- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •1. Действительные числа
- •1.1. Каноническое разложение натурального числа:
- •1.2. Некоторые признаки делимости натуральных чисел.
- •1.3. Абсолютная величина (модуль) действительного числа:
- •1.4. Дроби.
- •1.5. Пропорции.
- •1.6. Степени и логарифмы.
- •2. Алгебра.
- •2.1. Формулы сокращенного умножения.
- •2.2. Формулы Виета.
- •2.4. Корни кубичного уравнения с действительными коэффициентами.
- •2.5. Корни уравнения 4-й степени.
- •2.6. Неравенства.
- •2.7. Комбинаторика и бином Ньютона.
- •1. Элементарная геометрия
- •1.1. Треугольники.
- •1.2. Четырехугольники.
- •1.3. Многоугольник.
- •1.4. Окружность и круг.
- •1.5. Сегмент и сектор.
- •1.7. Пирамида.
- •1.8. Правильные многогранники.
- •1.11. Сфера и шар.
- •1.12. Части шара.
- •2. Аналитическая геометрия
- •2.1. Прямая на плоскости.
- •2.2. Плоские линии второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола.
- •2.3. Плоскость.
- •2.4. Прямые в пространстве.
- •2.5. Поверхности второго порядка.
- •3. Дифференциальная геометрия
- •3.1. Линии на плоскости.
- •3.2. Линии в пространстве.
- •3.3. Подвижный трехгранник Френе пространственной кривой.
- •3.4. Поверхности в трехмерном пространстве.
- •4. Векторы и векторные функции
- •4.1. Векторная алгебра.
- •4.2. Некоторые формулы векторного анализа.
- •1. Числовые последовательности
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Основные свойства пределов последовательностей.
- •1.3. Пределы некоторых последовательностей.
- •2. Производные и дифференциалы
- •2.1. Основные определения.
- •2.3. Свойства производных и дифференциалов высшего порядка.
- •2.4. Производные от элементарных функций.
- •2.5. Частные производные и дифференциалы.
- •3. Первообразная и неопределенный интеграл
- •3.1. Основные определения.
- •3.2. Свойства неопределенного интеграла.
- •3.3. Некоторые неопределенные интегралы от элементарных функций.
- •4. Некоторые неопределенные интегралы
- •4.1. Интегралы от рациональных функций.
- •4.2. Интегралы от иррациональных функций.
- •4.3. Интегралы от тригонометрических функций.
- •4.4. Интегралы, содержащие показательную функцию.
- •4.5. Интегралы, содержащие логарифмическую функцию.
- •4.6. Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции.
- •4.7. Интегралы, содержащие гиперболические функции.
- •5. Определенный интеграл
- •5.1. Основные определения.
- •5.2. Свойства определенного интеграла.
- •5.3. Приложения определенного интеграла.
- •5.4. Некоторые определенные интегралы.
- •6.1. Основные определения.
- •6.2. Несобственные интегралы.
- •6.3. Интегралы, зависящие от параметра.
- •6.4. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.
- •7. Кратные интегралы
- •8. Криволинейные интегралы
- •9. Поверхностные интегралы
- •IV. Ряды и произведения
- •1. Числовые ряды
- •1.1. Основные определения.
- •1.2. Действия с рядами.
- •1.4. Признаки сходимости знакопеременных рядов.
- •1.5. Свойства рядов.
- •1.6. Некоторые конечные суммы.
- •1.7. Некоторые числовые ряды.
- •2. Функциональные ряды
- •2.1. Основные определения.
- •2.2. Признаки сходимости функциональных рядов.
- •2.3. Свойства функциональных рядов.
- •2.4. Формулы для вычисления радиуса сходимости R степенного ряда
- •2.5. Действия со степенными рядами.
- •2.6. Некоторые степенные ряды.
- •3. Бесконечные произведения
- •3.1. Основные определения
- •3.2. Свойства бесконечных произведений.
- •3.3. Некоторые бесконечные произведения.
- •V. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
- •1. Комплексные числа
- •2. Функции комплексного переменного
- •2.1. Основные определения.
- •2.2. Дифференцирование функций комплексного переменного.
- •2.3. Интегрирование функций комплексного переменного.
- •2.4. Ряды.
- •2.5. Вычеты.
- •2.6. Конформные отображения.
- •VI. Трансцендентные функции
- •1. Тригонометрические функции
- •1.1. Некоторые значения тригонометрических функций.
- •1.2. Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента.
- •1.3. Формулы приведения.
- •2. Гиперболические функции
- •3. Гамма-функция
- •4. Функции Бесселя
- •5. Модифицированные функции Бесселя I и K
- •6. Вырожденные гипергеометрические функции
- •7. Некоторые интегральные функции
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
39
4.Некоторые неопределенные интегралы
4.1.Интегралы от рациональных функций.
И н т е г р а л ы , с о д е р ж а щ и е X = ax + b.
∫Xn dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Xn+1 |
|
|
|
(n ≠ −1); |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
a (n +1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
dx |
= |
1 |
|
ln |
|
X |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
X |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫ |
x dx |
|
= |
|
x |
|
− |
|
|
b |
|
ln |
|
X |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
X |
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫ |
x dx |
= |
|
|
b |
+ |
1 |
ln |
|
X |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
a |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∫ |
|
x dx |
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
b |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
n |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
||||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n −1)X |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n − 2)X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
x2dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
X2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2bX + b2 ln |
X |
|
; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
a |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∫ |
|
x2dx |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
− 2bln |
|
|
|
|
− |
b2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
X |
|
|
|
|
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X |
2 |
|
|
|
|
|
a |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫ |
|
x2dx |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2b |
− |
|
b2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
X |
3 |
|
|
|
|
|
a |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
2X |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∫ |
|
x2dx |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Xn |
|
a3 |
|
|
|
|
|
− 3)Xn−3 |
|
(n − 2)Xn−2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(n |
|
|
|
|
(n ≠ 1, 2) ;
|
b2 |
|
|
− |
|
|
(n ≠ 1, 2, 3) ; |
|
n−1 |
||
|
(n −1)X |
|
|
|
|
|
∫xXdx = − 1b ln |
Xx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∫ |
dx |
|
|
= − |
1 |
|
|
|
|
|
X |
|
|
+ |
ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
xX |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
i |
|
|
i |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
= − |
|
|
ln |
|
|
− |
∑ |
Ci |
|
|
(−a) |
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
∫xXn |
|
bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
n−1 iXi |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
dx |
|
|
= − |
1 |
|
|
+ |
|
a |
ln |
X |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
bx |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
x X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
X |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= −a |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
|
ln |
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
x |
|||||||||||||||||||||||||
|
x |
X |
|
|
|
|
|
|
|
b X |
|
ab x |
|
b |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
(−a)i−1xi−1 |
|
|
|
X |
||||||||||||||||
∫ |
|
= − |
|
∑Cni |
|
+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x2Xn |
bn+1 |
(i −1)Xi−1 |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n .1) ;
− naln |
|
X |
|
|
(n . 2) ; |
|
|
||||
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
m+n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xm−i−1(−a)i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ Cmi +n−2 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xmXn |
|
|
bm+n−1 |
|
|
|
|
(m − i −1)xm−i−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
если |
m – i – 1 = 0, то соответствующий |
|
член |
под |
|
знаком |
|
суммы |
заменяется |
членом |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Cm−1 |
|
(−a)m−1 ln |
|
X |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
m+n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
И н т е г р а л ы , |
|
|
|
|
с о д е р ж а щ и е X = ax2 + bx + c (∆ = 4ac – b2). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
arctg |
2ax + b |
|
(для ∆ > 0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
dx |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ax + b − −∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(для ∆ < 0); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ax + b + |
|
|
−∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
dx |
|
= |
|
|
|
|
|
2ax + b |
|
|
|
|
+ |
|
(2n − 3)2a |
|
∫ |
|
|
dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(n −1)∆Xn−1 |
|
|
|
|
(n −1)∆ |
|
|
|
Xn−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
x dx |
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
b |
|
∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
X |
|
|
|
|
|
|
X ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
X |
|
|
|
|
|
2a |
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
∫ |
x dx |
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
bx + 2c |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
b(2n − 3) |
∫ |
dx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(n −1)∆Xn−1 |
(n −1)∆ |
|
|
Xn−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2dx |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
− 2ac |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= a |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
ln |
X |
+ |
|
|
|
|
|
2a2 |
|
|
|
|
∫ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
2a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
(n − 2)b x dx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
Xn |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
∫Xn |
|
− |
|
|
|
|
|
∫ |
Xn |
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(2n − 3) aXn−1 |
(2n − 3)a |
|
(2n − 3)a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
xmdx |
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xm−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
(m −1) c |
|
|
|
∫ |
xm−2dx |
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Xn |
|
|
(2n − m −1) aXn−1 |
|
(2n − m −1) a |
|
|
Xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n − m)b |
|
xm−1dx |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
∫ |
|
|
|
Xn |
(m ≠ 2n |
−1); |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2n − m −1) a |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
∫x |
|
Xndx = a1 ∫x Xn−1dx − ac |
∫x |
|
|
Xndx − ab |
∫x |
|
Xndx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
∫xX |
= |
|
|
|
|
ln |
|
|
X |
|
− |
|
|
|
|
∫ |
|
X ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2c |
|
|
2c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
1 |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
Xn |
|
|
+ c |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xXn |
2c(n −1)Xn−1 |
2c |
|
|
xXn−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
a |
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
|
X |
|
|
|
|
2c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cx |
|
|
|
2c |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
(2n + m − 3) a |
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
m |
X |
n |
|
|
(m −1) cx |
m−1 n−1 |
|
|
|
|
|
|
|
(m −1) c |
|
|
|
|
|
x |
m−2 |
X |
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
(n + m − 2) b |
∫ |
dx |
(m |
> 1) ; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m −1) c |
|
|
|
|
xm−1Xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.1. ИНТЕГРАЛЫ ОТ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ. |
41 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
И н т е г р а л ы , |
|
с о д е р ж а щ и е X = a2 ± x2. |
|
|
|
a + x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Через |
Y обозначено |
|
arctg x |
|
для знака плюс, arth x = |
1 ln |
|
|
для знака минус |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
a − x |
|
|
|||
при | x | < a, |
|
|
arth x |
= |
|
|
|
1 ln |
|
|
a + x |
|
|
|
для знака минус при | x | > a. |
В случае двойного знака в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x − a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
формуле верхний знак относится к X = a2 + x2, нижний знак — к X = a2 – x2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫dxX = a1 Y ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
∫ |
dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
X |
n+1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
X |
n |
|
|
|
|
2na |
2 |
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2na |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∫ |
x dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
X |
|
= ± 2 ln |
X |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∫ |
x dx |
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n ≠ 0) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
n+1 |
|
2nX |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫x2Xdx = ±x aY ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
x2dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
± |
|
|
|
1 |
|
|
|
∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
(n ≠ 0) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Xn+1 |
|
|
|
2nXn |
|
|
2n |
|
Xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
x3dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
X |
|
= ± |
|
|
|
|
2 − |
|
|
|
|
|
|
|
ln |
X |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∫ |
x3dx |
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
X2 |
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
2 ln |
X |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫x ndx+1 |
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
(n > 1) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2(n |
−1)X |
n−1 |
2nX |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
И н т е г р а л ы , |
|
с о д е р ж а щ и е |
X = a3 ± x3. |
|
В случае двойного знака в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
формуле верхний знак относится к X = a3 + x3, нижний знак — к X = a3 – x3. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫dx |
= ± |
|
|
1 |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a ± x)2 |
|
|
+ |
|
1 |
|
arctg 2x a ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
a |
2 |
|
|
2 |
a |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X |
|
|
|
|
|
6a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∫ |
X2 |
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
3a3X |
|
|
3a3 |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
x dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 ax + x2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2x a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
± |
|
|
arctg |
a 3 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
X |
|
|
6a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a ± x)2 |
|
|
|
|
a |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
x dx |
= |
|
|
x2 |
|
+ |
|
|
|
1 |
|
|
∫ |
x dx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
X2 |
|
|
3a2X |
|
3a2 |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
x2dx |
= ± |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
X |
|
|
|
3 ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
∫xX2dx2 = 31X ;
∫x3Xdx = ±x a3 ∫dxX ;
∫xX3dx2 = 3xX ± 13 ∫dxX .
И н т е г р а л ы , с о д е р ж а щ и е X = a4 + x4.
∫a4dx+ x4
∫x dx a4 + x4
∫x2dx a4 + x4
∫x3dx a4 + x4
= |
|
|
1 |
|
|
ln |
|
x2 + ax |
2 + a2 |
|||||
|
|
3 |
|
2 |
|
|
x |
2 |
− ax |
2 |
||||
|
4a |
|
|
|
|
|
2 + a |
|||||||
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|||
|
|
|
arctg |
|
|
2 ; |
|
|||||||
2a |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||
= − |
|
1 |
|
|
ln |
|
x2 + ax |
2 + a2 |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
4a |
2 |
|
x |
2 |
− ax |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 + a |
||||||||
= |
1 ln(a4 |
+ x4) . |
|
|||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
1 |
arctg |
ax |
2 |
; |
|
3 |
2 |
2 |
|||
|
2a |
2 |
|
a − x |
+ |
1 |
arctg |
ax |
2 |
; |
|
2 |
2 |
|||
|
2a 2 |
|
a − x |
И н т е г р а л ы , с о д е р ж а щ и е X = a4 – x4.
∫ |
|
|
|
dx |
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
a + x |
|
|
+ |
|
|
|
1 |
|
x |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
a − x |
|
|
|
|
|
|
|
arctg a |
|||||||||||||||||
|
a4 |
− x4 |
|
4a3 |
|
|
|
2a3 |
||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
x dx |
|
= |
1 |
|
ln |
|
|
a2 |
+ x2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
a |
4 |
− x |
4 |
|
4a |
3 |
|
2 |
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∫ |
|
x2dx |
|
= |
1 |
|
|
a + x |
|
|
− |
|
1 |
|
|
x |
; |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
a − x |
|
|
|
arctg a |
|
||||||||||||||||||||||||
a4 |
− x4 |
4a |
2a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
x3dx |
|
|
1 |
|
|
|
a4 − x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
= − 4 ln |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
a4 − x4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4.2. Интегралы от иррациональных функций.
И н т е г р а л ы |
в и д а |
∫ |
x±n+1 2dx |
(при a > 0, |
||||||||||||||||||||
|
|
m |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a ± bx) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫ |
x dx |
|
2 |
x |
|
2 |
|
a |
bx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
− b b arctg |
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||
a + bx |
|
|
b |
a |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a + |
|
|
|
|
|
|
||||||
∫ |
|
x dx |
= − |
2 |
|
x |
+ |
|
a |
|
|
bx |
|
; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
a − bx |
b |
|
b b |
|
a − bx |
|
||||||||||||||||||
∫ |
|
x dx |
|
= |
|
|
|
|
±x x |
|
|
+ |
|
|
2m − 5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
(a ± bx)m |
|
(m −1) a(a ± bx)m−1 |
2a(m −1) |
|
b > 0, n = 0, 1, 2, …; m = 1, 2, 3, …).
∫ |
x dx |
(m . 2) ; |
(a ± bx)m−1 |
|
|
|
|
4.2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ. |
43 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
x x dx |
|
= − |
|
6a x − 2bx x |
+ |
|
|
|
2a2 |
|
arctg |
bx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a + bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∫ |
x x dx |
|
= − |
|
6a x + 2bx x |
|
+ |
|
a a |
|
ln |
|
|
|
a + bx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a − bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
b |
|
|
|
a − |
|
bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
∫ |
x x dx |
|
= ± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
x dx |
(m . 2) ; |
||||||||||||||||||||||||
(a ± bx)m |
|
|
(m −1)(a ± bx)m−1 |
2b(m −1) |
(a ± bx)m−1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
n |
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
(−1) |
k |
|
|
k |
x |
n |
−k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
n+1 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
= 2 x ∑ |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n . 2) ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a ± bx |
|
|
|
(2n |
− 2k +1)(±b) |
k+1 |
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( b) |
|
|
|
|
|
|
|
∫ x(a ± bx) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
|
arctg |
|
bx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x(a + bx) |
|
|
|
|
|
|
|
ab |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
ln |
|
|
a + |
|
|
|
bx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x(a − bx) |
|
|
|
|
|
|
|
ab |
|
a − bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
arctg |
|
bx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x (a + bx)2 |
|
a(a + bx) |
a |
|
ab |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
x |
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
a + |
bx |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x (a − bx)2 |
|
a(a − bx) |
|
|
2a ab |
|
|
a − bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
± |
|
|
(2m − 3) b |
∫ |
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x (a ± bx)m |
|
a(a ± bx)m−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
(a ± bx)m |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
И н т е г р а л ы |
|
|
|
в и д а |
|
∫ |
|
|
x±ndx |
(при n = 0, 1, 2, …; |
m = 1, 3, 5, …). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a + bx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= b |
|
|
|
a + bx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
a + bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a + bx |
|
+ |
|
|
|
a |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
(a + bx) |
m |
|
|
2 |
|
(a + bx) |
m−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫
∫
x2 dx |
|
|
= |
|
|
2 |
|
|
|
− |
(a + bx)2 |
|
+ |
2a(a + bx) |
− |
a2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(a + bx)m |
|
|
b3 |
(a + bx)m−2 |
|
|
|
m − 6 |
|
|
|
m − 4 |
|
m − 2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x3dx |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(a + bx)3 |
|
|
3a(a + bx)2 |
|
3a2 (a |
+ bx) |
|
a3 |
|||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
; |
||
|
m |
|
|
|
m−2 |
|
m − 8 |
|
m − 6 |
m − |
4 |
m − 2 |
||||||||||||
(a + bx) |
4 |
(a + bx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xndx |
|
|
|
2 |
|
n (−1)kCk(a + bx)n−kak |
|
|
∫ |
|
|
= |
|
|
|
∑ |
n |
; |
(a + bx) |
m |
n+1 |
(a + bx) |
m−2 |
2n − 2k − m + 2 |
||||
|
|
|
b |
|
k=0 |
|
|
44 |
III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
a + bx − |
a |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
a + bx + |
a |
||||||
|
|
|
a |
|
|
|||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫x a + bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
arctg |
a + bx |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
−a |
−a |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a > 0),
(a < 0);
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
(m . 3) ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
x (a + bx) |
m |
|
(m − 2) a (a + bx) |
m−2 |
a |
|
x (a + bx) |
m−2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
dx |
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
a + bx |
|
|
|
− |
(2n − 3) b |
|
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n . 2) ; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xn a + bx |
|
(n −1) axn−1 |
2(n −1) a |
|
xn−1 a + bx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
mb |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
(n . 2) ; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x |
n |
(a |
+ bx) |
m |
(n − |
1) x |
n−1 |
(a + bx) |
m |
|
2(n −1) |
|
x |
n−1 |
(a + bx) |
m+2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
2n |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
(m . 3) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(m − 2) bx |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m−2 |
(m − 2) b |
x |
n+1 |
(a + bx) |
m−2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a + bx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
И н т е г р а л ы |
|
|
в и д а |
|
∫x±n |
|
(a + bx)m dx |
|
(при n = 0, 1, 2, …; |
m = 1, 3, 5, …). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ (a + bx)m dx = |
2 |
|
|
(a + bx)m+2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(m + 2) b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
∫x (a + bx)m dx = |
2 |
|
|
|
(a + bx) |
m+4 |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
(a + bx) |
m+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
m + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫x2 (a + bx)m dx = |
2 |
|
|
(a |
+ bx) |
m+6 |
|
|
|
|
|
|
|
2a (a + bx) |
m+4 |
|
a |
2 |
(a + bx) |
m+2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
m |
+ 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m + |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m + 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 (a + bx) |
m+2 |
|
n |
|
|
|
|
(−1) |
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−k k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫x |
(a |
+ bx) |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
Cn (a + bx) |
|
|
|
a |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n − 2k + m + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ bx + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a + bx |
− |
|
|
a |
|
|
|
|
|
(a > 0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
a |
|
a ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a + bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a + bx |
+ |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
dx |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a + bx + |
|
|
2a |
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
a |
|
+ bx |
|
|
(a < 0); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
(a + bx)m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(a + bx)m / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(a + bx)m / 2−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ a∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
(a + bx)m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a + bx)m+2 |
|
|
|
mb |
∫ |
|
|
|
(a + bx)m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2ax2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a + bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a + bx)3 |
|
|
|
(5 − 2n) b |
|
|
a + bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
= − |
|
+ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx (n . 2) ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
xn |
|
|
(n −1) axn−1 |
|
|
2a(n −1) |
|
|
|
|
|
|
xn−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ. |
45 |
||||||
∫ |
(a + bx)m |
|
(a + bx)m+2 |
b(m − 2n + 4) |
∫ |
(a + bx)m |
dx (n . 2) ; |
|
|
dx = − |
|
+ |
|
|
|||
xn |
(n −1) axn−1 |
2a(n −1) |
xn−1 |
И н т е г р а л ы в и д а ∫x±n (a + bx)±n (c + fx)±m dx (∆ = af – bc ≠ 0, n = 1, 3, 5, …; m = 1, 3, 5, …).
∫ |
dx |
|
|
(a + bx)(c + fx) |
|
−1 |
|
|
|
2bfx + af + bc |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(bf < 0), |
|
−bf arcsin |
|
∆ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
|
ln |
bf(a + bx) + b |
c + fx |
(bf > 0), |
|||||
bf |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
−f(a + bx) |
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
(b > 0, f < 0); |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
−bf |
|
|
b(c + fx) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
∫ |
dx |
|
= − |
2 |
|
a + bx |
+ |
|
|
||||||
(a + bx)(c + fx) |
m |
∆(m − 2) |
|
(c + fx)m−2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
+ b(m − 3) |
∫ |
dx |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(a + bx)(c + fx) |
m−2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a + bx)(c + fx) |
+ |
|
|
∆ |
|
arcsin |
2bfx + af + bc |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ |
a + bx |
|
|
f |
|
|
2f |
−bf |
|
|||||||||
c + fx |
dx = |
(a + bx)(c + fx) |
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
− |
|
|
|
|
ln |
|
bf(a + bx) + b c + fx |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
f |
|
f bf |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a + bx)n−2 |
|
||||||
|
(a + bx)n |
2 (a + bx)n (c + fx) |
|
|
|
n∆ |
|
|||||||||||
∫ |
|
dx = |
|
|
|
|
− |
|
|
∫ |
|
dx ; |
||||||
c + fx |
(n +1)f |
|
|
|
(n +1)f |
c + fx |
(m . 3);
(bf < 0),
(bf > 0);
∫ |
a + bx |
dx = − |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
a + bx |
|
|
|
+ |
b |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
(m . 3) ; |
||||||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m−2 |
f(m − 2) |
|
(a + bx)(c + fx) |
m−2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(c + fx) |
|
|
|
|
|
f(m − 2) (c + fx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∫ (a + bx)n (c + fx) dx = |
|
2 (a + bx)n+2 (c + fx) |
+ |
|
|
|
|
∆ |
∫ |
|
(a + bx)n |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b(n + 3) |
|
|
|
b(n + 3) |
|
c + fx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
И н т е г р а л ы в и д а ∫ |
|
|
|
xn dx |
|
|
|
|
|
|
(a > 0, |
b > 0, n = 0, 1, 2, …; m = 1, 3, 5, …). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 2 m |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a |
+ b x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ |
|
|
dx |
|
= |
1 ln |
|
bx + (a2 |
+ b2x2)m |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
+ b x |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
(m−3) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k+1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
k |
|
k |
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
∑ |
|
|
C(m−3) 2 b |
x |
|
|
|
|
|
(m . 3) ; |
|
|
|
||||||||||||||
∫ |
(a2 + b2x2)m |
|
a |
m−1 |
|
|
(2k +1) (a2 + b2x2)2k+1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
46 III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
∫ |
|
x dx |
|
|
|
= |
1 |
a2 + b2x2 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||
a |
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
+ b x |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
= − |
|
1 |
|
|
|
|
(m . 3) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(a |
2 |
2 |
|
2 |
) |
m |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
) |
m−2 |
||||||
|
|
|
+ b x |
|
|
|
|
|
|
(m − 2) b |
(a |
+ b x |
|
|
|
∫
∫
x2dx |
= |
a2 + b2x2 |
|
x2dx |
|
(a2 + b2x2)3
x a2 + b2x2 |
− |
a2 |
|
bx + a2 + b2x2 |
|
; |
|
|||||||
|
|
|||||||||||||
2 |
|
|
ln |
|
|
|
||||||||
3 |
||||||||||||||
|
2b |
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
1 |
|
bx + a2 + b2x2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
= − |
|
+ |
|
ln |
. |
|||||||||
b2 a2 + b2x2 |
b3 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
И н т е г р а л ы в и д а ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a > 0, b > 0, n = 1, 2, 3, …; m = 1, 3, 5, …). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
n |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
) |
m |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a + b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a + a2 + b2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
1 ln |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
+ b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m−1) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||||||||||
|
x |
|
(a |
2 |
|
2 |
|
2 |
) |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
) |
m− |
2k |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
(m − 2k) a |
|
|
|
|
|
(a + b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
1 |
|
|
|
ln |
|
|
a + |
|
|
a2 + b2x2 |
|
(m . 3); |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am |
|
|
|
|
|
|
bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
a2 + b2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
2 |
a |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
+ b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m−1) 2 |
|
|
(−1) |
k |
|
|
k |
|
|
2k |
|
|
|
2k−1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
C(m−1) 2 b |
|
|
x |
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||
∫x2 (a2 + b2x2)m |
m+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
(2k −1) (a2 + b2x2)2k−1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 + b2x2 |
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
a + a2 + b2x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
3 |
a |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2a |
2 |
x |
2 |
|
|
2a |
3 |
|
|
|
|
|
|
bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x |
3 |
|
|
2 |
2 |
|
|
2 |
) |
m |
(m − |
2 |
4 |
|
|
(a |
2 |
|
|
2 |
2 |
) |
m−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(a |
|
+ b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m . 3); |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m − 2) b2 ∫x5 |
|
(a2 + b2x2)m− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
И н т е г р а л ы |
|
в и д а |
|
∫x±n |
|
(a2 + b2x2)m dx (a > 0, b > 0, n = 0,1,2,…; m = 1,3,5,…). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
a2 + b2x2 dx = |
x |
a2 + b2x2 |
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
bx + a2 + b2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
ln |
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2b |
4.2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ. |
47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
ma2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
∫ (a2 + b2x2)m dx = |
|
|
|
|
|
(a2 + b2x2)m |
|
+ m +1 ∫ (a2 + b2x2)m−2 dx ; |
||||||||||||||||||||||||
m +1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
∫x |
|
(a2 + b2x2)m dx = |
|
|
(a2 |
+ b2x2)m+2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
(m + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∫x2 |
(a2 + b2x2)m dx = |
|
x (a2 + b2x2)m+2 |
|
a2 |
|
|
∫ (a2 + b2x2)m dx; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m + 3) b |
|
|
|
|
|
(m + 3) b |
|
|
|
|
|
|
||||||
∫xn |
(a2 + b2x2)m dx = |
|
xn−1 |
(a2 + b2x2)m+2 |
|
a2(n −1) |
|
∫xn−2 (a2 + b2x2)m dx ; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
+ |
1) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m + n +1) b |
|
|
|
|
|
|
b (m + n |
|
|
|||||||||||
|
|
a2 + b2x2 |
|
|
|
|
a + a2 + b2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
dx = a2 + b2x2 − aln |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ |
|
(a2 + b2x2)m |
|
|
|
|
|
|
(a2 + b2x2)m |
|
∫ |
|
(a2 + b2x2)m−2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
a2 + b2x2 |
|
|
|
a2 + b2x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
dx = − |
|
|
+ bln |
bx + a2 + b2x2 |
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫ |
|
(a2 + b2x2)m |
|
|
|
|
|
|
|
(a2 |
+ b2x2)m |
|
|
|
|
|
∫ (a2 + b2x2)m−2 dx . |
|||||||||||||||
|
|
|
dx = − |
|
|
|
|
|
|
+ mb2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
x |
|
|
И н т е г р а л ы в и д а |
|
∫x±n |
|
(a2 − b2x2)m dx (a > 0, b > 0, n = 0,1,2,…; m = 1,3,5,…). |
|||||||||||||||||||||
∫ a2 |
− b2x2 dx = |
x a2 − b2x2 |
a2 |
bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
+ |
2b arcsin a |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
ma2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫ (a2 − b2x2)m dx = |
|
|
(a2 − b2x2)m |
+ m +1 ∫ (a2 − b2x2)m−2 dx (m . 3) ; |
|||||||||||||||||||||
m +1 |
|||||||||||||||||||||||||
∫x a2 − b2x2 dx = − |
|
(a2 |
− b2x2)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫x (a2 − b2x2)m dx = − |
|
(a2 − b2x2)m+3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
(m + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫x2 |
a2 − b2x2 dx = |
|
2b2x3 |
− a2x |
a2 − b2x2 + |
|
a4 |
|
arcsin |
bx |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
a |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8b |
|
|
|
|
|
|
|
8b |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x (a2 − b2x2)m+2 |
|
|
a2 |
|
|
|||||||||||
∫x2 |
(a2 − b2x2)m dx = − |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
∫ (a2 − b2x2)m dx; |
||||||||||
|
(m |
2 |
|
(m |
+ |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 3) b |
|
|
3) b |
|
|
||||||||||
∫ |
a2 |
− b2x2 |
dx = a2 − b2x2 − aln |
|
a + a2 − b2x2 |
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
III.4. НЕКОТОРЫЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
(a2 |
− b2x2)m |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(a2 − b2x2)m |
+ a2 ∫ |
|
|
|
|
(a2 − b2x2)m−2 |
dx (m . 3) ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
a2 − b2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 − b2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− barcsin |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
(a2 |
− b2x2)m |
|
dx = a2 ∫ |
|
|
(a2 − b2x2)m−2 |
dx − b2 ∫ (a2 − b2x2)m−2 dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
И н т е г р а л ы в и д а ∫ |
|
|
|
|
xndx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a > 0, b > 0, n = 0, 1, 2, …; m = 1, 3, 5, …). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 2 m |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a |
− b x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∫ |
dx |
|
|
|
= |
|
1 arcsin bx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
a |
|
− b x |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m−3) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
2k+1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
C(m |
−3) 2b |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
(m . 3) ; |
|||||||||||||||||||||||
∫ (a2 − b2x2)m |
|
a |
m−1 |
|
|
|
|
|
(2k +1) (a2 − b2x2)2k+1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
x dx |
|
|
= − |
|
|
a2 − b2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
a |
|
− b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∫ |
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(a |
2 |
|
2 2 |
) |
m |
|
|
(m − |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 2 |
) |
m−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
− b x |
|
|
|
|
|
|
2) b |
|
(a |
− b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
∫ |
x2dx |
|
|
= − |
x a2 − b2x2 |
+ |
|
a2 |
|
|
arcsin |
bx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
− b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∫ |
|
x2dx |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
1 |
|
arcsin |
bx |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(a |
2 |
|
2 |
2 |
) |
3 |
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
3 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
− b x |
|
|
|
|
|
b a |
|
|
− b x |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x2dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m−5) 2 |
|
|
|
|
C(m− |
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
2k+3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
5) 2b |
x |
|
|
|
|
|
(m . 5) ; |
|||||||||||||||||||||||||||||
∫ (a2 − b2x2)m |
|
|
a |
m−3 |
|
|
|
|
|
(2k + 3) (a2 − b2x2)2k+3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
xndx |
|
|
= − |
xn−1 a2 − b2x2 |
+ |
|
n −1 |
∫xn−2 a2 − b2x2 dx ; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
− b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ |
x2k+1dx |
|
|
|
|
= |
|
1 |
∫ |
|
|
|
|
|
tkdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t = x2) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
(a |
2 |
|
2 2 |
) |
m |
|
|
2 |
|
(a |
2 |
|
|
|
2 2 |
) |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− b t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∫ |
|
|
xndx |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(a |
2 |
|
2 2 |
) |
m |
|
2 |
(m |
|
− 2) (a |
2 |
|
|
|
2 2 |
) |
m−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− b x |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
− b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
n −1 |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
xn−2dx |
|
|
|
(m . 3); |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(m |
− |
|
2) |
|
|
|
|
(a |
2 |
2 2 |
) |
m−2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− b x |
|
|
|
|
4.2. ИНТЕГРАЛЫ ОТ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ. |
49 |
И н т е г р а л ы |
|
|
|
в и д а |
∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
(a > 0, b > 0, n = 0, 1, 2,…; m = 1, 3, 5,…). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
n |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
) |
m |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a |
− b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a + a2 − b2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
1 ln |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
− b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m−1) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
2 |
|
2 |
|
|
2 |
) |
m |
|
|
(m − |
2k) a |
2k |
|
(a |
2 |
2 |
|
|
|
2 |
) |
m−2k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
(a |
− b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
− b x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
1 |
|
ln |
|
a |
+ a2 − b2x2 |
|
(m . 3); |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
am |
|
|
|
|
|
|
bx |
|
|
|
||||||||
∫ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
a2 − b2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x2 a2 − b2x2 |
|
|
|
|
|
|
a2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m−1) 2 |
|
|
|
k |
|
|
2k |
|
|
2k−1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
∑ |
|
|
|
|
C(m−1) 2 b |
|
x |
|
|
|
|
|
(m . 3) . |
||||||||||||||||||||||||
∫x2 (a2 − b2x2)m |
|
a |
m+1 |
|
(2k −1) (a2 − b2x2)2k−1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
И н т е г р а л ы |
|
в и д а |
|
|
|
|
∫x±n |
|
|
(b2x2 − a2)±m dx (a > 0, b > 0, n = 0,1,2,…; m = 1,3,5,…). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
1 ln |
|
bx + b2x2 − a2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
b x |
− a |
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫
∫
dx |
|
|
|
(m−1) 2 |
(m−3) 2 |
(−1) |
k |
k |
|
2k |
x |
2k+1 |
|
= |
(−1) |
∑ |
|
C(m |
−3) 2 b |
|
(m . 3) ; |
||||||
(b2x2 − a2)m |
|
m−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a |
k=0 |
(2k +1) (b2x2 − a2)2k+1 |
||||||||
x dx |
|
= − |
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
(b2x2 − a2)m |
|
(m − 2) b2 (b2x2 − a2)m−2 |
|
|
|
∫ |
x2dx |
= |
x b2x2 − a2 |
+ |
a2 |
|
bx + b2x2 − a2 |
|||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln |
|
||||||||
b2x2 − a2 |
|
2b |
2b3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫ |
x2dx |
|
|
x |
|
1 |
|
bx + b2x2 |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
= − |
|
+ |
|
ln |
|||||||||
(b2x2 − a2)3 |
b2 b2x2 − a2 |
b3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
;
− a2 ;
|
|
2 |
dx |
|
|
|
|
|
(m−3) 2 (m−5) 2 |
(−1) |
k |
k |
2k |
x |
2k+3 |
|
||||||||||
∫ |
x |
|
|
|
= |
|
(−1) |
|
∑ |
|
|
C(m−5) 2 b |
|
(m . 5) ; |
|
|||||||||||
(b2x2 − a2)m |
m−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
a |
|
k=0 |
(2k + 3) (b2x2 − a2)2k+3 |
|
||||||||||||||||||||
∫ |
xndx |
|
|
|
xn−1 b2x2 − a2 |
n −1 |
∫xn−2 b2x2 − a2 dx ; |
|
||||||||||||||||||
|
= |
|
|
|
b2 |
|
− |
b2 |
|
|
||||||||||||||||
b2x2 − a2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
xndx |
|
|
|
|
|
|
xn−1 |
|
|
|
|
|
|
|
n −1 |
|
|
xn−2dx |
|
|||||
∫ |
|
|
|
= − |
|
|
+ |
|
∫ |
|
|
|
(m .3); |
|||||||||||||
|
(b2x2 −a2)m |
b2(m −2) |
(b2x2 −a2)m−2 |
b2(m −2) |
|
(b2x2 −a2)m−2 |