Тема 4.8. Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическое дифференцирование применяют в случае, если функция является показательно- степенной y=u^v (u и v являются функциями от х) или содержит логарифмические операции, т.е. умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. Пусть функция имеет вид y=u^v. Прологарифмируем обе части, получим lny=ln u^v. По свойствам логарифма степень аргумента логарифма стоящего справа можно вынести перед знаком логарифма, тогда lny=vlnu. Продифференцируем обе части, получим (lny)=(vlnu) . Пример. Найти производную функции y=(lnx)^cosx. Прологарифмируем обе части: lny=ln(lnx)^cosx  lny=cosxln(lnx). Продифференцируем обе части равенства, получим

(lny) =(cosxln(lnx))  ;

Тема 4.9. Дифференциал функции

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a,b]. Производная этой функции в некоторой точке х этого отрезка определяется равенством

Отношение при х0 стремится к определенному числу f (x) и, следовательно отличается от производной f (x) на величину бесконечно малую, где 0 при х0 (стр 107 Пискунов).

Умножая члены последнего равенства на х, получим:

y=f (x)x+x. (4.3)

Так как в общем случае f (x)0, то при постоянном х и переменном х0 произведение f (x)x есть величина бесконечно малая одного порядка малости с x, второе слагаемое есть величина высшего порядка малости относительно x. Таким образом, произведение f (x)x является главной частью приращения (4.3), линейной относительно x. Это означает, что если приращение аргумента x уменьшить в k раз, то и главная часть приращения функции уменьшится в k раз.

О. Дифференциалом функции y=f(x) называется главная часть приращения (4.3), линейная относительно x. Обозначается

dy= f (x)dx. (4.4)

Отсюда следует, что

,

то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.

Свойства дифференциала.

1. dC = 0 ( здесь и в следующей формуле C  постоянная );

2. d(Cf(x)) = Cdf(x);

3. d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x),

4. d(f(x)g(x)) = g(x)df(x) + f(x)dg(x).

5. , если g(x)0

Пусть y = f(x) ‑ функция, имеющая производную в точке x, тогда dy = df(x) = f (x)dx. Если аргумент x является функцией x(t) некоторой независимой переменной t, то y = F(t) = f(x(t)) сложная функция от t, и её дифференциал вычисляется по формуле dy = F(t)dt = f (x)x (t)dt. Однако по определению дифференциала x (t)dt = dx и последняя формула преобразуется к виду: dy = f (x)dx.

Таким образом если аргумент функции y=f(x) рассматривать как функцию другого аргумента так, что равенство x = dx не выполняется, формула дифференциала функции f(x) остается неизменной. Это свойство принято называть свойством инвариантности дифференциала.