- •1. Классическое определение вероятности
- •Геометрическая вероятность
- •Формула сложения вероятностей. Урновые схемы.
- •Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Случайные величины
- •Характеристики случайных величин. Математическое ожидание. Дисперсия. I
Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий
Условная вероятностьP{B|A} событияBпри условии, что событиеAпроизошло определяется формулой
Вероятность произведения двух событий определяется по формуле
(4.1)
Обобщением ее является формула (теорема умножения вероятностей)
. (4.2)
События АиВназываютсянезависимыми, если
. (4.3)
При P{A}>0 можно дать эквивалентное определение независимости событий. СобытияАиВназываютсянезависимыми, если
. (4.3)
События A1,…, Anназываютсявзаимно независимыми(илинезависимыми в совокупности, или простонезависимыми), если для всех комбинаций индексов 1i1<…< ikn,k=имеем
.
При k=2 событияA1,…, Anназываютсяпопарно независимыми.
Формула полной вероятности. Формула Байеса
События B1,…,Bnобразуютполную группу событий, еслиB1,…,Bnпопарно несовместны иP{B1}+…+P{Bn}=1.
Для любого события Aимеем
(формула полной вероятности) и
,
(формулаБайса).
Схема Бернулли. Полиномиальная схема
Пусть . Элементарное событие=интерпретируется как цепочка исходов вn последовательных испытаниях, каждое из которых имеет m несовместных исходах .
Если положить
,
где p1+…+ pm=1, pl0, l=, то на подмножествахn однозначно определяется вероятность ,An. Построенное вероятностное пространство является математической моделью последовательности n независимых однородных испытаний. Вероятностную модель также называют полиномиальной схемой.
Обозначим через n,i число появлений исхода i в n испытаниях полиномиальной схемы. При решении задач полезна формула
,
где di0, i=, целые иn=d1+…+ dm.
Используется обозначение =.
Частный случай полиномиальной схемы с m=2 называют схемой Бернулли. Ниже два исхода каждого исхода в схеме Бернулли будем обозначать 1 и 0 или называть успехом и неудачей, а соответствующие им вероятности– буквами p и q=1– p.
Если n– число успехов (или число единиц) в n испытаниях Бернулли, то ,k=.
Случайные величины
Пусть задано вероятностное пространство (,,P).
Случайной величиной называется действительная функция от элементарного события =(), , для которой при любом действительном x множество {: ()x} принадлежит (т.е. является событием) и для него определена вероятностьP{: ()x}, записываемая кратко P{x}. Эта вероятность, рассматриваемая как функция x, называется функцией распределения случайной величины и обозначается F(x), либо F(x).
С помощью функции распределения F(x) можно однозначно определить вероятность P{B} для борелевских множеств B на числовой прямой. Борелевскими множествами являются множества, полученные из интервалов с помощью счетного числа операций объединения, пересечения и взятия дополнения. Например, интервал (a, b), одноточечные множества {a} и множества вида (a, b], [a, b], [a, b) (a, b могут принимать и бесконечные значения) их конечные и счетные объединения.
Вероятность P{B}, рассматриваемая как функция от борелевского множества B, называется распределением вероятностей случайной величины , иногда законом распределения или просто распределением. В частности, .
Важным классом распределений вероятностей являются абсолютно непрерывные распределения, задаваемые плотностью вероятности (x)=(x), т.е. такой неотрицательной функции (x), что для любого борелевского множества B
;
в общем случае рассматривается интеграл Лебега, который совпадает с интегралом Римана, если последний существует. В частности,
, , -<x<+, .
Дискретное распределение задается конечным или счетным набором вероятностей P{=xk}, для которых . Функция распределения в этом случае ступенчатая и задается суммой.
Пусть случайная величина =g(). Тогда P{B}=P{g–1(B)}, где g–1(B)– прообраз борелевского множества B при отображении g. Если функция g(x) непрерывна и возрастает, то . Если ещеg(x) дифференцируема и распределение имеет плотность (x), то распределение имеет плотность
.
Замечание. Если функция g(x) в интервале возможных значения не монотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция g(x) монотонна, и найти плотность распределения для каждого из интервалов монотонности, а затем представитькак.
Если – дискретная случайная величина, то для определения вероятностей значений следует сложить вероятности значений , при которых принимает одинаковые значения.
Некоторые дискретные распределения: а) вырожденное P{= a}=1, a –постоянное; б) гипергеометрическое (параметры n, m, k, j) ; в) биномиальное (параметры n– натуральное, 0p1) ; г)геометрическое с параметром p, 0<p<1, ,k=1,2…; д) пуассоновское с параметром >0 ,k=0, 1, 2…
Некоторые непрерывные распределения: а) равномерное на отрезке [a, b], a< b, (x)=1/(b– a), если axb, (x)=0–иначе; б) показательное с параметром >0 , (x0), (x)=0–иначе.