4. Методические указания по выполнению задания
Задача № 1. Построение тетраэдра. Построив по заданным координатам точки А, В, С и D, соединим их отрезками прямых. Получен тетраэдр (рис. 1).
Чтобы чертежи были по возможности более наглядными, линии проводят различного типа: видимые элементы изображают сплошными линиями толщиной s, невидимые штриховыми толщиной s/2. При этом видимыми считаются элементы, находящиеся по одну сторону с наблюдателем относительно плоскости (поверхности), в направлении проецирования и невидимыми — находящиеся по разные стороны.
Надо обязательно помнить, что видимость определяется относительно «чего-то». При этом следует рассуждать так: «Определяем видимость относительно плоскости П1. (или взгляде на плоскость П1)», «Определяем видимость относительно плоскости П2» и т. п. Границей видимости является общий элемент — точка встречи прямой с плоскостью (линии с поверхностью) и линия пересечения плоскостей (поверхностей).
Определение видимости относится к объектам, находящимся в первом квадранте пространства. (Перемещение объекта в первый квадрант легко осуществляется параллельным переносом).
Видимость таких объектов, как прямая и кривая линии, плоскость и кривая поверхность, можно определить с помощью наиболее простых геометрических элементов – отдельных точек этих объектов.
Например, в данной задаче при определении относительно плоскости П1 надо выяснить: какое ребро - АС или BD закрыто от наблюдателя гранями тетраэдра. В связи с тем, что ребра АС и BD являются прямыми линиями для анализа видимости достаточно выбрать по одной точке на каждом из ребер. В качестве таких точек взяты точки М и N; ;. Прежде всего обратите внимание на то, что точкиМ и N (рис. 2) лежат на одном горизонтально-проецирующем луче (на одном «зрительном» луче). Такой выбор точек в данной ситуации не случаен: точки, лежащие на одном проецирующем луче, имеют постоянными те параметры, которые не интересуют нас при соответствующем анализе. В данном случае нам надо узнать взаимное расположение точек М и N относительно плоскости П1 т. е, их высоты, поэтому необходимо иметь для них одинаковыми глубины и широты (т. е. расстояния до плоскостей П1 и П3). Кроме того, такие точки легко и удобно выбрать с помощью соответствующих им совпадающих проекций в данном случае горизонтальных. Точки, лежащие на одном проецирующем луче, называются конкурирующими. Поэтому говорят, что определение видимости основано на методе конкурирующих точек.
Итак, на основании предварительных замечаний процесс определения видимости сводится к следующему. Для определения видимости ребер АС и BD относительно плоскости П1 выбираем точки М и N, воспользовавшись для этого их горизонтальными проекциями (М1 и N1). Взаимное расположение точек М и N относительно плоскости П1 отчетливо видно по расположению фронтальных проекций этих точек (M2 и N2). В данном примере точка N ближе к наблюдателю, чем точка М. Следовательно, N закроет М, т.е. её точка N видима относительно плоскости П1. Точка N принадлежит прямой BD следовательно, BD видима и ее горизонтальная проекция B1D1 изображается сплошной линией толщиной s, а АС — невидима и ее горизонтальная проекция А1С1 изображается штриховой линией (рис. 2). Аналогичным образом определяется видимость относительно других плоскостей проекций.
Очерки (проекция видимого контура поверхности применительно данной плоскости проекций) изображений тетраэдра проводятся толщиной s.
Совершенно очевидно, что чертеж на рис.2 читается значительно проще благодаря своей наглядности, чем чертеж на рис.1.
Все построения и обозначения, связанные с определением видимости, должны быть сохранены на чертеже.
Задача №2. Определение угла наклона плоскости относительно плоскости проекций П1. Будем рассуждать так. Плоскость общего положения (грань тетраэдра) образует с плоскостью проекций или, что то же — с плоскостью, параллельной плоскости проекций (плоскостью уровня) — двугранный угол, величина которого равна углу наклона плоскости, ибо плоскость проекций и плоскость уровня плоскость уровня - плоскости нулевого наклона. Ребром этого двугранного угла является след плоскости на плоскости проекций или линия уровня плоскости, т. е. линия пересечения плоскости с плоскостью проекций или с плоскостью уровня.
Величина двугранного угла, как известно, определяется линейным углом со сторонами, перпендикулярными ребру двугранного угла — в данном случае перпендикулярными следу плоскости или соответствующей линии уровня плоскости.
Так как одна из сторон этого линейного угла параллельна плоскости проекций, то его величина равна углу наклона к плоскости проекций другой его стороны. Очевидно, что такие линии плоскости (и линии им параллельные) имеют наибольший угол наклона к соответствующей плоскости проекций (по сравнению с другими линиями плоскости). Такие линии плоскости называются линиями наибольшего наклона (линии наибольшего наклона относительно плоскости П1 называются линиями наибольшего ската).
Следовательно, угол наклона плоскости можно определить с помощью более простого геометрического элемента — прямой линии, а именно с помощью линии наибольшего ската.
Построение линий наибольшего наклона основывается на их перпендикулярности соответствующим линиям уровня плоскости. Так, для
построения линии наибольшего ската плоскости надо провести горизонталь этой плоскости - линия, проведенная перпендикулярно к ней, и будет линией наибольшего наклона относительно плоскости П1.
Проведем горизонталь из точки С, а к ней линию наибольшего ската из точки А. На комплексном чертеже эти построения выполняются достаточно просто на основании теоремы о прямом угле: горизонтальная проекция , линии наибольшего скатаAM перпендикуляра горизонтальной проекции С1K1 горизонтали; затем по обычным правилам строится, фронтальная проекция А2М2.
Однако, хотя мы и имеем линию наибольшего ската, величина угла ее наклона относительно плоскости П1 еще не найдена, ибо эта прямая не параллельна плоскости проекций П2. Преобразование AM в желательное для данной задачи положение в данном случае целесообразно выполнить методом вращения вокруг проецирующей прямой. Для упрощения построений ось вращения i, перпендикулярную плоскости П1 проведем через точку А. В этом случае все
преобразование сведется к перемещению лишь одной точки прямой, например, точки М. Все точки прямой опишут в пространстве окружности, перпендикулярные оси вращения i, а следовательно, параллельные плоскости проекций П1, на которую и изобразятся в натуральную величину. Фронтальные проекции этих окружностей представляют собой прямые, перпендикулярные линиям связи.
При данном, вращении угол наклона прямой (или плоскости) относительно соответствующей плоскости проекции (в нашем примере — относительно плоскости П1) остается неизменным. А следовательно, не изменяется величина и форма проекции: угол же наклона относительно другой плоскости проекций изменяется. Сочетание этих факторов и позволяет достаточно просто решить многие позиционные и метрические задачи. Так в нашем примере надо, чтобы прямая AM стала параллельной плоскости П2. Графически фиксацию этого положения осуществляют с помощью горизонтальной проекции , располагая ее перпендикулярно линиям связи. После построения фронтальной проекцииполучим ответ на поставленную задачу.
При этом с помощью чертежа надо рассуждать так: если горизонтальная проекция отрезка перпендикулярна линиям связи, то значит сам отрезок параллелен плоскости проекций П2, а, следовательно на данную плоскость длина отрезка () и угол его наклонаотносительно плоскости П1 проецируются в действительную величину.
Задача решена. Но кроме этого, лишь в учебных целях, надо этим же методом вращения преобразовать положение и вместе с его линией наибольшего скатаAM. Очевидно, что когда AM займет положение линии фронтального уровня (фронтали), горизонталь СК плоскости окажется в положении фронтально-проецирующей прямой, а следовательно сама плоскостьстанет перпендикулярной плоскости проекций П2 (совпадает с направлением проецирования). Проверкой правильности выполненных построений будет служить выродившаяся в прямую линию фронтальная проекция: () плоскости. (Горизонтальные проекциии- идентичные по своей форме и размерам.
Задача № 3. Определение величины двугранного угла. Угол между двумя плоскостями (двугранный) измеряется линейным углом, составленным прямыми пересечения граней с плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла.
Линейный угол, служащий мерой двугранного угла, изобразится без искажения на плоскость проекций, перпендикулярную ребру двугранного угла. Однако в большинстве случаев ребро двугранного угла занимает общее положение относительно плоскостей проекций. В частое (проецирующее) положение ребро двугранного угла можно привести различными преобразованиями. В данном задании эту задачу требуется выполнить, используя способ плоскопараллельного перемещения.
Такое перемещение, при котором все точки геометрической фигуры движутся по плоским траекториям, параллельным одной из плоскостей проекций, без указания оси вращения, называется плоскопараллельным.
В предыдущей задаче данного задания, при вращении треугольника АВС вокруг оси i, перпендикулярно П1, все точки фигуры перемешались по плоским траекториям (окружностям) параллельным плоскости П1. Ничто не изменилось бы в конечном результате, если бы точки треугольника из первого положения АВС переместились в новое положениене по окружности, а по каким-либо другим плоским линиям без изменения углов наклона фигуры к плоскости П1. В этом случае разность высот любых двух точек фигуры треугольника оставалась бы неизменной, а, следовательно, не изменилась бы величина и форма горизонтальной проекции.
Прежде, чем решать задачу на определение величины двугранного угла, рассмотрим более простей пример: преобразуем отрезок прямой ВС общего положения в горизонтальнопроецирующий, используя плоскопараллельное перемещение. Эту задачу можно выполнить двукратным преобразованием (рис. 4): вначале отрезок ВС располагают параллельно одной плоскости проекций, например, параллельно плоскости П2, а затем делают его перпендикулярным другой плоскости проекций — плоскости П1.
При плоскопараллельном перемещении характер плоских траекторий точек безразличен и поэтому на чертежах изображают только соответствующие проекции плоскостей уровня, в которых перемещаются точки, а не проекции траекторий точек. Так точка В и С перемещаются соответственно в горизонтальных плоскостях Г1 и Г2. Горизонтальные проекции этих плоскостей совпадают с полем П1 и не обозначаются, а фронтальные проекции изображаются прямыми Р12 и Г22, перпендикулярными линиями связи.
Величина горизонтальной проекции В1С1 отрезка ВС при сто перемещении в новое положение В1С1 остается неизменной (), так как при перемещении не изменяется наклон отрезкаВС к плоскости П1. Новая проекция В1С1 отрезка может быть изображена в любом свободном месте чертежа. Но для того, чтобы отрезок ВС сделать параллельным плоскости П2, горизонтальная проекция В1С1 должна быть направлена перпендикулярно линиям связи.
Построив новую горизонтальную проекцию отрезка, находим новые фронтальные проекции В2С2 точек В и С перемещенного отрезка при помощи линий связи на фронтальных проекциях плоскостей перемещения Г21 и Г22, ( На этом этапе заканчивается решение задачи на определение действительной величины отрезка прямой, так как ().
Затем перемещаем отрезок ВС в плоскости Ф до положения, перпендикулярного плоскости П1. При этом фронтальная проекция должна занять положение, параллельное линиям связи, а горизонтальная проекция выродится в точку .
Плоскопараллельное перемещение является общим случаем приема вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций. Эта ось при плоскопараллельном перемещении не изображается. Но эта ось может быть найдена, так как любое плоское перемещение может быть выполнено вращением вокруг оси. Однако, не указывая ось вращения, можно наиболее удобно размещать проекции фигур на поле чертежа.
Но вернемся к решению задачи № 3. Итак, для определения величины двугранного угла надо привести его ребро в проецирующее положение. Это можно выполнить двукратным применением плоскопараллельного перемещения.
Во-первых, располагаем ребро ВС параллельно плоскости П2, перемещая точки В и С в плоскостях, параллельных плоскости П1 (рис. 5). В это же время аналогичным образом перемещаются и все жестко связанные между собой точки фигуры двугранного угла. При этом величина и ферма горизонтальной проекции фигуры остаются без изменения . Расположив горизонтальную проекциюребра перпендикулярно линиям связи, строим новую проекцию всей фигуры двугранного угла. (Построение фигуры равной , удобно выполнить при помощи циркуля — методом засечек).
Новые фронтальные проекции точек фигуры (;;и) определяются в пересечении линий связи с соответствующими фронтальным проекциями плоскостей перемещения точек.
Затем, перемещая все точки фигуры в плоскостях, параллельных плоскости П2, располагаем ребро ВС перпендикулярно плоскости П1. В этом случае фронтальная проекция ребраВС займет положение, параллельное линиям связи. Горизонтальные проекции траекторий точек изобразятся в виде прямых, перпендикулярных линиям связи.
Линейный угол, которым измеряется двугранный, можно изобразить в любом месте фигуры двугранного угла. В нашем примере (рис. 5), сторона DE проведена через вершину D (). Затем, построив фронтальную проекциюэтого угла, с помощью линий связи определяем горизонтальную проекцию. Используя аналогичный прием, строим горизонтальную проекциюугла, а после этого — фронтальную проекцию.
Остается выполнить последнее требование задачи № 3: повернуть грань ABC вокруг ребра ВС на угол φ. Выполнение этих построений следует начинать на горизонтальной проекции , т. е. там, где угол проецируется в действительную величину. Определив положение А11 вершины А1 после поворота, находят уже известным приемом все остальные проекции (А12; ;,) вершиныА1.
Задача № 4. Определение величины плоской фигуры.
Плоская фигура проецируется без искажения на плоскость, ей параллельную. Поэтому для графического определения величины плоской фигуры общего положения желательно эту фигуру привести в положение, параллельное одной из плоскостей проекций. В это частное положение плоскую фигуру общего положения можно привести несколькими приемами, например:
а) вращением плоской фигуры вокруг осей, перпендикулярных плоскостям проекций;
б) плоскопараллельным перемещением;
в) способом замены плоскостей проекций.
Все перечисленные методы позволяют осуществить перевод плоской фигуры общего положения в параллельное плоскости проекций двойным преобразованием: вначале фигура должна занять проецирующее (перпендикулярное) положение относительно одной плоскости проекций, а затем уже-параллельное другой плоскости проекций.
Однако существует еще один способ, позволяющий преобразовать плоскую фигуру в положение плоскости уровня разовым перемещением: вращением плоской фигуры вокруг одной из принадлежащих ей прямых линий уровня (горизонтали или фронтали).
Преимущество этого метода при решении данной задачи состоит еще и в том, что преобразование всей плоской фигуры в желаемое положение уровня осуществляется путем перемещения лишь одной точки этой фигуры.
Действительно, проведя в плоской фигуре линию уровня, например, горизонталь, и приняв се за ось вращения, достаточно перевести вращением в этот уровень одну из точек фигуры. В этом случае вся плоскость окажется в положении, параллельном плоскости проекций. Останется выполнить лишь необходимые несложные построения всей фигуры при новом ее положении.
Рассмотрим вопрос о том, как осуществляется вращение точки вокруг линии уровня и как это выполняется графически на комплексном чертеже.
В качестве оси вращения возьмем горизонталь СК и вне ее точку В (рис. 6). При вращении вокруг горизонтали точка В будет перемещаться по окружности, находящейся в плоскости Σ перпендикулярной оси вращения СК. Так как СК||П1 то плоскость вращения т. е. Σ — горизонтально-проецирующая плоскость.
Плоскость Σ пересечет ось вращения — горизонталь СК в точке О, являющейся центром вращения точки В. Отрезок ОВ представляет собой радиус вращения точки В. Очевидно, что радиус вращения ОВ перпендикулярен оси вращения СК.
Плоскость Σ, а, следовательно, и окружность, по которой перемещается точка В, изобразится на плоскость П1 в виде прямой Σ1, перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали СК () - на основании теоремы о прямом угле: еслиитои.
Предположим, что требуется переместить точку В до уровня горизонтали СК. В этом случае радиус вращения ОВ расположится параллельно плоскости проекций П1 и, следовательно, изобразится на эту плоскость в натуральную величину.
В связи с этим на комплексном чертеже (рис. 7) новое (искомое) положение В1 точки В может быть найдено, если на горизонтальной проекции Σ1 плоскости Σ отложить от центра вращения О действительную величину радиуса вращения ОВ.
Величину радиуса вращения на комплексном чертеже можно найти одним из методов, например, методом вращения вокруг проецирующей оси, в данном примере (рис. 7) — вокруг оси перпендикулярной плоскости П2 и приходящей через точку О. Новое положение В1 точки В вместе с неподвижной горизонталью СК определяют собой положение плоскости, параллельной плоскости П1.
Вернемся к задаче на определение величины одной из граней тетраэдра ABCD, например, грани ABC.
На рис. 8 («а» и «б») представлены два варианта графического решения этой задачи: вращение треугольника осуществлено вокруг внутренней горизонтали СК и внешней горизонтали АК. (В задании надо выполнить один из этих вариантов: если имеется достаточно свободной площади на поле чертежа, то желательно решение выполнить по варианту «б»; если надо получить более компактный чертеж, то решение следует выполнять по варианту «а»).
При вращении вокруг горизонтали все точки треугольника будут описывать окружности в плоскостях, перпендикулярных оси вращения СК. или АК.
Так как одна вершина треугольника, находясь на оси вращения, остается неподвижной, то надо построить новые положения двух других вершин. Новое положение вершиныВ построено так, как было выполнено на рис. 7. Новое положение точкиА, вращающейся в своей горизонтально-проецирующей плоскости Σ1 (рис. 8«а»), может быть найдено аналогично. Но так как точка К принадлежит прямой ВК, то решение упрощается. Точка К неподвижна, а новое положение точкиВ известно. Поэтому на чертеже достаточно провести через проекции иэтих точек прямую и в ее пересечении с горизонтальной проекцией Σ11 плоскости вращения точки А найти проекцию . Проекция будет искомой проекцией точки А в ее новом положении , которое займет точка А при приведении треугольника в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций. Аналогичным образом находится новое положение точкиС (рис.8«б»).
В полученных положениях иплоскость треугольника параллельна горизонтальной плоскости проекций и, следовательно, треугольник проецируется на нее без искажения, т. е. величина проекцийипредставляет величину самого треугольникаABC. Очевидно, что и углы при вершинах треугольника проецируются на горизонтальную плоскость без искажения. Поэтому для нахождения углов между пересекающимися прямыми можно применять этот же способ вращения плоскости вокруг одной из ее линий уровня до положения, параллельного одной из плоскостей проекций.
Заданную плоскость треугольника можно расположить и параллельно фронтальной плоскости проекции П2 вращением вокруг фронтали. План решения при этом аналогичен рассмотренному и поэтому рекомендуется выполнить эти построения самостоятельно.
Задача № 5. Определение кратчайшего расстояния между скрещивающимися прямыми. Кратчайшим расстоянием между скрещивающимися прямыми является отрезок общего перпендикуляра к ним.
Для решения этой задачи с помощью комплексного чертежа целесообразно одну из скрещивающихся прямых привести в проецирующее положение (не нарушая взаимного расположения этих прямых). Тогда искомый отрезок перпендикуляра между двумя скрещивающимися прямыми изобразится без искажения на соответствующую плоскость проекций (рис. 9): в данном примере отрезок MN, будучи перпендикуляром к ВС, является параллельным плоскости П1 а, следовательно, изобразится на П1 в истинную величину.
Для того, чтобы прямую общего положения, привести в проецирующее положение, т. е., чтобы, зафиксировать частные значения двух углов наклона (0° по отношению к одной плоскости проекций и 90°— по отношению к другой плоскости проекций), необходимо выполнить двойное преобразование: вначале преобразовать прямую в положение, параллельное относительно одной плоскости проекций, а затем — проецирующее (перпендикулярное) положение относительно другой плоскости проекций.
Такие преобразования возможно выполнить как одним из способов вращения, так и способом замены плоскостей проекций. Однако, в связи с тем, что в нашей задаче заданы две прямые, методы вращения потребуют достаточно сложных графических построений, так как перемещая одну прямую, мы обязаны на такой же угол повернуть и другую прямую. И все это надо выполнить дважды.
Значительно проще прямую общего положения привести в проецирующее положение способом замены плоскостей проекций (рис. 11), ибо в этом случае надо переместить в пространстве хотя и два раза, но один объект — плоскость проекций. Кроме этого плоскости проекций очень просто изображаются на комплексном чертеже — одна из проекций этих плоскостей вырождается в прямую линию — ось проекций.
Способ замены плоскостей проекций состоит в том, что одна из двух плоскостей проекций заменяется новой плоскостью нужным образом расположенной относительно объекта; при этом новая плоскость должна быть перпендикулярной к оставшейся (неизменяемой) плоскости проекций.
В качестве примера, иллюстрирующего способ замены плоскостей проекций, рассмотрим задачу на определение величины отрезка АВ (рис. 10): взамен П2 следует выбрать новую вертикальную плоскость проекций и параллельную отрезкуАВ.
При этом взаиморасположение отрезка и неизменной плоскости проекций П1 не изменится, а значит, не изменяется и высоты и разнести высот всех точек отрезка АВ от П1. Например, если высота точки А равна величине и изображается на П2 отрезком , то и на плоскости П4 она будет изображаться таким же отрезком , так как отсчет высоты производится от одной и той же плоскости П1. Высоты точек А и В на новой плоскости проекций П4 изображаются расстояниями от новой оси до новых проекцийиточекА и В, равными расстояниями от заменяемой оси до заменяемых проекцийА2 и В2 тех же точек.
На комплексном чертеже параллельность отрезка АВ и плоскости П4 отражается параллельностью их горизонтальных проекций .
Новые плоскости проекций, а следовательно, и новые оси проекций можно выбрать наиболее удобно для отсчетов расстояний и рационального использования поля чертежа, но всегда перпендикулярно линиям связи данной системы. Если объект первоначально был задан на безосном чертеже, то ось проекций следует выбрать самостоятельно, с учетом вышеизложенных рекомендаций.
Комплексный чертеж задачи на преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую приведен на рис. 11. Так как плоскость проекций П1 не заменяется, то на комплексном чертеже проекций A1B1 остается горизонтальной проекцией отрезка и в новой системе плоскостей .
Для построения новой вертикальной (на П4) проекции отрезка — через проекции А1 и В1 его точек А и В перпендикулярно проекции А1В1 или, то же самое, новой оси х14 проведены линии связи. Разность расстояний zА - zВ точек А и В от оставшейся плоскости проекций в новой системе будет равна соответственно разности тех же расстоянии в системе . Полученная величина проекций А4В4 на П4 равна АВ, так как отрезок АВ параллелен плоскости проекций П4.
Если же по условию задачи отрезок требуется преобразовать в проецирующее положение, то выбирают еще одну плоскость проекций (П5), считая систему исходной системой плоскостей проекций. Для этого новую плоскость проекций П5 располагают перпендикулярно отрезку АВ и плоскости П4. На чертеже это выражается перпендикулярным расположением оси х45 к вертикальной проекции А4В4 отрезка АВ. В новой системе плоскостей проекций отрезок АВ совпадает с направлением проецирующего луча к плоскости П5 и его проекций на П5 вырождается в точку .
Если надо получить более компактный чертеж, то новую плоскость проекций следует расположить так, как расположена плоскость П15 (рис. 11).
На рис. 12 приведено решение задачи по определению кратчайшего расстояния между двумя скрещивающимися прямыми AD и СВ.
Новая плоскость проекций П4 выбрана параллельной отрезку ВС (). После построения новых вертикальных проекций отрезковA4D4 и В4С4 выбирается плоскость и перпендикулярная отрезкуВС ().
После нахождения проекций A5D5 и В5С5 строится проекция M5N5 отрезка MN, которая проводится через перпендикулярно проекцииA5D5 (на основании теоремы о взаимно перпендикулярных прямых). Получив проекцию M5N5, которая является истинной величиной отрезка MN, следует построить проекции отрезка на всех предыдущих плоскостях проекций. Для этого поступаем так: проведя линию связи из N5, находим проекцию N4; проекция N4M4 располагается перпендикулярно В4С4, так как отрезок ВС параллелен плоскости проекции П4; затем, используя правило инцидентности точек и прямых, с помощью линий связи находим проекции М1; N1; М2 и N2 точек М и N. Эти обратные построения могут служить проверкой выполненных построений: ни одна из проекций — M4N4; M1N1 M2N2 — не может быть больше проекции M5N5 = MN.
Две скрещивающихся прямых определяют одну единственную пару параллельных плоскостей. Поэтому кратчайшее расстояние между двумя скрещивающимися прямыми есть в то же время и расстояние между проходящими через них параллельными плоскостями и, следовательно, может быть определено как расстояние между параллельными плоскостями.
Задача № 6. Определение расстояния от точки до плоскости. Расстояние от точки плоскости измеряется отрезком перпендикуляра от точки до этой плоскости.
Решение данной задачи состоит из трех последовательных операций: 1) проведение перпендикуляра из данной точки на заданную плоскость; 2) определение точки встречи перпендикуляра с плоскостью; 3) определение истинной величины отрезка (между заданной точкой и точкой встречи).
Как известно, прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна двум непараллельным прямым плоскости.
Пусть требуется через точку А провести прямую АЕ, перпендикулярную плоскости треугольника BCD (рис. 13). При графическом (на комплексном чертеже) построении перпендикуляра к плоскости мы вынуждены в качестве двух прямых брать линии уровня плоскости (горизонталь и фронталь), ибо только в этом случае прямой угол между перпендикуляром АЕ и линиями уровня (СК и BL) изобразится на соответствующих плоскостях проекций без искажения. Так фронтальная проекция А2Е2 пройдет под прямым углом к фронтальной проекции С2К2 фронтали СК, а горизонтальная проекция А1Е1 — под углом 90° к горизонтальной проекции B1L1 горизонтали BL. Так как фронталь СК и горизонталь BL были выбраны произвольно, то прямая АЕ в общем случае не пересекается, а скрещивается с ними.
Итак, А1Е1 и А2Е2 — проекции одной и той же прямой АЕ, перпендикулярной двум прямым плоскости (и). Следовательно,.
Таким образом, можно сформулировать следующий вывод: если в пространстве прямая перпендикулярна плоскости, то на комплексном чертеже фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали данной плоскости, а горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости. Справедливо и обратное утверждение.
Переходим ко второму этапу задачи — определению точки встречи прямой с плоскостью (в данном примере — прямой АЕ с плоскостью треугольника BCD).
Построение точки встречи прямой с плоскостью является одной из основных позиционных задач курса. Она входит как вспомогательная задача в решение многих более сложных задач, как например, задачи на взаимное пересечение поверхностей, пересечение поверхностей плоскостью или, как в данном случае — определение расстояния между точкой и плоскостью. Поэтому необходимо особо остановится на задаче по определению точки встречи прямой с плоскостью,
Напомню, что могут быть два случая взаимного расположения прямой и плоскости: прямая или принадлежит плоскости или пересекает ее. Если прямая не принадлежит плоскости, то она пересекает плоскость в единственной точке. При этом пересечение может быть в собственной (доступной) точке, если прямая располагается относительно плоскости под произвольным углом или под углом 90° или в бесконечно удаленной (несобственной) точке, если прямая параллельна плоскости. Расположение прямой под углом 90° (прямая перпендикулярна плоскости) и под углом 0° (прямая параллельна плоскости) являются частными случаями взаимного расположения прямой и плоскости.
Рассмотрим общий случай — когда прямая пересекает плоскость под произвольным углом.
Для того, чтобы графически (на чертеже) показать, что точка встречи действительно является общей для прямой и плоскости, т. е. чтобы осуществить инцидентность (взаимопринадлежность) точки и плоскости, необходимо и достаточно иметь линию в заданной плоскости Σ, которая пересекала бы заданную прямую АЕ.
Методом последовательного приближения (подбором) указанную вспомогательную линию графически найти не удается.
Поэтому используют такой прием: через заданную прямую
проводят вспомогательную плоскость (, рис. 14); находят линию (1—2) пересечения плоскостей Σ и, и, на основании того, что линия (1—2) иАЕ находятся в одной плоскости , а, следовательно,— пересекаются, получают точку. ТочкаS и является точкой общей для заданной прямой АЕ и заданной плоскости Σ, так как она принадлежит АЕ и линии (1—2), находящейся в плоскости Σ.
Таким образом, задача на построение точки встречи прямой с плоскостью состоит из трех последовательных операций (рис. 14):
1) введение вспомогательной плоскости , проходящей через заданную прямуюАЕ;
2) нахождение линии (1—2) пересечения двух плоскостей — заданной Σ и вспомогательной .
3) определение точки встречи S как точки пересечения линий АЕ и (1—2).
Выполним эти операции при решении задачи на комплексном чертеже (рис. 13). В качестве вспомогательной плоскости (Вспомогательные плоскости (поверхности) часто называют посредниками. Посредники позволяют не только найти вспомогательную линию, но и дают возможность утверждать, что вспомогательная и заданная линии пересекаются, так как они находятся в одной (пусть вспомогательной) плоскости. Подробно о посредниках смотрите методическое пособие «Линии среза и перехода», Савкин Ю. Г.) в большинстве случаев используют проецирующие плоскости, так как при этом упрощается графическая часть операций по проведению плоскости через прямую и по определению линии пересечения плоскостей. Действительно, проведя фронтально-проецирующую плоскость через прямуюАЕ (на чертеже это действие отражается совпадением фронтальных проекций прямой АЕ и плоскости :), мы без дополнительных построений определяем линию (1—2) пересечения плоскостей Σ (плоскость) и(вначале фронтальную проекцию 12—22, а затем с помощью линий связи и горизонтальную проекцию l1—21).
Совпадение фронтальных проекций иа, говорит о том, что линии (1—2) иАЕ принадлежат одной (вспомогательной) плоскости. Пересечение этих линий и даст искомую точку встречи S. Но на фронтальной плоскости проекций проекции этой точки пока не видно. Тогда, зная, что если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются в точках, которые являются проекциями точки пересечения прямых, обращаемся к горизонтальным проекциям прямых. Пересечение горизонтальных проекций и l1—21 и есть горизонтальная проекция S1 точки встречи S. Проведя линию связи из S1 до пересечения с фронтальной проекцией А2Е2, находим фронтальную проекцию S2 точки S: точка встречи прямой АЕ с плоскостью Σ найдена .
Остается определить истинную величину отрезка AS, что можно выполнить одним из известных способов, например, методом прямоугольного треугольника.
Однако решение всей задачи на определение кратчайшего расстояния от точки до плоскости выполняется значительно проще, если плоскость занимает частное — проецирующее — положение (рис.15). Действительно, если плоскость , то прямаяAS, перпендикулярная , будет параллельна плоскости П2. Следовательно, фронтальная проекция A2S2 перпендикуляра AS изобразится под углом 90° к фронтальной проекции плоскости на основании теоремы о прямом угле, а горизонтальная проекцияA1S1 будет перпендикулярна линиям связи (как горизонтальная проекция фронтали). Кроме этого, являясь фронталью, отрезок AS изображается на плоскости П2 без искажения A2S2=AS.
Так как заданная плоскость BCD — фронтально-проецирующая, то фронтальные проекции всех точек этой плоскости совпадут с ее фронтальной проекцией B2C2D2. Поэтому фронтальная проекция S2 точки встречи S должна принадлежать фронтальной проекции B2C2D2 плоскости. Одновременно S2 принадлежит фронтальной проекции A2S2 прямой AS. Следовательно, S2=A2S2×B2C2D2.
Горизонтальная проекция S1 точки S находится в пересечении линии связи из S2 с горизонтальной проекцией A1S1 прямой AS.
На основании вышеизложенного естественно возникает желание преобразовать плоскость общего положения в проецирующую. В данном задании это преобразование предлагается выполнить способом замены плоскостей проекций.
Для того, чтобы плоскость общего положения стала перпендикулярной плоскости проекций, необходимо и достаточно, чтобы одна из прямых плоскости расположилась под углом 90° к плоскости проекций.
Если для этой операции взять прямую общего положения (одну из сторон треугольника BCD), то для её преобразования в проецирующее положение потребуется двойное преобразование (например, две замены плоскостей проекций).
Но ничто не мешает взять в плоскости линию частного положения, например, фронталь. В этом случае разовым преобразованием — одной заменой плоскости проекций — линия уровня, а, следовательно, и вся плоскость, могут быть преобразованы в проецирующее положение.
На рис. 16 показан вариант решения задачи на определение расстояния от точки А до плоскости .
Проведя фронталь СК, располагаем новую плоскость проекции П4, перпендикулярно этой линии (). Построив новые горизонтальные проекциииплоскостиBCD и точки А, определяем истинную величину отрезка AS=A4S4. Затем обратным проецированием находим фронтальную A2S2 и горизонтальную A1S1, проекции AS.
Задача № 7. Построение плоскости, параллельной заданной, на заданном расстоянии. Из геометрии известно, что две плоскости взаимно параллельны, если две непараллельных прямых одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости.
Очевидно, что на заданном расстоянии от заданной плоскости можно построить две плоскости, ей параллельные. Для этого надо на перпендикуляре к заданной плоскости отложить указанное расстояние и через полученные точки провести по две пересекающихся прямых, соответственно параллельных двум прямым заданной плоскости.
Построение перпендикуляра к плоскости, как было показано в задаче № 6, удобно выполнить, если плоскость занимает проецирующее положение. Решение задачи № 7 выполнено на одном чертеже, совместно с решением задачи № 6 (рис. 16). Через точку В проведен перпендикуляр, проекция M4N4 которого изображается без искажения. Отложив на перпендикуляре заданное расстояние (в данном примере 15 мм), через точки М и N проводим плоскости Σ1 и Σ2: на плоскости П4 они изображаются в виде прямых Σ14 и Σ24, а на плоскостях П2 и П1 — проекциями двух прямых, соответственно параллельными проекциями двух прямых заданной плоскости.
Редактор В. И. Лузева Техн. редактер А. А. Капралова
Синю в набор 10.11.87. Подп. в печ. 07.04.88. Форм. бум. 60×84 .
Усл. кр. отт. 1,86. Объем 1,86 усл. п. л. Уч.-изд. л. 1,68. Тираж 1500.
Заказ 1090. Бесплатно.
Типография МИХМ 107884, ГСП-6, Москва, Б-66, ул. К Маркса, 21/4