Розин Л.А. - Метод конечных элементов (статья)

© кУБЛМ г.А., 2000

THE FINITE ELEMENTS METHOD

L. A. ROZIN

The finite elements method is one of the most effective numerical methods for solving of mathematical problems, characterizing the state of physical systems with complicated structure. The foundation of the finite elements method are illustrated by simple examples, which demonstrate its important advantages.

еВЪУ‰ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ – У‰ЛМ ЛБ М‡Л- ·УОВВ ˝ЩЩВНЪЛ‚М˚ı ˜ЛТОВММ˚ı ПВЪУ‰У‚ В- ¯ВМЛfl П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛı Б‡‰‡˜, УФЛТ˚‚‡˛- ˘Лı ТУТЪУflМЛВ ЩЛБЛ˜ВТНЛı ТЛТЪВП ТОУКМУИ ТЪ ЫНЪЫ ˚. з‡ Ф УТЪ˚ı Ф ЛПВ ‡ı ФУflТМВ- М˚ УТМУ‚˚ ПВЪУ‰‡ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ Л Ф УЛОО˛ТЪ Л У‚‡М˚ В„У УТМУ‚М˚В ‰УТЪУЛМТЪ‚‡.

www.issep.rssi.ru

З М‡ЫНВ Л ЪВıМЛНВ ФУТЪУflММУ Ф ЛıУ‰ЛЪТfl ТЪ‡ОНЛ- ‚‡Ъ¸Тfl Т Ф У·ОВПУИ ‡Т˜ВЪ‡ ТЛТЪВП, ЛПВ˛˘Лı ТОУКМЫ˛ „ВУПВЪ Л˜ВТНЫ˛ НУМЩЛ„Ы ‡ˆЛ˛ Л МВ В„ЫОfl МЫ˛ ЩЛБЛ- ˜ВТНЫ˛ ТЪ ЫНЪЫ Ы. дУПФ¸˛ЪВ ˚ ФУБ‚УОfl˛Ъ ‚˚ФУОМflЪ¸ Ъ‡НЛВ ‡Т˜ВЪ˚ Ф Л ФУПУ˘Л Ф Л·ОЛКВММ˚ı ˜ЛТОВММ˚ı ПВЪУ‰У‚. еВЪУ‰ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ (едщ) fl‚ОflВЪТfl У‰МЛП ЛБ МЛı. З ФУТОВ‰МЛВ ‰ВТflЪЛОВЪЛfl УМ Б‡МflО ‚В‰Ы- ˘ВВ ФУОУКВМЛВ Л ФУОЫ˜ЛО ¯Л УНУВ Ф ЛПВМВМЛВ. З ТЪ‡- Ъ¸В М‡ Ф УТЪ˚ı Ф ЛПВ ‡ı П˚ ‡ТТПУЪ ЛП ТЫ˘МУТЪ¸ ПВЪУ‰‡ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ Л УЪПВЪЛП В„У УТМУ‚М˚В ‰УТЪУЛМТЪ‚‡.

и В‰ФУОУКЛП, ˜ЪУ ТУТЪУflМЛВ ТЛТЪВП˚ УФЛТ˚‚‡ВЪТfl МВНУЪУ УИ ЩЫМНˆЛВИ. иЫТЪ¸ ˝Ъ‡ ЩЫМНˆЛfl fl‚ОflВЪТfl В‰ЛМТЪ‚ВММ˚П В¯ВМЛВП П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУИ Б‡‰‡˜Л, ТЩУ - ПЫОЛ У‚‡ММУИ М‡ УТМУ‚В ЩЛБЛ˜ВТНЛı Б‡НУМУ‚. кВ¯В- МЛВ ТУТЪУЛЪ ‚ УЪ˚ТН‡МЛЛ ЛБ ·ВТНУМВ˜МУ„У ПМУКВТЪ‚‡ ЩЫМНˆЛИ Ъ‡НУИ, НУЪУ ‡fl Ы‰У‚ОВЪ‚У flВЪ Ы ‡‚МВМЛflП Б‡‰‡˜Л. ЦТОЛ Б‡‰‡˜‡ ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ ТОУКМ‡fl, ЪУ ВВ ЪУ˜МУВВ¯ВМЛВ МВ‚УБПУКМУ. ЗПВТЪУ ЪУ„У ˜ЪУ·˚ ЛТН‡Ъ¸ Ъ В- ·ЫВПЫ˛ ЩЫМНˆЛ˛ Т В‰Л ·ВТНУМВ˜МУ„У ПМУКВТЪ‚‡ ‡Б- МУУ· ‡БМ˚ı ЩЫМНˆЛИ, Б‡‰‡˜‡ ЫФ У˘‡ВЪТfl. к‡ТТП‡Ъ Л- ‚‡ВЪТfl МВНУЪУ УВ ТВПВИТЪ‚У ЩЫМНˆЛИ, УФ В‰ВОflВП˚ı НУМВ˜М˚П ˜ЛТОУП Ф‡ ‡ПВЪ У‚. д‡Н Ф ‡‚ЛОУ, Т В‰Л Ъ‡- НЛı ЩЫМНˆЛИ МВЪ ЪУ˜МУ„У В¯ВМЛfl Б‡‰‡˜Л. й‰М‡НУ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘ЛП ФУ‰·У УП Ф‡ ‡ПВЪ У‚ ПУКМУ ФУФ˚- Ъ‡Ъ¸Тfl Ф Л·ОЛКВММУ Ы‰У‚ОВЪ‚У ЛЪ¸ Ы ‡‚МВМЛflП Б‡‰‡˜Л Л ЪВП Т‡П˚П ФУТЪ УЛЪ¸ ВВ Ф Л·ОЛКВММУВ В¯ВМЛВ. н‡НУИ У·˘ЛИ ФУ‰ıУ‰ ı‡ ‡НЪВ ВМ ‰Оfl ПМУ„Лı Ф Л·ОЛКВММ˚ı ПВЪУ‰У‚. лФВˆЛЩЛ˜ВТНЛП ‚ ПВЪУ‰В НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ fl‚ОflВЪТfl ФУТЪ УВМЛВ ТВПВИТЪ‚‡ ЩЫМНˆЛИ, УФ В‰ВОflВП˚ı НУМВ˜М˚П ˜ЛТОУП Ф‡ ‡ПВЪ У‚.

СУФЫТЪЛП, Ъ В·ЫВЪТfl ФУТЪ УЛЪ¸ Ъ‡НУВ ТВПВИТЪ‚У ЩЫМНˆЛИ u(x) Ô Ë a # x # b. àÌÚ ‚‡Î ab ‡Б·Л‚‡ВЪТfl М‡ НУМВ˜МУВ ˜ЛТОУ ˜‡ТЪВИ (˝ОВПВМЪУ‚), ТУВ‰ЛМfl˛˘ЛıТfl ПВК‰Ы ТУ·УИ Л Т НУМˆ‡ПЛ ЛМЪВ ‚‡О‡ ‚ ЫБОУ‚˚ı ЪУ˜Н‡ı (ЫБО‡ı) xi ( ЛТ. 1). З Ф В‰ВО‡ı Н‡К‰У„У ˝ОВПВМЪ‡ Б‡‰‡ВЪТfl ЩЫМНˆЛfl, М‡Ф ЛПВ ‚ ‚Л‰В ОЛМВИМУ„У ФУОЛМУП‡. йМ‡ УФ В‰ВОflВЪТfl Т‚УЛПЛ БМ‡˜ВМЛflПЛ u(xi) ‚ ЫБО‡ı М‡ НУМ- ˆ‡ı ˝ОВПВМЪ‡. ЦТОЛ УЪ˚ТНЛ‚‡ВП‡fl ЩЫМНˆЛfl fl‚ОflВЪТfl МВФ В ˚‚МУИ, ЪУ БМ‡˜ВМЛfl ВВ ‚ Н‡К‰УП ЫБОВ ‰Оfl ТУТВ‰- МЛı ˝ОВПВМЪУ‚ ТУ‚Ф‡‰‡˛Ъ. З ВБЫО¸Ъ‡ЪВ ЛПВВП ТВПВИТЪ- ‚У НЫТУ˜МУ-ОЛМВИМ˚ı МВФ В ˚‚М˚ı ЩЫМНˆЛИ, НУЪУ ˚В

ЛБУ· ‡К‡˛ЪТfl ‚ ‚Л‰В ОУП‡М˚ı Л УФ В‰ВОfl˛ЪТfl НУМВ˜- М˚П ˜ЛТОУП Ф‡ ‡ПВЪ У‚ – Т‚УЛПЛ ЫБОУ‚˚ПЛ БМ‡˜ВМЛflПЛ. з‡ ЛТ. 1 ФУН‡Б‡М‡ У‰М‡ ЛБ ЩЫМНˆЛИ Ъ‡НУ„У ТВПВИТЪ‚‡. б‰ВТ¸ 5 ˝ОВПВМЪУ‚, 6 ЫБОУ‚ Л 6 ЫБОУ‚˚ı Ф‡ ‡ПВЪ У‚ u(xi) = ui . З ТОЫ˜‡В МВТНУО¸НЛı ФВ ВПВММ˚ı ТıВП‡ ПВЪУ- ‰‡ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ ‚ Ф ЛМˆЛФВ МВ ПВМflВЪТfl. н‡НЛП У· ‡БУП, ПВЪУ‰ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ Б‡ПВМflВЪ Б‡‰‡˜Ы УЪ˚ТН‡МЛfl ЩЫМНˆЛЛ М‡ Б‡‰‡˜Ы УЪ˚ТН‡МЛfl НУМВ˜МУ„У ˜ЛТО‡ ВВ Ф Л·ОЛКВММ˚ı БМ‡˜ВМЛИ ‚ УЪ‰ВО¸М˚ı ЪУ˜Н‡ı- ЫБО‡ı. и Л ˝ЪУП ВТОЛ ЛТıУ‰М‡fl Б‡‰‡˜‡ УЪМУТЛЪВО¸МУ ЩЫМНˆЛЛ ТУТЪУЛЪ ЛБ ЩЫМНˆЛУМ‡О¸МУ„У Ы ‡‚МВМЛfl, М‡- Ф ЛПВ ‰ЛЩЩВ ВМˆЛ‡О¸МУ„У Ы ‡‚МВМЛfl Т ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы- ˛˘ЛПЛ „ ‡МЛ˜М˚ПЛ ЫТОУ‚ЛflПЛ, ЪУ Б‡‰‡˜‡ ПВЪУ‰‡ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ УЪМУТЛЪВО¸МУ ВВ БМ‡˜ВМЛИ ‚ ЫБО‡ı Ф В‰ТЪ‡‚ОflВЪ ТУ·УИ ТЛТЪВПЫ ‡О„В· ‡Л˜ВТНЛı Ы ‡‚МВМЛИ.

л ЫПВМ¸¯ВМЛВП П‡НТЛП‡О¸МУ„У ‡БПВ ‡ ˝ОВПВМЪУ‚ Ы‚ВОЛ˜Л‚‡ВЪТfl ˜ЛТОУ ЫБОУ‚ Л МВЛБ‚ВТЪМ˚ı ЫБОУ‚˚ı Ф‡-‡ПВЪ У‚. ЗПВТЪВ Т ˝ЪЛП ФУ‚˚¯‡ВЪТfl ‚УБПУКМУТЪ¸ ·У- ОВВ ЪУ˜МУ Ы‰У‚ОВЪ‚У ЛЪ¸ Ы ‡‚МВМЛflП Б‡‰‡˜Л Л ЪВП Т‡- П˚П Ф Л·ОЛБЛЪ¸Тfl Н ЛТНУПУПЫ В¯ВМЛ˛. З М‡ТЪУfl˘ВВ ‚ ВПfl ЫКВ ЛБЫ˜ВМ˚ ПМУ„ЛВ ‚УФ УТ˚, Н‡Т‡˛˘ЛВТfl ТıУ- ‰ЛПУТЪЛ Ф Л·ОЛКВММУ„У В¯ВМЛfl ПВЪУ‰УП НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ Н ЪУ˜МУПЫ. СОfl ОЛМВИМ˚ı Б‡‰‡˜, НУ„‰‡ МВЛБ- ‚ВТЪМ˚В ЩЫМНˆЛЛ Л УФВ ‡ˆЛЛ М‡‰ МЛПЛ ‚ıУ‰flЪ ‚У ‚ТВ ТУУЪМУ¯ВМЛfl Б‡‰‡˜Л ЪУО¸НУ ‚ ФВ ‚УИ ТЪВФВМЛ, ПВЪУ‰ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ ФУОЫ˜ЛО ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ ФУОМУВ П‡ЪВ- П‡ЪЛ˜ВТНУВ У·УТМУ‚‡МЛВ [1]. З ‰‡О¸МВИ¯ВП ·Ы‰ВП ‡Т- ТП‡Ъ Л‚‡Ъ¸ ЪУО¸НУ ОЛМВИМ˚В Б‡‰‡˜Л, В¯ВМЛВ НУЪУ ˚ı ПВЪУ‰ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ Т‚У‰ЛЪ Н В¯ВМЛ˛ ТЛТЪВП ОЛМВИМ˚ı ‡О„В· ‡Л˜ВТНЛı Ы ‡‚МВМЛИ. йЪПВЪЛП МВТНУО¸НУ ‚‡КМ˚ı ‰УТЪУЛМТЪ‚ ПВЪУ‰‡ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚.

1. еВЪУ‰ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ ФУБ‚УОflВЪ ФУТЪ УЛЪ¸ Ы‰У·МЫ˛ ТıВПЫ ЩУ ПЛ У‚‡МЛfl ТЛТЪВП˚ ‡О„В· ‡Л˜ВТНЛı Ы ‡‚МВМЛИ УЪМУТЛЪВО¸МУ ЫБОУ‚˚ı БМ‡˜ВМЛИ ЛТНУПУИ ЩЫМНˆЛЛ. и Л·ОЛКВММ‡fl ‡ФФ УНТЛП‡ˆЛfl В¯ВМЛfl Ф Л ФУПУ˘Л Ф УТЪ˚ı ФУОЛМУПЛ‡О¸М˚ı ЩЫМНˆЛИ Л ‚ТВ МВ- У·ıУ‰ЛП˚В УФВ ‡ˆЛЛ ‚˚ФУОМfl˛ЪТfl М‡ УЪ‰ВО¸МУП ЪЛФУ- ‚УП ˝ОВПВМЪВ. б‡ЪВП Ф УЛБ‚У‰ЛЪТfl У·˙В‰ЛМВМЛВ ˝ОВПВМЪУ‚, ˜ЪУ Ф Л‚У‰ЛЪ Н Ъ В·ЫВПУИ ТЛТЪВПВ ‡О„В· ‡Л˜ВТНЛı Ы ‡‚МВМЛИ. н‡НУИ ‡О„У ЛЪП ФВ ВıУ‰‡ УЪ УЪ‰ВО¸МУ„У ˝ОВ-

ПВМЪ‡ Н Лı ФУОМУПЫ М‡·У Ы УТУ·ВММУ Ы‰У·ВМ ‰Оfl „ВУПВ- Ъ Л˜ВТНЛ Л ЩЛБЛ˜ВТНЛ ТОУКМ˚ı ТЛТЪВП.

2.д‡К‰УВ УЪ‰ВО¸МУВ ‡О„В· ‡Л˜ВТНУВ Ы ‡‚МВМЛВ, ФУОЫ˜ВММУВ М‡ УТМУ‚В ПВЪУ‰‡ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚, ТУ- ‰В КЛЪ МВБМ‡˜ЛЪВО¸МЫ˛ ˜‡ТЪ¸ ЫБОУ‚˚ı МВЛБ‚ВТЪМ˚ı УЪ У·˘В„У Лı ˜ЛТО‡. С Ы„ЛПЛ ТОУ‚‡ПЛ, ПМУ„ЛВ НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ˚ ‚ Ы ‡‚МВМЛflı ‡О„В· ‡Л˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚ ‡‚М˚ МЫ- О˛, ˜ЪУ БМ‡˜ЛЪВО¸МУ У·ОВ„˜‡ВЪ ВВ В¯ВМЛВ.

3.ᇉ‡˜Л, В¯ВМЛВ НУЪУ ˚ı УФЛТ˚‚‡ВЪТfl ЩЫМНˆЛflПЛ, Ы‰У‚ОВЪ‚У fl˛˘ЛПЛ ЩЫМНˆЛУМ‡О¸М˚П Ы ‡‚МВМЛflП, МУТflЪ М‡Б‚‡МЛВ НУМЪЛМЫ‡О¸М˚ı. З УЪОЛ˜ЛВ УЪ МЛıВ¯ВМЛВ Ъ‡Н М‡Б˚‚‡ВП˚ı ‰ЛТН ВЪМ˚ı Б‡‰‡˜ ЪУ˜МУ УФ В- ‰ВОflВЪТfl НУМВ˜М˚П ˜ЛТОУП Ф‡ ‡ПВЪ У‚, Ы‰У‚ОВЪ‚У fl˛- ˘Лı ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘ВИ ТЛТЪВПВ ‡О„В· ‡Л˜ВТНЛı Ы ‡‚МВМЛИ. еВЪУ‰ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚, Ъ‡Н КВ Н‡Н Л ‰ Ы„ЛВ ˜ЛТОВММ˚В ПВЪУ‰˚, ФУ ТЫ˘ВТЪ‚Ы Ф Л·ОЛКВММУ Б‡ПВМflВЪ НУМЪЛМЫ‡О¸МЫ˛ Б‡‰‡˜Ы М‡ ‰ЛТН ВЪМЫ˛. З ПВЪУ‰В НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ ‚Тfl Ф УˆВ‰Ы ‡ Ъ‡НУИ Б‡ПВМ˚ ЛПВВЪ Ф УТЪУИ ЩЛБЛ˜ВТНЛИ ТП˚ТО. щЪУ ФУБ‚УОflВЪ ·УОВВ ФУОМУ Ф В‰ТЪ‡‚ЛЪ¸ ТВ·В ‚ВТ¸ Ф УˆВТТ В¯ВМЛfl Б‡‰‡˜Л, ЛБ- ·ВК‡Ъ¸ ПМУ„Лı ‚УБПУКМ˚ı У¯Л·УН Л Ф ‡‚ЛО¸МУ УˆВМЛЪ¸ ФУОЫ˜‡ВП˚В ВБЫО¸Ъ‡Ъ˚.

4.иУПЛПУ НУМЪЛМЫ‡О¸М˚ı Б‡‰‡˜ ТıВП‡ ПВЪУ‰‡ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ Ф ЛПВМflВЪТfl ‰Оfl ТУВ‰ЛМВМЛfl ˝ОВПВМЪУ‚ Л ЩУ ПЛ У‚‡МЛfl ‡О„В· ‡Л˜ВТНЛı Ы ‡‚МВМЛИ Ф Л В¯ВМЛЛ МВФУТ В‰ТЪ‚ВММУ ‰ЛТН ВЪМ˚ı Б‡‰‡˜. щЪУ‡Т¯Л flВЪ ТЩВ Ы Ф ЛПВМВМЛfl ПВЪУ‰‡.

иВ ‚‡fl ‡·УЪ‡, „‰В ‡ТТП‡Ъ Л‚‡О‡Т¸ ТıВП‡ ЪЛФ‡ ПВЪУ‰‡ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚, Ф ЛМ‡‰ОВКЛЪ ЛБ‚ВТЪМУПЫ П‡ЪВП‡ЪЛНЫ к. дЫ ‡МЪЫ [2]. иУТЪ УВМЛВ ПВЪУ‰‡ Т ЛТФУО¸БУ‚‡МЛВП ЩЛБЛ˜ВТНЛı ТУУ· ‡КВМЛИ Л В„У М‡Б‚‡МЛВ “ПВЪУ‰ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚” ТУ‰В К‡ЪТfl ‚ ТЪ‡Ъ¸В, М‡- ФЛТ‡ММУИ ЛМКВМВ ‡ПЛ [3]. н‡НУВ ТУ˜ВЪ‡МЛВ ТФВˆЛ‡О¸- МУТЪВИ ‡‚ЪУ У‚ ı‡ ‡НЪВ МУ ‰Оfl ‡·УЪ ФУ ПВЪУ‰Ы НУМВ˜- М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚. З ФУТОВ‰Ы˛˘ВП ·˚ОУ УФЫ·ОЛНУ‚‡МУ ПМУ„У ТЪ‡ЪВИ Л НМЛ„, ФУТ‚fl˘ВММ˚ı ˝ЪУПЫ ПВЪУ‰Ы Л В„У‡БОЛ˜М˚П ПУ‰ЛЩЛН‡ˆЛflП. зВНУЪУ УВ Ф В‰ТЪ‡‚ОВМЛВ У· ˝ЪУП ПУКМУ ФУОЫ˜ЛЪ¸ ЛБ ТФЛТН‡ ОЛЪВ ‡ЪЫ ˚, М‡Ф Л- ПВ ‚ [4]. еВЪУ‰ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ В‡ОЛБУ‚‡М ‚ ·УО¸¯Лı ЫМЛ‚В Т‡О¸М˚ı НУПФ¸˛ЪВ М˚ı Ф‡НВЪ‡ı Ф У- „ ‡ПП, НУЪУ ˚В ЛПВ˛Ъ ¯Л УНУВ Ф ЛПВМВМЛВ.

икаеЦк СалдкЦнзйв бАСАуа

й· ‡ЪЛПТfl Н ‰ЛТН ВЪМУИ Б‡‰‡˜В, ТУТЪУflМЛВ НУЪУ УИ ЪУ˜МУ УФ В‰ВОflВЪТfl НУМВ˜М˚П ˜ЛТОУП Ф‡ ‡ПВЪ У‚. к‡ТТПУЪ ЛП ЫФ Ы„ЛИ ТЪВ КВМ¸ ‚ ‚Л‰В Ф flПУ„У Н Ы„У‚У- „У ˆЛОЛМ‰ ‡, ‰ОЛМ‡ НУЪУ У„У БМ‡˜ЛЪВО¸МУ ·УО¸¯В В„У ‰Л‡ПВЪ ‡. щЪУ ФУБ‚УОflВЪ УЪУК‰ВТЪ‚ЛЪ¸ ТЪВ КВМ¸ Т В„У УТ¸˛. иЫТЪ¸ Ъ Л Ъ‡НЛı ТЪВ КМfl ‡ТФУОУКВМ˚ М‡ УТЛ x Ë ÒÓ‰ËÌÂÌ˚ ÏÂÊ‰Û ÒÓ·ÓÈ ‚ ÚӘ͇ı 1 Ë 2 ( ËÒ. 2, ‡). íÓ˜ÍË a Ë b Б‡Н ВФОВМ˚, ˜ЪУ ЫТОУ‚МУ ЛБУ· ‡КВМУ М‡ ЛТЫМНВ. д УТflП ТЪВ КМВИ ‚‰УО¸ x Ф ЛОУКЛП ‚МВ¯М˛˛ М‡„ ЫБНЫ.

é˜Â‚ˉÌÓ, ÚÓ˜ÍË Ì‡ ÓÒflı ÒÚ ÊÌÂÈ Ô ÂÏ¢‡˛ÚÒfl ‚‰Óθ x. лЛО˚ Л ФВ ВПВ˘ВМЛfl Т˜ЛЪ‡˛ЪТfl ФУОУКЛЪВО¸- М˚ПЛ, ВТОЛ УМЛ М‡Ф ‡‚ОВМ˚ ‚ ФУОУКЛЪВО¸МУП М‡Ф ‡‚- ОВМЛЛ x. ᇉ‡˜‡ ТУТЪУЛЪ ‚ УФ В‰ВОВМЛЛ ФВ ВПВ˘ВМЛИ ЪУ˜ВН, Ф ЛМ‡‰ОВК‡˘Лı УТflП ТЪВ КМВИ Л Ф У‰УО¸М˚ı ‚МЫЪ ВММЛı ТЛО ‚ ФУФВ В˜М˚ı ТВ˜ВМЛflı ТЪВ КМВИ.

лУ„О‡ТМУ ПВЪУ‰Ы НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚, Ф В‰ТЪ‡‚ЛП ТЪВ КМВ‚Ы˛ ТЛТЪВПЫ ‚ ‚Л‰В ˝ОВПВМЪУ‚, ТУВ‰ЛМВММ˚ı ‚ ЫБО‡ı. З Н‡˜ВТЪ‚В ˝ОВПВМЪУ‚ Ф ЛПВП УЪ‰ВО¸М˚В ТЪВ К- МЛ, ‡ ЫБОУ‚ – ЪУ˜НЛ 1 Ë 2. ç‡ ËÒ. 2, ‡ ‚ ТНУ·Н‡ı ЫН‡Б‡М˚ МУПВ ‡ ˝ОВПВМЪУ‚. й· ‡ЪЛПТfl Н ЪЛФУ‚УПЫ ‰Оfl ‰‡ММУИ ТЛТЪВП˚ ˝ОВПВМЪЫ r. з‡ ˝ОВПВМЪ r Ò ÛÁ·ÏË i, j ( ËÒ. 2, ·) ПУКВЪ ‰ВИТЪ‚У‚‡Ъ¸ ‡ТФ В‰ВОВММ‡fl М‡„ ЫБН‡ ЛМЪВМТЛ‚- МУТЪЛ q(r)(x) Ë Ô ÂÏ¢ÂÌËfl Â„Ó ÛÁÎÓ‚ u(i r), u(jr) . è ËÏÂÏ

x = 0 ‚ ÛÁΠi Л У·УБМ‡˜ЛП ‰ОЛМЫ ˝ОВПВМЪ‡ l(r). èÓÎÛ˜ËÏ Á‡‰‡˜Û ‰Îfl ÙÛÌ͈ËË u(r)(x) Ô ÂÏ¢ÂÌËÈ ÚÓ˜ÂÍ ÓÒË r. ЕВТНУМВ˜МУ П‡О‡fl ˜‡ТЪ¸ ˝ОВПВМЪ‡ dx ̇ıÓ‰ËÚÒfl ‚ ‡‚- ÌÓ‚ÂÒËË ÔÓ‰ ‰ÂÈÒÚ‚ËÂÏ Ì‡„ ÛÁÍË q(r)(x)dx Ë Ô Ó‰ÓθÌ˚ı ‚ÌÛÚ ÂÌÌËı ÒËÎ N(r)(x), ‰ÂÈÒÚ‚Û˛˘Ëı Ú‡Í, Í‡Í ÔÓ͇Á‡ÌÓ Ì‡ ËÒ. 2, ‚. àÁ ÛÒÎÓ‚Ëfl ‡‚ÌÓ‚ÂÒËfl dx ЛПВВП

ëӄ·ÒÌÓ Á‡ÍÓÌÛ ÉÛ͇, ‰Îfl ÛÔ Û„Ó„Ó ÒÚ ÊÌfl

‡

i u(i r) = 1

(r)

j u(j r) = 0

f(jir) = f(j r)

·

(1)

f(111)

1 u1 = 1

f(112)

(2)

2 u2 = 0

(3)

ÒÚÂÏ˚ ‚ ˆÂÎÓÏ ÓÔ Â‰ÂÎflÂÚÒfl ‰‚ÛÏfl ÛÁÎÓ‚˚ÏË Ô ÂÏÂ- ˘ÂÌËflÏË u1 , u2 Л ‡ТТП‡Ъ Л‚‡ВП‡fl Б‡‰‡˜‡ fl‚ОflВЪТfl ‰ЛТ- Н ВЪМУИ.

СОfl ‚ТВИ ТЛТЪВП˚ ПУКМУ Б‡ФЛТ‡Ъ¸ ТУУЪМУ¯ВМЛfl ЪЛФ‡ (5) УЪМУТЛЪВО¸МУ ТЫПП‡ М˚ı ‰Оfl ТПВКМ˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ ‚МЫЪ ВММЛı ТЛО ‚ ЫБО‡ı 1, 2. é·ÓÁ̇˜ËÏ Ëı f1 , f2 . й˜В‚Л‰МУ, Н‡Н Л ‚ ТОЫ˜‡В ЪЛФУ‚У„У ˝ОВПВМЪ‡, УМЛ ‰УОК- М˚ ОЛМВИМУ Б‡‚ЛТВЪ¸ УЪ u1 , u2 :

f1 = f11u1 + f12u2 ,

f2 = f21u1 + f22u2 .

ǂ‰ÂÏ ÒÚÓηˆ˚ f, u Л П‡Ъ ЛˆЫ КВТЪНУТЪЛ ‚ТВИ ТЛТЪВП˚ K ÔÓ ÙÓ ÏÛ·Ï

f11 = f(111) + f(112) = f1

êËÒ. 3

НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУП КВТЪНУТЪЛ Ф ЫКЛМ˚. АМ‡ОУ„Л˜МУ K(r) МУТЛЪ М‡Б‚‡МЛВ П‡Ъ Лˆ˚ КВТЪНУТЪЛ ˝ОВПВМЪ‡ r.

йЪ ЪЛФУ‚У„У ˝ОВПВМЪ‡ ФВ ВИ‰ВП Н УЪ‰ВО¸М˚П ˝ОВПВМЪ‡П ‰‡ММУИ ТЛТЪВП˚. СОfl ˝ОВПВМЪ‡ 2 Т ‰‚ЫПfl ЫБО‡ПЛ 1, 2 ТФ ‡‚В‰ОЛ‚˚ ‚ТВ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ (4)–(7), „‰В ТОВ‰ЫВЪ ФУОУКЛЪ¸ r = 2, i = 1, j = 2. иУТНУО¸НЫ ЪУ˜НЛ a, b МВФУ- ‰‚ЛКМ˚, ЪУ ТУТЪУflМЛВ ˝ОВПВМЪ‡ 1 УФ В‰ВОflВЪТfl ФВ В- ПВ˘ВМЛВП ЫБО‡ 1, ‡ ˝ОВПВМЪ‡ 3 – ФВ ВПВ˘ВМЛВП ЫБО‡ 2. з‡ УТМУ‚‡МЛЛ (4) ·Ы‰ВП ЛПВЪ¸ ‰Оfl ˝ОВПВМЪУ‚ 1 Л 3 ТУУЪМУ¯ВМЛfl

нУ„‰‡ П‡Ъ Л˜МУВ ТУУЪМУ¯ВМЛВ ЪЛФ‡ (7) ‰Оfl ‚ТВИ ТЛТЪВ- П˚ ·Ы‰ВЪ

á‰ÂÒ¸ flt (l = 1, 2; t = 1, 2) ВТЪ¸ ТЫПП‡ М‡fl ‰Оfl ТПВКМ˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ ‚ ЫБОВ l ‚ÌÛÚ ÂÌÌflfl ÒË· fl , ‚УБМЛН‡˛˘‡fl УЪ В‰ЛМЛ˜МУ„У ФВ ВПВ˘ВМЛfl ЫБО‡ t. и Л ˝ЪУП ФВ ВПВ˘В- МЛВ ‰ Ы„У„У ЫБО‡ ‡‚МУ МЫО˛. щЪЛ ТЫПП‡ М˚В ТЛО˚ УФ-В‰ВОfl˛ЪТfl ˜В ВБ ЫБОУ‚˚В ТЛО˚ ‚ ТПВКМ˚ı ˝ОВПВМЪ‡ı

Ë, Òӄ·ÒÌÓ (13), K = K(1) + K(2) + K(3). аБ ЫТОУ‚Лfl ‡‚МУ- ‚ВТЛfl ˝ОВПВМЪ‡ r ÒΉÛÂÚ f (ltr) = ±N(r) Ô Ë u(l r) = 0,

u(t r) = 1, „‰Â N(r) > 0 Ф Л ‡ТЪflКВМЛЛ Л N(r) < 0 Ô Ë Òʇ- ÚËË. Ç ÂÁÛθڇÚ ̇ ÓÒÌÓ‚‡ÌËË (4) Ë (8) ·Û‰ÂÏ ËÏÂÚ¸

àÁ ÛÒÎÓ‚Ëfl ‡‚ÌÓ‚ÂÒËfl ÛÁÎÓ‚ 1, 2 ÒΉÛÂÚ f1 = P1 , f2 = P2 ËÎË ‰Îfl ÒÚÓηˆÓ‚ f = P, „‰Â P – ÒÚÓηˆ ËÁ P1 , P2 . иУ‰ТЪ‡‚Оflfl Т˛‰‡ ‚ПВТЪУ f В„У ‚˚ ‡КВМЛВ ТУ„О‡ТМУ (12), УНУМ˜‡ЪВО¸МУ ФУОЫ˜ЛП ТЛТЪВПЫ ‡О„В· ‡Л˜ВТНЛı Ы ‡‚- МВМЛИ УЪМУТЛЪВО¸МУ u1 , u2

иУТОВ УФ В‰ВОВМЛfl u1 , u2 ‚ ÂÁÛθڇÚ ¯ÂÌËfl (15) ̇- ıÓ‰flÚÒfl u(r)(x), N(r) ‚У ‚ТВı ˝ОВПВМЪ‡ı ТЛТЪВП˚ Ф Л ФУПУ˘Л (4) Л (8).

н‡НЛП У· ‡БУП, ТıВП‡ ПВЪУ‰‡ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ ‰Оfl ‰ЛТН ВЪМ˚ı Б‡‰‡˜ ТУТЪУЛЪ ЛБ Ф В‰ТЪ‡‚ОВМЛfl ТЛТЪВ- П˚ ‚ ‚Л‰В ТУ‚УНЫФМУТЪЛ УЪ‰ВО¸М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚, ЛТФУО¸- БУ‚‡МЛfl ЪУ˜МУ„У В¯ВМЛfl ‰Оfl ЪЛФУ‚У„У ˝ОВПВМЪ‡ Л ТУ- В‰ЛМВМЛfl ˝ОВПВМЪУ‚ ‚ ТЛТЪВПЫ. е‡Ъ Лˆ‡ КВТЪНУТЪЛ ‚ТВИ ТЛТЪВП˚ УФ В‰ВОflВЪТfl ФУТ В‰ТЪ‚УП П‡Ъ Лˆ КВТЪНУТЪЛ УЪ‰ВО¸М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ Л fl‚ОflВЪТfl П‡Ъ ЛˆВИ ТЛТЪВ- П˚ ‡О„В· ‡Л˜ВТНЛı Ы ‡‚МВМЛИ УЪМУТЛЪВО¸МУ МВЛБ‚ВТЪ- М˚ı ЫБОУ‚˚ı ФВ ВПВ˘ВМЛИ. з‡ОЛ˜ЛВ ЪУ˜МУ„У В¯ВМЛfl ‰Оfl ЪЛФУ‚У„У ˝ОВПВМЪ‡, Б‡‚ЛТfl˘В„У УЪ НУМВ˜МУ„У ˜ЛТО‡ Ф‡ ‡ПВЪ У‚ – ЫБОУ‚˚ı ФВ ВПВ˘ВМЛИ, ‰ВО‡ВЪ Б‡‰‡˜Ы ‰ЛТН ВЪМУИ.

лалнЦеА газЦвзхп АгЙЦЕкАауЦлдап мкАЗзЦзав

еВЪУ‰ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ Т‚У‰ЛЪ В¯ВМЛВ ОЛМВИМУИ Б‡‰‡˜Л Н В¯ВМЛ˛ ТЛТЪВП˚ ОЛМВИМ˚ı ‡О„В· ‡Л˜ВТНЛı Ы ‡‚МВМЛИ

f11u1 + f12u2 + … + f1nun = P1 ,

............................................. (63)

fn1u1 + fn2u2 + … + fnnun = Pn .

á‰ÂÒ¸ ui (i = 1, 2, …, n) – ÌÂËÁ‚ÂÒÚÌ˚Â, Pi (i = 1, 2, …, n) – Á‡‰‡ÌÌ˚ ҂ӷӉÌ˚ ˜ÎÂÌ˚, fij (i, j = 1, 2, …, n) – ÍÓ˝Ù- ÙˈËÂÌÚ˚ Ô Ë ÌÂËÁ‚ÂÒÚÌ˚ı. èÓ ‡Ì‡ÎÓ„ËË Ò (11) ÍÓ˝Ù-

ÙˈËÂÌÚ˚ fij У· ‡БЫ˛Ъ Н‚‡‰ ‡ЪМЫ˛ П‡Ъ ЛˆЫ, ТУТЪУfl˘Ы˛ ЛБ n ÒÚ ÓÍ Ë n ÒÚÓηˆÓ‚:

ÖÒÎË Ó·ÓÁ̇˜ËÚ¸ ÒÚÓηˆ ÌÂËÁ‚ÂÒÚÌ˚ı u, ‡ ÒÚÓηˆ Ò‚Ó·Ó‰Ì˚ı ˜ÎÂÌÓ‚ P, ЪУ (16) Ф ЛМЛП‡ВЪ П‡Ъ Л˜МЫ˛ ЩУ ПЫ (15). лЛТЪВП‡ ‡О„В· ‡Л˜ВТНЛı Ы ‡‚МВМЛИ ‰УОК- М‡ ·˚Ъ¸ МВ‚˚ УК‰ВММУИ, ЪУ ВТЪ¸ ЛПВЪ¸ В‰ЛМТЪ‚ВММУВВ¯ВМЛВ. д‡Б‡ОУТ¸ ·˚, ‰‡О¸МВИ¯ВВ flТМУ. еУКМУ ‚УТФУО¸БУ‚‡Ъ¸Тfl ‰Оfl В¯ВМЛfl (16), М‡Ф ЛПВ , ПВЪУ‰УП ЛТНО˛˜ВМЛfl Й‡ЫТТ‡. й‰М‡НУ Ф Л Ф ЛПВМВМЛЛ Ф Л·ОЛКВМ- М˚ı ПВЪУ‰У‚ У·˚˜МУ Ф ЛıУ‰ЛЪТfl ЛПВЪ¸ ‰ВОУ Т ТЛТЪВП‡ПЛ ·УО¸¯У„У ФУ fl‰Н‡ n, Л П‡Ъ Лˆ‡, ‚УУ·˘В „У‚У fl, ПУКВЪ ЛПВЪ¸ Ъ‡НЫ˛ ТЪ ЫНЪЫ Ы, НУЪУ ‡fl Б‡Ъ Ы‰МflВЪ ФУОЫ˜ВМЛВВ¯ВМЛfl. и Л ˝ЪУП М‡ ЪУ˜МУТЪЛ ВБЫО¸Ъ‡Ъ‡ ‚ ЪУИ ЛОЛ ЛМУИ ТЪВФВМЛ ТН‡Б˚‚‡˛ЪТfl МВЛБ·ВКМ˚В ‚ Ф УˆВТТВ ‚˚- ˜ЛТОВМЛИ У¯Л·НЛ УН Ы„ОВМЛfl. й‰МЛП ЛБ ‚‡КМ˚ı ‰У- ТЪУЛМТЪ‚ ПВЪУ‰‡ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ fl‚ОflВЪТfl ЪУ, ˜ЪУ УМ У·˚˜МУ Ф Л‚У‰ЛЪ Н Ъ‡НЛП ТЛТЪВП‡П ‡О„В· ‡Л˜ВТНЛı Ы ‡‚МВМЛИ, П‡Ъ Лˆ˚ K НУЪУ ˚ı ФУБ‚УОfl˛Ъ ˝ЩЩВНЪЛ‚- МУ ТЪ УЛЪ¸ В¯ВМЛВ.

Ç˚flÒÌËÏ, ͇ÍÓÈ Ê·ÚÂθÌÓ ËÏÂÚ¸ Ï‡Ú ËˆÛ K ‚ (16). и В‰ВОУП ПВ˜Ъ˚ ·˚О‡ ·˚ ТЛТЪВП‡ (16) Т ‰Л‡„У- М‡О¸МУИ П‡Ъ ЛˆВИ K, ÍÓ„‰‡ ‚Ò fij = 0 Ô Ë i j. Ç ˝ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â (16) ‡ÒÔ‡‰‡ÂÚÒfl ̇ ÓÚ‰ÂθÌ˚Â Û ‡‚ÌÂÌËfl fiiui = Pi . н‡НУВ ПУКВЪ ·˚Ъ¸, ЪУО¸НУ ВТОЛ ‚ ЩЛБЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВПВ, ‡ТТ˜ЛЪ˚‚‡ВПУИ ПВЪУ‰УП НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚, ЫБО˚ ПВК‰Ы ТУ·УИ МВ Т‚flБ‡М˚, ЪУ ВТЪ¸ ФУ ТЫ˘ВТЪ‚Ы ТЛТЪВП˚ МВ ТЫ˘ВТЪ‚ЫВЪ. й‰М‡НУ ЪВФВ ¸ ЫКВ flТМУ, Н ˜ВПЫ М‡‰У ТЪ ВПЛЪ¸Тfl: ТОВ‰ЫВЪ Ъ‡Н ‚˚ФУОМflЪ¸ Ф УˆВТТ ФУТЪ-УВМЛfl ‡О„В· ‡Л˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚ Ы ‡‚МВМЛИ, ˜ЪУ·˚ П‡Ъ-Лˆ‡ ФУ ‚УБПУКМУТЪЛ ТУ‰В К‡О‡ ·УО¸¯В МЫОВ‚˚ı НУ- ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚ Л ·˚О‡ ·ОЛБН‡ Н ‰Л‡„УМ‡О¸МУИ, ‰ Ы„ЛПЛ ТОУ‚‡ПЛ, КВО‡ЪВО¸МУ, ˜ЪУ·˚ ‚ Н‡К‰УВ Ы ‡‚МВМЛВ ‚ıУ‰Л- ОУ УЪМУТЛЪВО¸МУ МВ·УО¸¯УВ ˜ЛТОУ МВЛБ‚ВТЪМ˚ı ‚ ТУТВ‰МЛı ЫБО‡ı.

е‡Ъ Лˆ˚, ·ОЛБНЛВ Н ‰Л‡„УМ‡О¸М˚П, У·˚˜МУ ЛПВ˛Ъ ОВМЪУ˜МЫ˛ ТЪ ЫНЪЫ Ы, НУ„‰‡ ‚ТВ МВМЫОВ‚˚В Л МВНУЪУ ˚В МЫОВ‚˚В НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ˚ М‡ıУ‰flЪТfl ПВК‰Ы ‰‚ЫПfl ОЛМЛflПЛ, Ф‡ ‡ООВО¸М˚ПЛ „О‡‚МУИ ‰Л‡„УМ‡ОЛ. з‡Ф ЛПВ ,

t1

„‰Â ÁÌ‡Í * Á‡ÏÂÌflÂÚ ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ˚, ÓÚ΢Ì˚ ÓÚ ÌÛÎfl,

‡ „О‡‚М‡fl ‰Л‡„УМ‡О¸ Л Ф‡ ‡ООВО¸М˚В ВИ ОЛМЛЛ ЫН‡Б‡М˚

ФЫМНЪЛ УП. гВМЪУ˜МЫ˛ П‡Ъ ЛˆЫ ı‡ ‡НЪВ ЛБЫВЪ ¯Л ЛМ‡ ОВМЪ˚ t = t1 + t2 + 1, ‡‚М‡fl М‡Л·УО¸¯ВПЫ ˜ЛТОЫ НУ˝Щ- ЩЛˆЛВМЪУ‚ ‚ ТЪ УНВ ‚ Ф В‰ВО‡ı ОВМЪ˚. З ‰‡ММУП ТОЫ˜‡В t1 = t2 = 2 Ë t = 5. ÑÎfl ‰Ë‡„Ó̇θÌÓÈ Ï‡Ú Ëˆ˚ t = 1. и ЛВ¯ВМЛЛ ТЛТЪВП˚ Ы ‡‚МВМЛИ Т ОВМЪУ˜МУИ П‡Ъ ЛˆВИ Ы˜‡ТЪ‚Ы˛Ъ ЪУО¸НУ ЪВ НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ˚, НУЪУ ˚В ‡ТФУОУКВМ˚ ‚ Ф В‰ВО‡ı ОВМЪ˚. уЛТОУ ‡ ЛЩПВЪЛ˜ВТНЛı УФВ ‡- ˆЛИ, МВУ·ıУ‰ЛП˚ı ‰Оfl В¯ВМЛfl ТЛТЪВП˚ ‡О„В· ‡Л˜ВТНЛı Ы ‡‚МВМЛИ Т ФУОМУТЪ¸˛ Б‡ФУОМВММУИ П‡Ъ ЛˆВИ ПВЪУ‰УП Й‡ЫТТ‡, Ф Л ·УО¸¯Лı n ЛПВВЪ ФУ fl‰УН n3. З ЪУ КВ ‚ ВПfl ‰Оfl ОВМЪУ˜МУИ П‡Ъ Лˆ˚ Ф Л t1 = t2 Ë t1 ! n ÓÌ ÒÓÒÚ‡‚ÎflÂÚ nt21.

СОfl Ф ЛПВ ‡ ОВМЪУ˜МУИ П‡Ъ Лˆ˚ У· ‡ЪЛПТfl Н Б‡- ‰‡˜‡П Ф В‰˚‰Ы˘В„У ‡Б‰ВО‡, МУ Т ФflЪ¸˛ ЫБО‡ПЛ Л ¯ВТ- Ъ¸˛ ˝ОВПВМЪ‡ПЛ М‡ ЛТ. 2, „. А̇Îӄ˘ÌÓ (11) Ï‡Ú Ëˆ‡ K ·Û‰ÂÚ ËÏÂÚ¸ ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ˚ flt . èÓ ÒÏ˚ÒÎÛ flt ÓÌË ÓÚ΢- Ì˚ ÓÚ ÌÛÎfl ÚÓθÍÓ ‰Îfl ÚÂı ÛÁÎÓ‚ l, „‰Â Ô ÂÏ¢ÂÌË ÛÁ· t ‚˚Á˚‚‡ÂÚ ÓÚ΢ÌÛ˛ ÓÚ ÌÛÎfl ÒËÎÛ Ô Ë ÛÒÎÓ‚ËË, ˜ÚÓ ÓÒ- ڇθÌ˚ ÛÁÎ˚, Í ÓÏ t, ÌÂÔÓ‰‚ËÊÌ˚. éÚÒ˛‰‡ Ô Ë ÌÛÏÂ-‡ˆËË ÛÁÎÓ‚, ÔÓ͇Á‡ÌÌÓÈ Ì‡ ËÒ. 2, „, Ò΂‡ ÓÚ ÓÒË x ЛПВВП

á‰ÂÒ¸ t = 3 Ë Ï‡Ú Ëˆ‡ K fl‚ÎflÂÚÒfl Ú Âı‰Ë‡„Ó̇θÌÓÈ.

и Л Ф ЛПВМВМЛЛ ПВЪУ‰‡ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ ¯Л-ЛМ‡ ФУОУТ˚ ОВМЪУ˜МУИ П‡Ъ Лˆ˚ Б‡‚ЛТЛЪ УЪ МЫПВ ‡- ˆЛЛ ЫБОУ‚. з‡Ф ЛПВ , ВТОЛ Ф УМЫПВ У‚‡Ъ¸ ЫБО˚ Ъ‡Н, Н‡Н ФУН‡Б‡МУ М‡ ЛТ. 2, „ ÒÔ ‡‚‡ ÓÚ ÓÒË x, ÚÓ K Ф ЛПВЪ ‚Л‰ (17). ЗУУ·˘В ВТОЛ ˝ОВПВМЪ˚ ЛПВ˛Ъ МВТНУО¸НУ ЫБОУ‚, ЪУ Ф Л t1 = t2 ‚Â΢Ë̇ t1 ‡‚М‡ П‡НТЛП‡О¸МУИ ФУ ˝ОВПВМЪ‡П ‚ВОЛ˜ЛМВ М‡Л·УО¸¯ВИ ‡БМУТЪЛ ПВК‰Ы МУПВ ‡ПЛ ЫБОУ‚ ‚ УЪ‰ВО¸МУП ˝ОВПВМЪВ. З ФВ ‚УП ТОЫ˜‡В МЫПВ ‡ˆЛЛ ЫБОУ‚ ТОВ‚‡ М‡ ЛТ. 2, „ t1 = 1, ‡ Ô Ë ÌÛÏÂ-‡ˆËË ÒÔ ‡‚‡ t1 = 2.

З МВНУЪУ ˚ı ТОЫ˜‡flı ЛТıУ‰М‡fl ФУТЪ‡МУ‚Н‡ Б‡‰‡˜Л ПУКВЪ УН‡Б‡Ъ¸Тfl М‡ТЪУО¸НУ ФОУıУИ, ˜ЪУ ‰‡КВ ПВЪУ‰ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ МВ ПУКВЪ ФУПУ˜¸. а М‡‰У ВВ ПВМflЪ¸. и Л ˝ЪУП ЛПВВЪ ПВТЪУ ТЛТЪВП‡ ‡О„В· ‡Л˜ВТНЛı Ы ‡‚МВМЛИ, ‚ НУЪУ УИ П‡О˚В ЛБПВМВМЛfl НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚ ЛОЛ Т‚У·У‰М˚ı ˜ОВМУ‚ Ф Л‚У‰flЪ Н БМ‡˜ЛЪВО¸МУПЫ ЛБПВМВМЛ˛ В¯ВМЛfl. н‡НЛВ ТЛТЪВП˚ Ы ‡‚МВМЛИ МУТflЪ М‡Б‚‡- МЛВ ФОУıУ У·ЫТОУ‚ОВММ˚ı. З˚flТМЛП, ‚ ˜ВП Ф Л˜ЛМ‡ ФОУıУИ У·ЫТОУ‚ОВММУТЪЛ М‡ Ф ЛПВ В ТЛТЪВП˚ (15), НУЪУ Ы˛ ФВ ВФЛ¯ВП ‚ ‚Л‰В

З Ф flПУЫ„УО¸МУИ ТЛТЪВПВ НУУ ‰ЛМ‡Ъ u1 , u2 М‡ ЛТ. 4 Ы ‡‚МВМЛВ Ф flПУИ ·Ы‰ВЪ u2 = u1 tgα + g, „‰Â α – Ы„УО ПВК‰Ы Ф flПУИ Л ФУОУКЛЪВО¸М˚П М‡Ф ‡‚ОВМЛВП УТЛ u1 , g – УЪ ВБУН УЪТВН‡ВП˚И Ф flПУИ М‡ УТЛ u2 . ì ‡‚ÌÂÌËfl (18) ÓÔËÒ˚‚‡˛Ú ‰‚Â Ô flÏ˚ ̇ ËÒ. 4, ‡ ¯ÂÌË (18) Ô Â‰ÒÚ‡‚ÎflÂÚ ÒÓ·ÓÈ ÍÓÓ ‰Ë̇Ú˚ ÚÓ˜ÍË Ô ÂÒ˜ÂÌËfl ˝ÚËı Ô flÏ˚ı. á‰ÂÒ¸

ÖÒÎË α1 = α2 Л Ф flП˚В Ф‡ ‡ООВО¸М˚, ЪУ В¯ВМЛВ ТЛТЪВП˚ (18) МВ ТЫ˘ВТЪ‚ЫВЪ Л УМ‡ fl‚ОflВЪТfl ‚˚ УК‰ВММУИ. ЦТОЛ α1 Ë α2 ‡БОЛ˜‡˛ЪТfl П‡ОУ, ЪУ ТЛТЪВП‡ ·ОЛБН‡ Н ‚˚ УК‰ВММУИ. и Л ˝ЪУП МВБМ‡˜ЛЪВО¸М˚В ЛБПВМВМЛfl Ы„ОУ‚ α1 , α2 ТЛО¸МУ ТН‡КЫЪТfl М‡ НУУ ‰ЛМ‡Ъ‡ı ЪУ˜НЛ ФВ-ВТВ˜ВМЛfl Ф flП˚ı, ЪУ ВТЪ¸ М‡ В¯ВМЛЛ. н‡НЛП У· ‡БУП, ФОУı‡fl У·ЫТОУ‚ОВММУТЪ¸ У·˙flТМflВЪТfl ЪВП, ˜ЪУ ТЛТЪВП‡ fl‚ОflВЪТfl ФУ˜ЪЛ ‚˚ УК‰ВММУИ.

БМ‡˜ЛЪВО¸МУ ·УОВВ КВТЪНЛИ, ˜ВП ˝ОВПВМЪ˚ 1 Л 3. и Л ˝ЪУП tgα1 ≈ tgα2 Л ТЛТЪВП‡ (18) ФУ˜ЪЛ ‚˚ УК‰ВММ‡fl. З ‰‡ММУП ТОЫ˜‡В ‡БЫПМУ ЛБПВМЛЪ¸ ФУТЪ‡МУ‚НЫ Б‡‰‡˜Л Л Т˜ЛЪ‡Ъ¸ ˝ОВПВМЪ 2 ‡·ТУО˛ЪМУ КВТЪНЛП ФУ Т ‡‚МВМЛ˛ Т ˝ОВПВМЪ‡ПЛ 1 Л 3. щЪУ ФУБ‚УОflВЪ У·˙В‰ЛМЛЪ¸ ЫБО˚ 1 Ë 2 ‚ Ó‰ËÌ ÛÁÂÎ, ÍÓÚÓ ˚È Ó·ÓÁ̇˜ËÏ 12, Л Ф ЛОУКЛЪ¸ Н МВПЫ ТЫПП‡ МЫ˛ ТЛОЫ P12 = P1 + P2 . ЦТОЛ ‚ (18) ФУОУКЛЪ¸ u1 = u2 = u12 , ‚˚˜ÂÒÚ¸ ËÁ Ô ‚Ó„Ó Û ‡‚ÌÂÌËfl ‚ÚÓ ÓÂ Ë ÔÓ-

êËÒ. 4

икаеЦк дйзназмАгъзйв бАСАуа

й· ‡ЪЛПТfl Н Б‡‰‡˜В (3) ‰Оfl У‰МУ„У ˝ОВПВМЪ‡. З У·˘ВП ТОЫ˜‡В Б‡‰‡МЛfl q(r)(x) УМ‡ fl‚ОflВЪТfl НУМЪЛМЫ‡О¸МУИ Б‡‰‡- ˜ВИ. СОfl Ф УТЪУЪ˚ ФУОУКЛП Ò(r) = 1, l(r) = 1, u(i r) = u(jr) = 0 Л УФЫТЪЛП ЛМ‰ВНТ r, ÚÓ„‰‡ Á‡‰‡˜‡ (3) ·Û‰ÂÚ

−u" = q(x), u(0) = u(1) = 0, (66)

„‰Â ¯Ú ËıË ÓÁ̇˜‡˛Ú ‰ËÙÙ ÂÌˆË Ó‚‡ÌË ÔÓ x. лУ- „О‡ТМУ ТıВПВ ПВЪУ‰‡ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ ‡БУ·¸ВП ЛМЪВ ‚‡О 0, 1 М‡ ˝ОВПВМЪ˚, ТУВ‰ЛМВММ˚В ‚ ЫБО‡ı xi (i = 0, 1, …, n + 1) ( ЛТ. 5). ЕЫ‰ВП ‡Б˚ТНЛ‚‡Ъ¸ Ф Л·ОЛКВММУВ В- ¯ВМЛВ (19) Т В‰Л ЩЫМНˆЛИ ТВПВИТЪ‚‡ Т НУМВ˜М˚П ˜ЛТОУП Ф‡ ‡ПВЪ У‚ ‚ ‚Л‰В

u(x) = u0ϕ0(x) + u1ϕ1(x) + … + unϕn(x) + un + 1ϕn + 1(x). (67)

á‰ÂÒ¸ u(x) Ф Л·ОЛКВММУ Ф В‰ТЪ‡‚ОВМ‡ ОЛМВИМУИ НУП- ·ЛМ‡ˆЛВИ МВНУЪУ ˚ı ЩЫМНˆЛИ ϕi(x) Ò ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ‡ÏË (Ô‡ ‡ÏÂÚ ‡ÏË) ui = u(xi) – МВЛБ‚ВТЪМ˚ПЛ БМ‡˜ВМЛflПЛ ЛТНУПУИ ЩЫМНˆЛЛ ‚ ЫБО‡ı xi . ÑÎfl ÚÓ„Ó ˜ÚÓ·˚ ‚ (20) u(xi) = ui ‚Ó ‚ÒÂı ÛÁ·ı xi , ÙÛÌ͈ËË ϕi(x) ‰ÓÎÊÌ˚ Û‰Ó‚- ÎÂÚ‚Ó flÚ¸ ÛÒÎÓ‚ËflÏ ϕi(xi) = 1 Ë ϕi(xj) = 0 ‰Îfl ‚ÒÂı ÛÁÎÓ‚ xj Ô Ë j i. д УПВ ЪУ„У, ˜ЪУ·˚ ‚˚ФУОМflОЛТ¸ „ ‡МЛ˜М˚В ЫТОУ‚Лfl (19), ТОВ‰ЫВЪ ‚ (20) ФУОУКЛЪ¸ u0 = un + 1 = 0. Ç ÓÒ- ڇθÌÓÏ ÙÛÌ͈ËË ϕi(x), НУЪУ ˚В МУТflЪ М‡Б‚‡МЛВ Ф У·- М˚ı, ПУКМУ ‚˚·Л ‡Ъ¸ ‚ ‰У‚УО¸МУ ¯Л УНЛı Ф В‰ВО‡ı. й·˘ЛВ Ъ В·У‚‡МЛfl Н МЛП ТУТЪУflЪ ‚ ‚УБПУКМУТЪЛ ‚˚- ФУОМЛЪ¸ Ф УˆВТТ ФУТЪ УВМЛfl Ф Л·ОЛКВММУ„У В¯ВМЛfl Л М‡ УТМУ‚В (20) Ф Л n УТЫ˘ВТЪ‚ЛЪ¸ ТНУО¸ Ы„У‰МУ ЪУ˜МУ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘Ы˛ ‡ФФ УНТЛП‡ˆЛ˛ О˛·УИ ЩЫМНˆЛЛ, Т В‰Л НУЪУ ˚ı ‡Б˚ТНЛ‚‡ВЪТfl В¯ВМЛВ Б‡‰‡˜Л. й˜В‚Л‰МУ, ‚˚·У ϕi(x) Л„ ‡ВЪ ‚‡КМВИ¯Ы˛ УО¸ Н‡Н ‚ УЪМУ¯ВМЛЛ Ъ Ы‰УВПНУТЪЛ ‡Т˜ВЪ‡, Ъ‡Н Л ЪУ˜МУТЪЛ ВБЫО¸- Ъ‡Ъ‡. еВЪУ‰ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ УФВ Л ЫВЪ ‚ Н‡˜ВТЪ‚В ϕi(x) НЫТУ˜МУ-ФУОЛМУПЛ‡О¸М˚ПЛ ЩЫМНˆЛflПЛ, УЪОЛ˜- М˚ПЛ УЪ МЫОfl ‚ Ф В‰ВО‡ı МВ·УО¸¯У„У ˜ЛТО‡ ˝ОВПВМЪУ‚ ‚·ОЛБЛ ЫБО‡ xi . аПВММУ ˝ЪУ ‰ВО‡ВЪ ПВЪУ‰ П‡НТЛП‡О¸МУ ˝ЩЩВНЪЛ‚М˚П. иУТНУО¸НЫ u(x) ФУ Т‚УВПЫ ЩЛБЛ˜ВТНУПЫ ТП˚ТОЫ ‰УОКМ‡ ·˚Ъ¸ МВФ В ˚‚МУИ ЩЫМНˆЛВИ, ‚˚·В ВП ϕi(x) ‚ ‚Л‰В НЫТУ˜МУ-ОЛМВИМ˚ı ЩЫМНˆЛИ-“‰УПЛНУ‚”, УЪОЛ˜М˚ı УЪ МЫОfl М‡ ‰‚Ыı ˝ОВПВМЪ‡ı (ТП. ЛТ. 5). д‡К- ‰‡fl Ъ‡Н‡fl ЩЫМНˆЛfl ϕi(x), i = 1, 2, …, n, ‡‚̇ ‰ËÌˈ ‚ xi Ë ÌÛβ ‚Ó ‚ÒÂı ÓÒڇθÌ˚ı ÛÁ·ı. è Ë ˝ÚÓÏ Ì‡·Ó ÙÛÌ͈ËÈ u(x) ‚ (20) ·Ы‰ВЪ ТУТЪУflЪ¸ ЛБ МВФ В ˚‚М˚ı ЩЫМНˆЛИ ОЛМВИМ˚ı ‚ Ф В‰ВО‡ı ˝ОВПВМЪУ‚ Т ЛБОУП‡ПЛ ‚

êËÒ. 5

ÛÁ·ı Ë ÓÔ Â‰ÂÎflÂÏ˚ı Ò‚ÓËÏË ÛÁÎÓ‚˚ÏË Á̇˜ÂÌËflÏË ui , i = 1, 2, …, n. з‡ НУМˆ‡ı ЛМЪВ ‚‡О‡ 0, 1 УМЛ У· ‡˘‡˛ЪТfl ‚ МЫО¸. д‡К‰Ы˛ ЛБ Ъ‡НЛı ЩЫМНˆЛИ ПУКМУ ЛБУ· ‡БЛЪ¸ ‚ ‚Л‰В ОУП‡МУИ ОЛМЛЛ.

éÒÚ‡ÂÚÒfl ÓÔ Â‰ÂÎËÚ¸ ui ‚ (20). щЪУ ПУКМУ Т‰ВО‡Ъ¸ ФУ- ‡БМУПЫ ФЫЪВП Ф Л·ОЛКВММУ„У Ы‰У‚ОВЪ‚У ВМЛfl Ы ‡‚МВМЛ˛ ‚ (19). й‰М‡НУ, ФУТНУО¸НЫ Ы ‡‚МВМЛВ ‚ (19) ТУ‰В КЛЪ u", ‡ ÛÊ u' ‚ (20) ЪВ ФЛЪ ‡Б ˚‚˚ МВФ В ˚‚- МУТЪЛ ‚ ЫБО‡ı, ‚УТФУО¸БЫВПТfl ТОВ‰Ы˛˘ЛП Ф ЛВПУП. й·УБМ‡˜ЛП R(x) = u"(x) + q(x) Ì‚flÁÍÛ Û ‡‚ÌÂÌËfl ‚ (19). íÓ˜ÌÓ ¯ÂÌË ‰‡ÂÚ R(x) = 0, Ë, ÒΉӂ‡ÚÂθÌÓ,

‰Îfl β·˚ı ÙÛÌ͈ËÈ ϕ(x), НУЪУ ˚В МУТflЪ М‡Б‚‡МЛВ ЪВТЪУ‚˚ı. иУТНУО¸НЫ ‡Б˚ТНЛ‚‡ВЪТfl Ф Л·ОЛКВММУВ В¯В- МЛВ ‚ ЩУ ПВ (20) Л ‰Оfl МВ„У, Н‡Н Ф ‡‚ЛОУ, R(x) 0, ЪУ ‚˚ФУОМВМЛВ ЪВТЪУ‚У„У ЫТОУ‚Лfl (21) М‡ ·‡БВ (20) МВ‚УБПУКМУ. лПfl„˜ЛП ‚˚ФУОМВМЛВ ЫТОУ‚Лfl (21), ФУЪ В·У- ‚‡‚, ˜ЪУ·˚ УМУ ‚˚ФУОМflОУТ¸ ЪУО¸НУ ‰Оfl n ÙÛÌ͈ËÈ ϕj(x), НУЪУ ˚В ТУ‚Ф‡‰‡˛Ъ Т Ф У·М˚ПЛ. н‡НУИ Ф ЛВП МУТЛЪ М‡Б‚‡МЛВ ПВЪУ‰‡ Й‡Оfi НЛМ‡. З˚ФУОМЛП ‚ (21) ЛМЪВ-

„ Ë Ó‚‡ÌË ÔÓ ˜‡ÒÚflÏ Ô Ë ÛÒÎÓ‚ËË ϕ(x) = ϕj(x) Ë ϕj(0) = = ϕj(1) = 0, ЪУ„‰‡ ‚ПВТЪУ (21) ФУОЫ˜ЛП

íÂÔ ¸ ÛÊ ‚ Á‡‰‡˜Û (22) ‚ıÓ‰ËÚ u' Л ПУКМУ ФУ‰ТЪ‡- ‚ЛЪ¸ u ЛБ (20) ‚ (22), ˜ЪУ ‰‡ВЪ ТЛТЪВПЫ ОЛМВИМ˚ı ‡О„В·-‡Л˜ВТНЛı Ы ‡‚МВМЛИ УЪМУТЛЪВО¸МУ ui ‚ˉ‡ (16) Ò ÍÓ˝Ù- ÙˈËÂÌÚ‡ÏË fij Ë Ò‚Ó·Ó‰Ì˚ÏË ˜ÎÂ̇ÏË Pi

11

00

á‰ÂÒ¸ fij = fji Ë Ï‡Ú Ëˆ‡ K ТЛППВЪ Л˜М‡fl, ˜ЪУ ı‡ ‡НЪВ МУ ‰Оfl ПВЪУ‰‡ Й‡Оfi НЛМ‡. СОfl Ф УТЪУЪ˚ Ф ЛПВП ‰ОЛМЫ ˝ОВПВМЪУ‚ У‰ЛМ‡НУ‚УИ Л ‡‚МУИ h. ëӄ·ÒÌÓ ËÒ. 5, ̇- ÍÎÓÌ ϕ'i ÙÛÌ͈ËË ϕi ‡‚ÂÌ 1/h ̇ ËÌÚ ‚‡Î xi − 1 , xi Ë −1/h ̇ ËÌÚ ‚‡Î xi , xi + 1 .

ä ÓÏ ÚÓ„Ó, Ô ÓËÁ‚‰ÂÌË ϕ'i ϕ'j ÓÚ΢ÌÓ ÓÚ ÌÛÎfl ÚÓθÍÓ Ô Ë j = i, j = i 7 1, НУ„‰‡ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘ЛВ ‰‚‡ ˝ОВПВМЪ‡, НУЪУ ˚В МВТЫЪ М‡ ТВ·В ЩЫМНˆЛЛ ϕi Ë ϕj , Ô Â- Í ˚‚‡˛ÚÒfl (ÒÏ. ËÒ. 5). Ç Ô ÓÚË‚ÌÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ϕ'i ϕ'j = 0. ÖÒÎË i = j, ÚÓ

А̇Îӄ˘ÌÓ fij = −1/h Ô Ë j = i 7 1. ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, Ï‡Ú Ëˆ‡ K ‚ ‰‡ÌÌÓÏ ÒÎÛ˜‡Â Ó͇Á˚‚‡ÂÚÒfl Ú Âı‰Ë‡„Ó- ̇θÌÓÈ:

ëӄ·ÒÌÓ (23), ËÌÚ„ Ë Ó‚‡ÌË ‚ Pi ТУ‚В ¯‡ВЪТfl ЪУО¸НУ М‡ ‰‚Ыı ТУТВ‰МЛı ˝ОВПВМЪ‡ı. кВ¯ВМЛВ ФУОЫ˜ВММУИ ТЛТЪВП˚ ‡О„В· ‡Л˜ВТНЛı Ы ‡‚МВМЛИ ‰‡ВЪ ui Л ФУБ‚УОflВЪ Ф В‰ТЪ‡‚ЛЪ¸ Ф Л·ОЛКВММУВ В¯ВМЛВ ‚ ЩУ ПВ (20).

Ç ‰‡ÌÌÓÏ Ô ËÏ  ÌÂÔ Â ˚‚ÌÓÒÚ¸ Ô Ó·Ì˚ı ÙÛÌ͈ËÈ ϕi ФУБ‚УОЛО‡ ‚УТФУО¸БУ‚‡Ъ¸Тfl (22). д УПВ ЪУ„У, ‚ТВ ЩЫМНˆЛЛ ϕi ÓÚ΢Ì˚ ÓÚ ÌÛÎfl ̇ ‡ÁÌ˚ı ËÌÚ ‚‡Î‡ı 2h, ˜ЪУ ‰ВО‡ВЪ Лı ТЫ˘ВТЪ‚ВММУ ‡БОЛ˜М˚ПЛ Л ФУТЪ УВММЫ˛ М‡ Лı УТМУ‚В Ф Л ФУПУ˘Л (23) ТЛТЪВПЫ ОЛМВИМ˚ı ‡О- „В· ‡Л˜ВТНЛı Ы ‡‚МВМЛИ МВ‚˚ УК‰ВММУИ. ЕУОВВ ЪУ„У, П‡Ъ Лˆ‡ (24) УН‡Б‡О‡Т¸ ОВМЪУ˜МУИ Л Н‡К‰УВ Ы ‡‚МВМЛВ Т‚flБ˚‚‡ВЪ МВ ·УОВВ Ъ Вı МВЛБ‚ВТЪМ˚ı ‚ ТУТВ‰МЛı ЫБО‡ı. иУОЫ˜ВММУВ Ф Л·ОЛКВММУВ В¯ВМЛВ (20) ‚ ‚Л‰В ОУП‡- МУИ ОЛМЛЛ ıУ У¯У ‡ФФ УНТЛПЛ ЫВЪ В¯ВМЛВ Б‡‰‡˜Л Ф Л ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ ·УО¸¯Лı n.

н‡НЛП У· ‡БУП, ‰Оfl НУМЪЛМЫ‡О¸МУИ Б‡‰‡˜Л ПВЪУ‰ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ УТЫ˘ВТЪ‚ОflВЪ Ф Л·ОЛКВММ˚И ФВ-ВıУ‰ Н ‰ЛТН ВЪМУИ Б‡‰‡˜В М‡ УТМУ‚В (20) Л ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы- ˛˘Лı НЫТУ˜МУ-ФУОЛМУПЛ‡О¸М˚ı ЩЫМНˆЛИ ϕi , УЪОЛ˜М˚ı УЪ МЫОfl М‡ МВТНУО¸НЛı ТУТВ‰МЛı ˝ОВПВМЪ‡ı, ТУ‰В К‡˘Лı ЫБВО xi . чθÌÂȯËÂ Ô ÓˆÂ‰Û ˚ ÏÂÚÓ‰‡ ÍÓ̘Ì˚ı ˝ÎÂ-

ПВМЪУ‚ ‰Оfl НУМЪЛМЫ‡О¸МУИ Л ‰ЛТН ВЪМУИ Б‡‰‡˜ ‚ УТМУ‚- МУП ТУ‚Ф‡‰‡˛Ъ. б‰ВТ¸, Ъ‡Н КВ Н‡Н Л ‚ ТОЫ˜‡В ‰ЛТН ВЪМУИ Б‡‰‡˜Л, ПУКМУ ‚˚ФУОМЛЪ¸ ФУТЪ УВМЛВ П‡Ъ Лˆ˚ K(r) ‰Оfl ЪЛФУ‚У„У ˝ОВПВМЪ‡ Л ЛБ МЛı ‚ Ф УˆВТТВ ТУВ‰ЛМВМЛfl ˝ОВПВМЪУ‚ ‚ ТЛТЪВПЫ ТЩУ ПЛ У‚‡Ъ¸ П‡Ъ ЛˆЫ K ‰Оfl ‚ТВИ ТЛТЪВП˚. АМ‡ОУ„Л˜МУ ЩУ ПЛ Ы˛ЪТfl Л Т‚У·У‰М˚В ˜ОВ- М˚ Ы ‡‚МВМЛИ. АО„У ЛЪП ПВЪУ‰‡ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚ УТУ·ВММУ ˝ЩЩВНЪЛ‚ВМ ‰Оfl В¯ВМЛfl ‰‚Ыı- Л Ъ ВıПВ - М˚ı Б‡‰‡˜, „‰В Ф Уfl‚Оfl˛ЪТfl УТМУ‚М˚В Ф ВЛПЫ˘ВТЪ‚‡ ˝ЪУ„У ПВЪУ‰‡.

ганЦкАнмкА

1.ëÚ ÂÌ„ É., îËÍÒ ÑÊ. нВУ Лfl ПВЪУ‰‡ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚. е.: еЛ , 1977. 349 Т.

2.Courant R. // Bull. Amer. Math. Soc. 1943. Vol. 49. P. 1–43.

3.Turner M., Clough R., Martin H., Topp L. // J. Aeronaut Sci. 1956. Vol. 23, ‹ 9. P. 805–823.

4.бЛМНВ‚Л˜ й., åÓ „‡Ì ä. дУМВ˜М˚В ˝ОВПВМЪ˚ Л ‡ФФ УНТЛП‡- ˆЛfl. е.: еЛ , 1986. 318 Т.

5.кУБЛМ г.А. лЪВ КМВ‚˚В ТЛТЪВП˚ Н‡Н ТЛТЪВП˚ НУМВ˜М˚ı ˝ОВПВМЪУ‚. г.: аБ‰-‚У гЙм, 1976. 232 Т.

кВˆВМБВМЪ ТЪ‡Ъ¸Л ы.Й. е‡ Ъ˚МВМНУ

* * *

гВУМЛ‰ АОВНТ‡М‰ У‚Л˜ кУБЛМ, ‰УНЪУ ЩЛБЛНУ-П‡ЪВП‡- ЪЛ˜ВТНЛı М‡ЫН, Ф УЩВТТУ , Б‡‚. Н‡ЩВ‰ УИ ТЪ УЛЪВО¸- МУИ ПВı‡МЛНЛ Л ЪВУ ЛЛ ЫФ Ы„УТЪЛ л‡МНЪ-иВЪВ ·Ы „- ТНУ„У „УТЫ‰‡ ТЪ‚ВММУ„У ЪВıМЛ˜ВТНУ„У ЫМЛ‚В ТЛЪВЪ‡, Б‡ТОЫКВММ˚И ‰ВflЪВО¸ М‡ЫНЛ Л ЪВıМЛНЛ ко. й·О‡ТЪ¸ М‡Ы˜М˚ı ЛМЪВ ВТУ‚ – ˜ЛТОВММ˚В ПВЪУ‰˚ В¯ВМЛfl Б‡- ‰‡˜ ПВı‡МЛНЛ ‰ВЩУ ПЛ ЫВП˚ı ТЛТЪВП. А‚ЪУ ·УОВВ 160 ТЪ‡ЪВИ Л ТВПЛ ПУМУ„ ‡ЩЛИ.