Билеты по дискре
.docВопросы к экзамену по курсу <Дискретная математика>
1. Определение поля. Обратимые элементы. Делители нуля. Примеры полей.
2. Поле частных коммутативного кольца без делителей нуля.
3. Простые поля. Классификация простых полей.
4. Расширения полей. Конечные расширения полей.
5. Степень конечного расширения поля. Теорема о башне полей (без доказательства). Примеры.
6. Простое расширение поля. Алгебраическое и трансцендентное расширения полей.
7. Классификация простых расширений полей.
8. Поле разложения многочлена. Существование и единственность поля разложения многочлена.
9. Конечные поля. Свойства конечных полей.
10. Вычисление обратного элемента конечного поля.
11. Существование и единственность конечного поля.
12. Лямбда-матрицы над полем. Элементарные преобразования. Канонический вид лямбда-матрицы.
13. Существование канонического вида лямбда-матрицы.
14. Инвариантные делители лямбда-матрицы. Свойства инвариантных делителей.
15. Единственность канонического вида лямбда-матрицы.
16. Подобие матриц над полем. Критерий подобия матриц над полем.
17. Сопровождающая матрица многочлена над полем и ее свойства.
18. Существование и единственность представления матрицы над полем в 1-й нормальной форме.
19. Существование и единственность представления матрицы над полем во 2-ой нормальной форме.
20. Минимальный многочлен линейного преобразования и способы его вычисления.
21. Граф линейного преобразования линейного пространства над конечным полем. Циклы и деревья.
22. Свойства графа линейного преобразования, заданного с помощью нильпотентной матрицы.
23. Построение графа линейного преобразования, заданного с помощью нильпотентной матрицы.
24. Свойства графа линейного преобразования, заданного с помощью обратимой матрицы.
25. Цикловые термы. Сведение задачи построения графа линейного преобразования, заданного с помощью обратимой матрицы, к задаче построения графа линейного преобразования, заданного с помощью сопровождающей матрицы степени неприводимого многочлена.
26. Построения графа линейного преобразования, заданного с помощью сопровождающей матрицы степени неприводимого многочлена (без доказательства).
27. Линейные рекуррентные последовательности (ЛРП) над конечным полем. Характеристический многочлен.
28. Минимальный многочлен ЛРП над конечным полем.
29. Алгебраическая структура семейства ЛРП над конечным полем с заданным характеристическим многочленом.
30. Цикловая структура семейства ЛРП над конечным полем с заданным характеристическим многочленом.
31. ЛРП максимального периода. Примитивный многочлен. Числа Мерсена.