Раздел 6. Простейшие задачи оптимального управления.

1. Уравнения с минимальной энергией.

Теорема 1. Если задача об управлении с минимальной энергией имеет решение, то это решение принадлежит подпространству HпространстваL₁^r(t₀,T).

Теорема 2. Для того чтобы задача об управлении с минимальной энергией имела решение, необходимо и достаточно, чтобы ранги матриц М и М_ссовпадали. При этом оптимальное уравнениеu⁰(t) представимо в виде

где k=rankM=rankM_c, а постоянные γ_i⁰является решением системы уравнений

в которой h₁,...,h_kлинейно независимы.

Следствие. Для того чтобы задача об управлении с минимальной энергией имела решение, необходимо и достаточно, чтобы постоянные c_iв моментных соотношениях

были связаны между собой той же линейной зависимостью, что и вектор функции h₁(t),...,h_n(t). [стр. 289-290]

2. Линейные системы с импульсным управлением.

Рассматриваемая здесь задача состоит в следующем.

Требуется найти вектор z={υ₁,...,υ_rm} такое, чтобы соответствующее ему решениеx(t) задачи

и

при импульсном управлении u(t) с компонентами

в заданный момент времени t=Tудовлетворяющему условиюи при этом квадратичная формаI=z*Qzпринимала наименьшее возможное значение. МатрицаQпредлагается симметричной и положительной. [стр. 301-302]

3. Управление линейными системами линейными критериями оптимальности.

Рассмотренная задача здесь состоит в следующем.

Требуется найти допустимое управление u=u⁰(t),t₀≤t≤T, такое, чтобы :

1. оно удовлетворяло условию

2. соответствующее ему решение задачи иудовлетворяло условиюx(T)=x¹.

3. Функционал I[u]=y₀(T) достигал своего наименьшего значения.[стр. 306-307]

4. Задача об оптимальном быстродействии при ограниченной энергии управления.

Рассматриваемая задача состоит в следующем.

Требуется найти уравнение u=u(t) такое, чтобы оно удовлетворяло неравенствуа соответствующее ему решениеx(t) задачииудовлетворяло условиюx(T)=x¹. При этом функционалI[u]=T-t₀должен достигать своего наименьшего возможного значения.[стр. 315]

5. Управление с минимальной силой.

Задача об управлении с минимальной силой состоит в том, чтобы найти допустимое управление u=u(t)={u₁(t),...,u_r(t)} такое, что соответствующее ему решение управленияс начальным условиемx(t₀)=x⁰в момент времениt=Tудовлетворяем условиюx(T)=x¹, а функционалпри этом достигает своего наименьшего возможного значения. Здесьx⁰иx¹– заданные векторы. Управлениеu=u⁰(t), которое является решением этой задачи, называется управлением с минимальной силой.[стр. 323]

6. Оптимальное быстродействие в линейных системах с ограниченной силой управления.

Рассматриваемая задача об оптимальном быстродействии состоит в том, чтобы найти допустимое решение u=u⁰(t), которое удовлетворяет условию(1) причём такое, чтобы соответствующее ему решение задачи Кошииудовлетворяло условиюx(t)=x¹при минимальном Т, превосходящемt₀. Постоянная υ в (1) считается заданной.[стр. 334]

7. Управление системами, зависящими от старта и финиша.

Здесь рассматривается специфический класс систем, динамика которых зависит от начального момента времени их функционировании (от старта) и момента времени окончания процесса (их финиша). Задачи управления такими системами несколько отличаются от традиционных задач управления и связаны прежде всего с планирование работы каждой из таких систем.[стр. 341]