5 Решение задачи №4
Являются
ли равновозможными события: опыт –
выстрел по мишени; события:
– попадание;
– промах?
Анализ и классификация задачи
Задача относится к разделу «Классическое определение вероятностей», так как в ней идет речь нахождении вероятности появления событий и , и определения их равновозможности в опыте с выстрелом по мишени.
Обоснование метода решения задачи
Так как в задаче необходимо найти вероятность попадания по мишени или промаха и определить равновозможными данные события, то нужно воспользоваться классической формулой нахождения вероятности события:
,
где – общее количество исходов опыта;
– исходы, благоприятные событию .
Пошаговый алгоритм решения задачи
Шаг 1. Применить формулу для вероятности.
Шаг 2. Сравнить вероятность каждого из событий.
Шаг 3. Получить ответ.
Решение
Введём следующие обозначения
для событий:
–
попадание,
– промах. Тогда
;
.
Так как вероятности событий и равны, и нет оснований полагать, что одно из событий является более возможным, чем другое, то данные события являются равновозможными.
Ответ: события равновозможные.
6 Решение задачи №5
В одной урне 5 белых и 6 чёрных шаров, а в другой – 4 белых и 8 чёрных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.
Анализ и классификация задачи
Задача относится к разделу «Сложения вероятностей событий», так как в ней идет речь о нахождении вероятности события , в опыте с перекладыванием и последующем вынимании шаров из урны.
Так же к данной задаче
применимо понятие гипергеометрического
распределения – это
дискретное вероятностное распределение,
которое описывает количество успехов
в выборке без возвращений длины
над
конечной совокупностью объектов. Здесь
это понятие имеет место, так как оно
применяется при выборочном контроле
конечной совокупности объектов объема
по альтернативному признаку. В данном
случае альтернативным признаком для
объектов является белый цвет шара.
Обоснование метода решения задачи
Для нахождения искомой вероятности нужно воспользоваться формулой полной вероятности:
.
Пошаговый алгоритм решения задачи
Шаг 1. Рассмотреть следующие события:
– из первой урны переложили белые шары;
– из первой урны переложили 1 белый и 2 черных шара;
– из первой урны переложили 2 белых и 1
черный шар;
– из первой урны переложили чёрные
шары.
Шаг 2. Вычислить последовательно вышеперечисленные события по формуле гипергеометрической вероятности.
Шаг 3. Вычислить условную вероятность всех четырёх событий.
Шаг 4. Подставить полученные вероятности в формулу полной вероятности.
Шаг 5. Получить ответ.
Решение
Введём следующие обозначения для событий:
– из первой урны переложили белые шары;
– из первой урны переложили 1 белый и 2 черных шара;
– из первой урны переложили 2 белых и 1 черный шар;
– из первой урны переложили чёрные шары.
Так как других вариантов вытащить из первой урны три шара нет, то эти события составляют полную группу событий, и они несовместны.
Найдём вероятности этих событий по формуле гипергеометрической вероятности:
;
;
;
.
Введём событие – после перекладывания, из второй урны вынули 4 белых шара. Вероятность этого события зависит от того, что во вторую урну переложили из первой. Найдём условные вероятности:
Во второй урне 15 шаров, из них 7 белых:
;
Во второй урне 15 шаров, из них 5 белых:
;
Во второй урне 15 шаров, из них 6 белых:
;
Во второй урне 15 шаров, из них 4 белых:
.
Теперь найдём вероятность события по формуле полной вероятности:
Ответ: вероятность того, что после случайного перекладывания во вторую урну 3 шаров, из неё вынут 4 белых шара составляет 0,0073.