отношения порядка на шкальных значениях критериев здесь не используются, так как все компоненты векторного критерия на основе предпочтений ЛПР преобразуются (в общем случае нелинейно) в функции по­ лезности компонентов и лишь затем осуществляется свертывание.

В теории полезности исходят из того, что критерий эффек­ тивности предназначен для выявления порядка предпочтений на альтернативах (исходах операции), что позволяет обеспечить обоснованный выбор решения.

Выявить формально отношение предпочтения или безразли­ чия непосредственным сравнением альтернатив затруднительно: показатели исходов операции многочисленны, имеют разный физический смысл и разные шкалы измерений (стоимость изго­ товления, численность обслуживающего персонала, коэффици­ ент технической готовности, пропускная способность, вероят­ ность вскрытия направления связи при передаче сообщений и т.п.).

Было бы очень удобно иметь для оценки исходов какую-то единую меру что-то вроде денег. Однако деньги тоже не высту­ пают универсальной мерой ценности. С помощью их не все мож­ но оценивать (репутацию, настроение и т.д.). Кроме того, они обеспечивают измерение по равномерной шкале (100 руб. в пять раз ценнее, чем 20 руб.). Вместе с тем известно, что иногда цен­ ность денежной суммы возрастает непропорционально ее вели­ чине. Поскольку в нашей практике нет универсальной меры, об­ ладающей физическим смыслом и позволяющей соизмерить ис­ ходы операций по неравномерной шкале, а потребность в ней существует, то остается одно ввести какую-то искусственную меру. Такая мера определяется через полезность альтернатив (ис­ ходов). Большинство людей используют сравнительно простой подход к оценке альтернатив упорядочение их по возрастанию

134 Глава 2

полезности от наименее полезных до наиболее полезных. Свое отношение к альтернативам люди могут выразить и количествен­ но, приписав каждому исходу некоторое число, определяющее его относительную предпочтительность. Например, наименее полез­ ный исход может быть отражен числом 1, следующий числом 2 и т.д., до наиболее полезного исхода.

Таким образом, полезность исхода операции это действи­ тельное число, приписываемое исходу операции и характеризу­ ющее его предпочтительность по сравнению с другими альтер­ нативами относительно цели.

Зная возможные альтернативы с их показателями полезнос­ ти, можно построить функцию полезности, которая дает основу для сравнения и выбора рещений. Функция полезности представ­ ляет собой числовую ограниченную функцию F(a), определенную на множестве альтернатив А - {о^}, fc = 1, 2, ... , /, так, что Да,.) = Да.), когда альтернативы а,- и а неразличимы (а,. ~ а), т.е. нельзя отдать предпочтение ни тому, ни другому исходу, и F(a^) > ¥{а^), когда альтернатива а, предпочтительнее альтерна­ тивы o-Acii >- а ) , как это, например, показано на рис. 2.8.

Д4)

Д2)=ДЗ)

Рис. 2.8. Функция полезности

Возникает вопрос, можно ли с математической точки зрения доказать существование функции полезности в виде отображе­ ния упорядоченного множества альтернатив А в множество дей­ ствительных чисел (р: А -* R^, обеспечив тем самым естественное упорядочение всех альтернатив. В теории полезности доказыва­ ется, что при вполне естественных допущениях относительно предпочтений ЛПР такая функция существует. Предпочтения ЛПР формулируются в виде аксиом. Поскольку системы пред­ почтений у разных ЛПР могут различаться, то разные аксиома­ тики приводят к различным видам свертки и, следовательно, фун­ кция полезности не единственна. Причина заключается в том, что отсутствуют определения нулевой полезности, единицы полезно­ сти и щкалы полезности (можно произвольно выбирать нуль, еди­ ницу и шкалы измерения полезности альтернатив).

Рассмотрим основные аксиомы теории полезности.

А к с и о м а 1. Измеримость. Каждому альтернативному ис­ ходу Oj может быть поставлено в соответствие неотрицательное действительное число /?,-, рассматриваемое как мера относитель­ ной полезности исхода а,-, / = 1,..., и, О <Р;< 1.

А к с и о м а 2. Сравнимость. Любые два исхода (альтернати­ вы) а- и а- сравнимы: либо один исход предпочтительнее другого, либо исходы одинаково предпочтительны (эквивалентны). Дру­ гими словами, при сравнении двух альтернатив а^ и а- возможен один из трех выводов: предпочтительнее альтернатива а,; между альтернативами а,- и а нет предпочтительности; предпочтитель­ нее альтернатива а,. Аксиома основана на допущении: на мно­ жестве альтернатив существует совершенное, рефлексивное и транзитивное отношение слабого предпочтения у . Рефлектив­ ность и транзитивность понимаются в обычном смысле, а совер­ шенным называется отношение, для которого истинно следую­ щее высказывание:

(Va,, fljs {^})(ai >- ог'^^г >- ^i)-

Заметим, что если одновременно истинны два высказывания:

^1 />~ <22 ^ ^2 )>~ ^1'

то между а, и aj имеет место отношение безразличия: а, ~ AJЕсли же aj у Oj истинно, а ^2 >- ^i ложно, то имеет место отно­ шение строгого предпочтения: а^ у Oj-

Ак с и о м а 3. Транзитивность. Соотношения предпочтения

иэквивалентности исходов транзитивны. Если исход a^ предпоч­ тительнее исхода А , а исход А предпочтительнее исхода а^ , то исход а,- тоже предпочтительнее исхода а^. Аналогично, если ис­ ход а- эквивалентен исходу а , а исход а эквивалентен исходу а^, то исходы а, и а^ тоже эквивалентны.

Ак с и о м а 4. Коммутативность. Предпочтение исхода а^ ис­ ходу а • не зависит от порядка, в котором они названы и представ­ лены.

Ак с и о м а 5. Независимость. Если исход а- предпочтитель­ нее исхода й и, кроме того, существует исход а^^, который не оце­ нивается относительно исходов а^ и а , то смесь исходов а, и а^ предпочтительнее смеси исходов а • и а^. (Под смесью исходов а^

иа^ понимается исход, заключающийся в появлении одного из них с некоторой вероятностью, например исхода а^ с вероятнос­

тью/?, а исхода а^ с дополнительной вероятностью \-р.) Иначе говоря, предполагается, что отношение безразличия (предпочте­ ния) между двумя альтернативами не нарушается наличием третьего:

(VO], а^ {(й, ~ flj) => {\f а^){уp&{Q, 1)) [{р, Й,; {\-р). а^) ~ ~(р, а^: {\-р), а^]}.

Согласно теории полезности при выполнении в реальной за­ даче оценки систем всех пяти аксиом существует функция полез­ ности, однозначно определенная на множестве всех альтернатив с точностью до монотонного строго возрастающего линейного преобразования, иначе полезность измеряется в шкале интерва­ лов. Важно подчеркнуть, что функция полезности характеризует лишь относительную, а не абсолютную предпочтительность аль­ тернатив. Так, если F{a^ = 2, а F{a2) = 1, отнюдь не следует, что альтернатива Й, всегда в два раза или на единицу предпочтитель­ нее альтернативы Й2. Стоит произвести линейное преобразование функции полезности, и эти значения оценок будут уже другими.

В зависимости от типа показателей исходов операции функ­ ция полезности может быть либо непрерывной, либо дискретной. Функцию полезности называют прямой, если, чем больше значе­ ние показателя исхода операции, тем он полезнее, и обратной, если, чем больше значение показателя исхода операции, тем ме­ нее он полезен.

Функция полезности является универсальным и весьма удоб­ ным средством математического выражения предпочтений на множестве исходов операции.

Процедура определения функции полезности включает три основных этапа: выявление показателей исходов операции, оп­ ределение множества допустимых исходов операции и определе­ ние показателей полезности исходов операции.

Определение полезности как меры оценки того или иного ис­ хода операции представляет сложную задачу, точные методы ре­ шения которой пока не найдены. Все известные способы опреде­ ления функции полезности носят приближенный характер и стро­ ятся на основе анализа влияния исходов исследуемой операции на операцию более высокого уровня иерархии, экспертных оце­ нок и аппроксимации.

Анализ влияния исходов исследуемой операции на операцию более высокого уровня иерархии основывается на моделирова­ нии и предполагает включение системы, с помощью которой реализуется исследуемая операция, как элемента в систему на один уровень выще и рассмотрение влияния на ее функциони­ рование исходов исследуемой операции. Показатель исхода ис­ следуемой операции будет выступать одним из управляемых параметров, описывающих вышестоящую операцию. В резуль­ тате должна быть получена некоторая зависимость эффектив­ ности функционирования вышестоящей системы от интересу­ ющего нас показателя, которая и принимается в качестве фун­ кции полезности для исходов исследуемой операции. Так, чтобы найти значения полезности на исходах операции по пе­ редаче команд в сети оповещения, необходимо рассмотреть всю операцию перевода системы управления в повышенные степе­ ни боевой готовности. Если удастся определить, как влияет время оповещения на вероятность приведения системы в тре­ буемую степень боевой готовности, то полученная функция будет функцией полезности.

Д о с т о и н с т в о способа относительно высокая объектив­ ность. Субъективные моменты в оценку полезности хотя и вно­ сятся, но не прямо, как при других способах, а косвенным обра­ зом (через построение модели операции, которую выполняет вышестоящая система). Основной же недостаток состоит в труд­ ностях реализации.

Переход к системам и операциям более высокого уровня, ес­ тественно, сопровождается повышением сложности их анализа. Поэтому для оценки рещений в условиях дефицита времени этот способ вряд ли может быть рекомендован. К нему прибегают преимущественно при предварительном исследовании операций, особенно тех, которые имеют вспомогательное назначение.

Способы определения функции полезности с использовани­ ем методов экспертных оценок предполагают, что практический опыт и знания людей трудно заменить дедуктивными построени­ ями формального характера. В силу этого способам на эксперт­ ной основе присущи известные преимущества по сравнению с другими и они интенсивно развиваются.

При любом способе выполнения экспертизы в ней можно вы­ делить следующие основные этапы:

•упорядочение множества исходов операции по их предпоч­ тительности (flj )>. Cj >-... >- а„);

•определение полезности каждого исхода F{a^), проверка полученных оценок на непротиворечивость путем сравнения оце­ нок предпочтительности показателей полезности исходов;

•устранение противоречий в оценках путем корректировки или варианта упорядочения исходов либо показателей полезнос­ ти, либо того и другого вместе.

Определение функции полезности на основе аппроксимации заключается в следующем. При рассмотрении исходов конкрет­ ной операции отыскиваются характерные точки, соответствую­ щие, например, экстремумам функции полезности, а неизвестные значения между ними определяются некоторой известной зави­ симостью. Вид аппроксимации выбирается на основе имеющих­ ся сведений или качественных соображений о показателях полез­ ности исходов. На практике могут применяться многоступенча­ тая и другие сложные аппроксимации функций полезности. Наиболее простыми аппроксимациями являются одноступенча­ тое, косинусоидальное и треугольное представление функций по­ лезности (рис. 2.9).

Одноступенчатое представление функции полезности (ли­ ния 1) может быть приемлемым для операций, в которых показа­ телем исхода является срок выполнения работ, например подго­ товка презентации в ситуационном центре. В этом случае под исходами А понимается фактическое время готовности компью-

F{au)

Рис. 2.9. Представление аппроксимации полезности: 1 - одноступенчатое; 2 - косинусоидальное;

3 - треугольное

терной системы презентации к работе, время начала презента­ ции OQхарактерная точка. Очевидно, что полезность системы при а,-< ^Q равна 1, при a^)^ OQ она равна 0.

Косинусоидальное и треугольное представления функции полезности (линии 2 и 3) могут быть приемлемы для операций, в которых показателем исхода является интервал времени, напри­ мер подготовка системы телеконференции в локальной сети. Ус­ тановленное время готовности а^. Включение системы в работу ранее установленного срока может привести к ограничению про­ пускной способности сети для других приложений. При задерж­ ке готовности растет вероятность того, что отдельные пользова­ тели откажутся от участия в телеконференции. Минимально и максимально допустимые значения времени готовности равны соответственно а^^ и а^^^. Совместно с а^ ( a^i„ < а^< a^J эти величины представляют характерные точки. В зависимости от предпочтений ЛПР функция полезности может быть представле­ на либо отрезком косинусоиды, либо треугольником, построен­ ным по этим точкам.

2.5.2. ОЦЕНКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Оценивание систем в условиях определенности производится с использованием методов векторной оптимизации с помощью шкал.

Пусть К={кр к2, •••, kj)~векторный критерий, представляю­ щий собой отображение К: А —> R'; К(а) - векторная оценка аль­ тернативы аеА; R' - шкала, числовая система при условии, что R^ - множество всех действительных чисел. Тогда общая задача векторной оптимизации может быть сформулирована следующим образом:

аеА

где opt - оператор оптимизации, определяющий семантику оптимальности.

Решением задачи (2.3) является множество

D = <aeA.a = T~opt К(а)

аеА

Вследствие того, что, как правило, множество D пусто, оцен­ ка сложных систем в условиях определенности на основе мето­ дов векторной оптимизации проводится в три этапа.

На первом этапе с использованием системного анализа опре­ деляются частные показатели и критерии эффективности. На вто­ ром этапе находится множество Парето формулируется задача многокритериальной оптимизации в форме (2.3). На третьем этапе задача (2.3) решается путем скаляризации критериев устране-. ния многокритериальности.

Принцип Парето. Постановка задачи оптимизации как поиск решения по критерию превосходства хотя и была признана не­ корректной, но помогла сформулировать понятие множества Парето как подмножество А* множества альтернатив v4. Множе­ ство А* задается свойством его элементов

Смысл выражения (2.4) определяет принцип Парето, который состоит в следующем. Множество Парето А * (переговорное мно-