4.3. Принятие решений в условиях риска

Предположим теперь, что игроку из прошлого опыта извест-

ны не только возможные состояния природы Qj , j =1, n , в кото-

рых может находиться природа Q , но и соответствующие веро-

Критерий Байеса относительно выигрышей

По этому критерию показателем эффективности стратегии

Ai , i =1, m называется среднее значение(математическое ожидание) выигрыша с учетом вероятностей всех возможных стратегий природы:

i-й строки матрицы выигрышей, взятых с весами p1 , p2 , ..., pn . Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Байеса

Следовательно, выбранное таким образом решение является оптимальным не в каждом отдельном случае, а «в среднем».

№ 4.4. На промышленном предприятии готовятся к переходу на выпуск новых видов продукцииA1 , A2 , A3 , A4 . Результаты

95

принятых решений существенно зависят от степени обеспеченности производства материальными ресурсами Q1 , Q2 , Q3 . Каждому

сочетанию решений Ai , i =1, 4 и состояний среды Qj , j =1,3 со-

ответствует определенный выигрыш— эффективность выпуска новых видов продукции. Всевозможные выигрыши представлены в платежной матрице:

Найдите оптимальную стратегию по критерию Байеса относительно выигрышей, в предположении, что известны вероятности состояний природы p1 = 0, 2, p2 = 0,3, p3 = 0,5 .

Решение. Вычислим средние выигрыши:

a1 = 25 × 0,2 + 35 ×0,3 + 40 ×0,5= 35,5;

a2 = 70 × 0,2 + 20 × 0,3 + 30 × 0,5 = 35,0;

a3 = 35 × 0,2 + 85 ×0,3 + 20 ×0,5 = 42,5;

a4 = 80 ×0, 2 +10 ×0,3 + 35 × 0,5 = 36,5.

Тогда оптимальной по критерию Байеса является стратегия A3 , так как

a3 = max ai = 42,5 .

i

Критерий Байеса относительно рисков

Показателем эффективности стратегии Ai по критерию Байе-

са относительно рисков называется математическое ожидание рисков, расположенных в i-й строке матрицы RA :

96

j=1

Иоптимальной будет стратегия с наименьшим значением среднего риска ri :

Критерий Лапласа относительно выигрышей

В предыдущих двух критериях Байеса известные вероятности состояний природы могли быть получены, например, на основании статистических исследований. Однако часто складывается такая ситуация, при которой мы лишены возможности определить эти вероятности. Но, желая принять решение в условиях риска, мы вынуждены оценивать эти вероятности состояний природы субъективно. Существуют различные методы численной субъективной оценки степени правдоподобности состояний природы. Один из таких способов заключается в том, что мы считаем

отдать предпочтение ни одному из состояний природы. Этот принцип называют еще принципом«недостаточного основания» Лапласа.

Таким образом, показатель эффективности будет равен:

а наилучшая стратегия определяется по формуле (4.21).

97

№ 4.5. Найдите оптимальную стратегию в условиях 4№.4 по критерию Лапласа.

Решение. Вычислим средние выигрыши:

Следовательно, оптимальной по критерию Лапласа является стратегия A3 , так как:

Аналогично рассматривается критерий Лапласа и относительно рисков.

Критерий Байеса относительных значений вероятностей состояний природы с учетом выигрышей

Предположим, что вероятности состояний природы нам неизвестны, но мы имеем представление о том, какие состояния природы более правдоподобны, какие — менее правдоподобны. Это позволит представить (проранжировать) неизвестные вероятности состояний природы в виде убывающей или возрастающей числовой последовательности.

Например, можно считать, что последовательность неизвестных вероятностей p j состояний природы пропорциональна чле-

нам некоторой монотонной последовательности положительных чисел t1 , t2 , ..., tn :

98

n

Учитывая, что å p j =1, можем получить следующие оценки

j =1

вероятностей:

№ 4.6. Найдите оптимальную стратегию в условиях 4№.4, если есть основания считать, что вероятности состояний природы образуют строго убывающую числовую последовательность, пропорциональную убывающей арифметической прогрессии 3, 2, 1, то есть:

p1 : p2 : p3 = 3 : 2 : 1 .

Решение. Вычислим оценки вероятностей состояний природы по формуле (4.26):

99

Аналогичный критерий можно рассмотреть и для матрицы рисков.

При принятии решений в условиях риска можно применить и критерий, основанный на применении среднего квадратического отклонения — критерий минимизации среднего квадратического отклонения (вариации). Рассмотрим применение этого критерия на примере № 4.4.

Вычислим средние квадратические отклонения выигрышей:

s32 = 352 ×0, 2 + 852 ×0,3 + 202 ×0,5 - 42,52 = 806, 25 , s3 = 28,39 ;

s42 = 802 ×0, 2 +102 ×0,3 + 352 ×0,5 - 36,52 = 590, 25 , s4 = 24,30 .

Следовательно, если по критерию Байеса предпочтения игрока можно проранжировать как:

A3 f A4 f A1 f A2 ,

то по критерию минимизации среднего квадратического отклонения, получаем:

A1 f A2 f A4 f A3 .

То есть наиболее предпочтительной является стратегияA1 с наименьшим значением(5,68) среднего квадратического отклонения.

Данная ситуация наиболее характерна для задач принятия решений, когда стратегия, наиболее предпочтительная по кри-

100