Средние величины.

1. Понятие средних величин

2. Среднее арифметическое

3. Среднее гармоническое

4. Мода

5. Медиана

1. Большое распространение в статистике имеют средние величины. Средняя – это один из распространенных примеров общей. Правильное понимание сущности средней определяет ее особую значимость в условиях рыночной экономики, когда средняя через единичное позволяет выявить общее и необходимое, позволяет выявить тенденции. Средним показателем статистической науки называется обобщающая (типическая) характеристика в социально-экономических явлениях по 1 количественному признаку. Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных, правильно-организованного массового наблюдения (наблюдение бывает выборочное и сплошное), однако статистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается по массовым данным для качественно-однородной совокупности. Средняя величина является отражением значений изучаемого признака, следовательно, измеряется в той же размерности, что и признак. Существуют различные средние: среднеарифметическое, среднегеометрическое, среднегармоническое, среднеквадратическое, среднехронологическое. Рассмотрим некоторые виды средних, которые наиболее часто используются в статистике.

2. Среднеарифметическая простая (невзвешенная) = сумме отдельных значений признака деленных на число этих значений. Отдельные значения признака обозначаются x. Число единиц совокупности обозначается n. Среднее обозначается Х с чертой наверху. Среднее арифметическая простая будет рассчитана = Сумма х/n. В нашей задаче нужно узнать сколько выпускается изделий рабочим за смену. В данном примере варьирующимся признаком является выпуск единиц изделий за смену. Численность единиц изделий называется вариантами. Простая среднеарифметическая применяется, когда данные сгруппированы, т.е. имеются отдельные значения признака, но иногда данные представлены в виде рядов распределения.

Месячная ЗП	Число рабочих	Xn
110	2	220
130	6	780
160	16	2560
190	12	2280
220	14	3080

По данным дискретного ряда распределений видно, что одни и те же значения признака (варианты) повторяются несколько раз. Так вариант Х2 повторяется 6 раз и т.д. Число одинаковых значений признака в рядах распределения называется чистотой (весом) и обозначается n. Варьирующий признак измеряется в рублях. Полученная формула называется формулой среднеарифметической взвешенной (Сумма ХiNi/Сумма Ni). Из нее видно, что средняя зависит не только от значений признака, но и от их частот, т.е. состава совокупности.

Группа рабочих по количеству произведенной продукции (штук)	Число рабочих
3-5	10
5-7	30
7-9	40
9-11	15
11-13	5

Исчислим среднюю выработку продукции одним рабочим за смену. В данном ряду признаки представлены в виде от и до. Рабочие 1 группы производят продукцию от 3 до 5 штук и т.д. Не смотря на это, расчет производится по формуле среднеарифметической взвешенной. В данной формуле вариационный признак представлен 1 числом, но мы определяем середину интервала. Расчет такой же.

Интервалы могут быть открытыми и закрытыми.

Группа рабочих по количеству произведенной продукции (штук)	Число рабочих
Менее 5	10
5-7	30
7-9	40
9-11	15
Более 11	5

В данных случаях интервалы 1 группы принимаются равной величине интервала последующей, а величина интервала последней группы – величине интервала предыдущему. Расчеты такие же. Основные свойства среднеарифметической: от уменьшения или увеличения частот каждого значения признака Х в n раз, величина среднеарифметической не изменяется, если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то величина средней не изменится; общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней; средней суммой или разность 2 величин = сумме или разности их средних; если х = с, где с – постоянная величина, то действует следующее равенство х с чертой = с с чертой = с; сумма отклонений значений признака х от средней арифметической = 0.

3. Бригада токарей была занята обточкой одинаковых деталей в течении 8 часов. 1 токарь затратил на 1 деталь затратил 12 минут, 2 – 15, 3 – 11, 4 – 16, 5 – 14. Определить среднее время на изготовление одной детали. Среднее время, затраченное на одну деталь = все затраченное время / число деталей. Х с чертой = n / сумма 1/Хi. Или Х с чертой = сумма n / сумма 1/Хi * n – средне гармоническая взвешенная.

4. Мода. Характеристиками вариационных рядов на ряду со средними являются мода и медиана. Мода (Мо) – это величина признака, варианта, наиболее часто повторяющегося в изучаемой совокупности. Для дискретных рядов распределения модой будет значение с наибольшей частотой. В этом ряду распределения мода равна 39. так как этот размер пользуется наибольшим спросом для покупателей. Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по следующей формуле М_о = Х_о + I_Mo * (F_Mo – F_Mo-1 / (F_Mo – F_Mo-1) + (F_Mo – F_Mo+1)).

Распределение предприятий по численности промышленно-производственного персонала.

Группы предприятий по числу работающих человек	Число предприятий
100-200	1
200-300	3
300-400	7
400-500	30
500-600	19
600-700	15
700-800	5

В этой задаче наибольшее число предприятий (30) имеет численность рабочих 400-500. Следовательно, этот интервал называется модальным. X_o = 400; I_Mo = 100; F_Mo = 30; F_Mo-1 = 7; F_Mo+1 = 19. M_o = 400 + 100 * (30 – 7 / (30 – 7) + (30 – 19)) = 467,6 человек.

5. Медиана (М_е) – обозначает численное значение признака той единицы изучаемой совокупности, которая расположена посередине ранжированного ряда. Если ряд распределения – дискретный, и имеет нечетное число членов, то медианой будет варианта, находящаяся в середине упорядоченного ряда (Упорядоченный ряд – это расположение единиц совокупности в возрастающем или убывающем порядке).

2, 4, 7, 8, 9 лет – в таком упорядоченном ряду медианой будет являться 7.

2, 4, 6, 7, 8, 9 лет – ряд состоит из четного числа членов. В данном ряду распределения посередине ранжированного ряда находится 6 и 7. Для определения медианы мы используем формулу обычной среднеарифметической простой = 6,5. Рассмотрим расчет медианы по дискретному ряду распределения.

Месячная ЗП (тыс. руб.)	Число рабочих	Сумма частот
110	2	2
130	6	2+6=8
160	16	8+16=24
190	12
220	4

Для определения медианы необходимо подсчитать сумму накопленных частот ряда, наращение частот происходит до получения накопленной суммы, превышающей половину частот распределения. Медиана 160 тыс. рублей.

Рассмотрим расчет медианы в интервальном ряду распределения.

M_e = Х_Me + I_Me * (0,5F – S_Me-1 / F_Me).

Группы предприятий по числу работающих человек	Число предприятий	Сумма наколенных частот
100-200	1	1
200-300	3	1+3=4
300-400	7	11
400-500	30	41
500-600	19
600-700	15
700-800	5

M_e = 400 + 100 * (0,5*80 – 11 / 30)