2.2 Оценка числовых характеристик закона распределения контролируемых параметров и определение процента бракованных изделий
В контрольных журналах на предприятии отобраны статистические данные на всех этапах контроля. Рассмотрим и дадим оценку числовых характеристик закона распределения контролируемых параметров готового изделия и определим процент бракованной продукции.
По органолептическим показателям растительное масло полностью соответствует требованиям стандарта.
Значения контролируемых физико-химических показателей готовой продукции для 30 партий занесем в контрольный лист (таблица 3).
Таблица 3 – Контрольный лист показателей качества растительного масла
Номер партии |
Показатели |
||||
Кислотное число, мг КОН/г |
Перекисное число, ммоль активного кислорода/кг |
Цветное число, мг йода |
Массовая доля влаги и летучих вещ-в, % |
Йодное число, йода/100г |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
0,270 |
2,16 |
9,501 |
0,025 |
122,46 |
2 |
0,341 |
3,67 |
9,782 |
0,062 |
124,21 |
3 |
0,317 |
3,20 |
10,12 |
0,041 |
123,77 |
4 |
0,329 |
3,37 |
9,904 |
0,015 |
123,31 |
5 |
0,349 |
3,89 |
10,11 |
0,070 |
122,15 |
6 |
0,311 |
2,91 |
10,15 |
0,071 |
120,0 |
7 |
0,309 |
3,71 |
9,675 |
0,081 |
121,76 |
8 |
0,344 |
3,34 |
9,948 |
0,001 |
122,12 |
9 |
0,327 |
3,38 |
9,911 |
0,024 |
123,59 |
10 |
0,306 |
2,51 |
9,992 |
0,043 |
124,35 |
11 |
0,348 |
2,91 |
10,2 |
0,024 |
123,1 |
12 |
0,300 |
2,95 |
9,921 |
0,023 |
120,15 |
13 |
0,275 |
3,22 |
10,05 |
0,062 |
124,13 |
14 |
0,331 |
3,40 |
9,76 |
0,056 |
124,44 |
15 |
0,342 |
2,82 |
10,34 |
0,028 |
121,1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
16 |
0,314 |
3,14 |
9,507 |
0,021 |
123,30 |
17 |
0,305 |
2,07 |
9,546 |
0,014 |
123,81 |
18 |
0,296 |
2,079 |
9,682 |
0,034 |
122,85 |
19 |
0,316 |
3,53 |
10,5 |
0,011 |
124,42 |
20 |
0,296 |
2,52 |
9,583 |
0,074 |
121,26 |
21 |
0,340 |
2,68 |
9,994 |
0,031 |
120,17 |
22 |
0,313 |
2,44 |
9,723 |
0,074 |
122,24 |
23 |
0,288 |
3,56 |
10,28 |
0,007 |
124,50 |
24 |
0,286 |
2,9 |
10,25 |
0,063 |
122,79 |
25 |
0,343 |
3,41 |
10,01 |
0,026 |
122,54 |
26 |
0,284 |
2,62 |
9,689 |
0,008 |
120,31 |
27 |
0,313 |
3,60 |
9,766 |
0,012 |
122,72 |
28 |
0,271 |
2,92 |
9,786 |
0,040 |
124,76 |
29 |
0,341 |
3,26 |
9,801 |
0,084 |
121,13 |
30 |
0,287 |
3,23 |
9,804 |
0,047 |
121,2 |
Для оценки устойчивости процесса производства растительного масла используются контрольные карты Шухарта количественных данных (карты индивидуальных значений Х и скользящих размахов МR). Для контрольных карт предполагается нормальное распределение значений выбранных показателей качества. Определим основные параметры закона распределения и вычислим процент брака на основании требований нормативной документации для показателей качества растительного масла:
кислотное число;
перекисное число;
цветное число;
массовая доля влаги и летучих веществ;
йодное число.
Результаты измерения кислотного числа растительного масла по 30 партиям представлены в таблице 3. Нормативной документацией установлено, что кислотное число растительного масла не должно превышать 0,35 мг КОН/г.
Для решения будем использовать табличный процессор Microsoft Excel. Рассортируем данные по возрастанию и сгруппируем их в виде пяти интервалов. Количество интервалов N определяем по формуле
где n – общее количество анализируемых данных, n = 30,
N=√30=5.
Подсчитаем частоты
попадания данных в интервалы, середины
интервалов и частости. Частость определяем
как отношение частоты попадания значений
в определенный интервал
к общему количеству измерений n.
Результаты представим в таблице 4
Таблица 4 – Результаты расчета
Номер интервала |
Границы интервала, % |
Частота ni |
Середина интервала xi, % |
Частость ni/n |
|
1 |
0,270 |
0,286 |
4 |
0,278 |
0,133 |
2 |
0,285 |
0,301 |
6 |
0,294 |
0,2 |
3 |
0,301 |
0,317 |
8 |
0,309 |
0,266 |
4 |
0,317 |
0,333 |
4 |
0,325 |
0,133 |
5 |
0,333 |
0,349 |
8 |
0,341 |
0,266 |
|
|
|
|
хср, % |
|
|
|
|
30 |
0,312 |
|
Среднее арифметическое значение показателя хср определяем по формуле
,
где k – число интервалов размеров;
- середина интервала;
- частота попадания показателя качества в данный интервал;
n – число проведенных измерений.
Определим выборочное
стандартное отклонение s,
т. е. оценим стандартное отклонение
,
по формуле
.
Для проверки
гипотезы о нормальности закона
распределения на уровне значимости
α=0,1 необходимо воспользоваться
критерием согласия χ2 Пирсона.
Для этого сравним эмпирические
и теоретические
частоты.
Критерий Пирсона является случайной величиной и вычисляется по формуле
.
Даная случайная
величина при
стремиться к закону распределения χ2
с k степенями
свободы.
Число степеней свободы определяем по формуле
,
где r – число параметров предполагаемого распределения, для нормального распределения, r = 1,
.
Строим правостороннюю
критическую область согласно требованию,
что вероятность попадания критерия в
эту область в предположение справедливости
нулевой гипотезы была равна принятому
уровню значимости
:
.
Правосторонняя критическая область определяется неравенством:
.
Область принятия нулевой гипотезы определяется неравенством:
.
Вычислим значение
критерия по данным наблюдений
.
Для этого рассчитаем теоретические
частоты нормального распределения
.
Вычисляем теоретические частости распределения.
Для расчета критерия рассчитываем дополнительные значения по формуле
.
Правостороннюю критическую границу определяем, используя функцию ХИ2ОБР (0,1;3), где 0,1 – уровень значимости, 3 – число степеней свободы с учетом того, что число интервалов в выборке равно 5.
Полученное значение
правосторонней критической границы:
=6,25.
Правосторонняя критическая область
(
;+
)
или (6,25; +
).
Результаты вычислений представим таблице 5 .
Таблица 5 – Результаты расчета
(xi-xср)2 % |
Значение функции НОРМРАСП |
Теоретические частоты n’i |
Округленные частоты n’i |
Теоретические частости n’i /n |
Критерий Пирсона |
0,001169 |
5,265346 |
2,492303 |
2 |
2 |
2 |
0,000339 |
12,85142 |
6,083103 |
6 |
1 |
0 |
6,92E-06 |
18,36373 |
8,692304 |
9 |
1,125 |
0,11 |
0,000173 |
15,36229 |
7,271601 |
7 |
0,57 |
0,57 |
0,000837 |
7,52379 |
3,561317 |
4 |
4 |
2,25 |
|
|
|
|
χ2набл |
4,93 |
0,021 |
|
|
|
χ2кр |
6,25 |
σ,
%
Построим гистограмму
распределения значений кислотного
числа растительного масла, нанесем
теоретические частости распределения,
допустимые значения (поле допуска Т)
и поле рассеяния параметра качества
мг КОН/г. (рисунок 1 ).
Т=0,249-0,35мг КОН/г
=6
Хср=0,312
Рисунок 1 – Гистограмма распределения величины кислотного числа растительного масла «Олейна».
Поскольку =4,93 не попадает в критическую область, то гипотезу о том, что наблюдаемые значения показателя качества имеют нормальный закон распределения, не отвергаем.
Кислотное число
растительного масла для всех партий
попадает в интервал значений
[
],
где
мг КОН/г,
мг КОН/г.
Все значения диапазона удовлетворяют требованиям к качеству растительного масла.
Все дальнейшие измерения проводим по аналогии.
Нормативной документацией установлено, что перекисное число растительного масла не должно превышать 4 ммоль активного кислорода/кг .
Таблица 6 – Результаты расчета для перекисного числа
Номер интервала |
Границы интервала, % |
Частота ni |
Середина интервала xi, % |
Частость ni/n |
|
1 |
2,079 |
2,441 |
4 |
0,133 |
2,2603 |
2 |
2,441 |
2,804 |
6 |
0,2 |
2,6228 |
3 |
2,804 |
3,166 |
9 |
0,3 |
2,9853 |
4 |
3,166 |
3,529 |
6 |
0,2 |
3,3478 |
5 |
3,529 |
3,891 |
5 |
0,166 |
3,7102 |
|
|
|
|
хср, % |
|
|
|
|
30 |
3,009 |
|
Таблица 7 – Результаты расчета для перекисного числа
(xi-xср)2 % |
Значение функции НОРМРАСП |
Теоретические частоты n’i |
Округленные частоты n’i |
Теоретические частости n’i /n |
Критерий Пирсона |
0,561179 |
0,234915 |
2,554539 |
3 |
1,33 |
0,333333 |
0,149492 |
0,606915 |
6,599778 |
7 |
1,16 |
0,142857 |
0,000584 |
0,855515 |
9,303129 |
9 |
1 |
0 |
0,114455 |
0,657976 |
7,155032 |
7 |
1,16 |
0,142857 |
0,491105 |
0,276106 |
3,002459 |
3 |
1,66 |
1,333333 |
σ, % |
|
|
|
χ2набл |
1,95 |
0,465 |
|
|
|
χ2кр |
6,25 |
Поле рассеяния
Т=1,614-4
ммоль активного кислорода/кг
=6
Хср=3,009ммоль
акт.кислорода/кг
Рисунок 2 – Гистограмма распределения величины перекисного числа растительного масла «Олейна»
Поскольку =1,95 не попадает в критическую область, то гипотезу о том, что наблюдаемые значения показателя качества имеют нормальный закон распределения, не отвергаем.
Кислотное число растительного масла для всех партий попадает в интервал значений [ ], где
ммоль активного
кислорода/кг,
ммоль активного
кислорода/кг
Все значения диапазона удовлетворяют требованиям к качеству растительного масла.
Нормативной документацией установлено, что цветное число растительного масла не должно превышать 10,5 мг йода.
Таблица 8 – Результаты расчета для цветного числа
Номер интервала |
Границы интервала, % |
Частота ni |
Середина интервала xi, % |
Частость ni/n |
|
1 |
9,501 |
9,701 |
4 |
0,133 |
9,601 |
2 |
9,701 |
9,9 |
6 |
0,2 |
9,8 |
3 |
9,9 |
10,1 |
12 |
0,4 |
10 |
4 |
10,1 |
10,3 |
5 |
0,167 |
10,2 |
5 |
10,3 |
10,5 |
3 |
0,1 |
10,4 |
|
|
|
|
хср, % |
|
|
|
|
30 |
9,98 |
|
Таблица 9 – Результаты расчета для цветного числа
(xi-xср)2 % |
Значение функции НОРМРАСП
|
Теоретические частоты n’i |
Округленные частоты n’i |
Теоретические частости n’i /n |
Критерий Пирсона |
0,144 |
0,4467614 |
2,67889122 |
3 |
1,33 |
0,3333 |
0,032 |
1,275534 |
7,64841618 |
8 |
1,33 |
0,5 |
4E-04 |
1,721346 |
10,3216145 |
10 |
0,83 |
0,4 |
0,048 |
1,0980042 |
6,58390339 |
7 |
1,4 |
0,5714 |
0,176 |
0,3310545 |
1,9850843 |
2 |
0,67 |
0,5 |
σ, % |
|
|
|
χ2набл |
2,3 |
0,231 |
|
|
|
χ2кр |
6,25 |
мг йода.
Т=9,287-10,673 мг йода
=6
Хср=9,98мг
йода
Рисунок 3 – Гистограмма распределения величины цветного числа растительного масла «Олейна»
Поскольку =2,3 не попадает в критическую область, то гипотезу о том, что наблюдаемые значения показателя качества имеют нормальный закон распределения, не отвергаем.
Кислотное число растительного масла для всех партий попадает в интервал значений [ ], где
мг йода,
мг йода.
Не все значения
полученного диапазона удовлетворяют
заданным требованиям к качеству
растительного масла (цветное число
должно быть в пределах не более 10,5 мг
йода). Определим возможный процент
бракованной продукции с помощью функции
нормального распределения
,
определяющей вероятность того, что
случайная величина Х примет значение,
меньшее х, т.е.
.
Вероятность того, что цветное число растительного масла будет более 10,5 мг йода составит 0,9878, следовательно, процент годной продукции – 98,78%. Значит 1,22 % растительного масла может иметь цветное число, не соответствующую требованиям нормативной документации.
Нормативной документацией установлено, что массовая доля влаги и летучих веществ растительного масла не должно превышать 0,1% .
Таблица 10 – Результаты расчета для массовой доли влаги и летучих веществ
Номер интервала |
Границы интервала, % |
Частота ni |
Середина интервала xi, % |
Частость ni/n |
|
1 |
0,00075 |
0,0174 |
5 |
0,00910 |
0,166 |
2 |
0,0174 |
0,03416 |
6 |
0,02581 |
0,2 |
3 |
0,03416 |
0,05087 |
9 |
0,04251 |
0,3 |
4 |
0,05087 |
0,06757 |
6 |
0,05922 |
0,2 |
5 |
0,06757 |
0,08428 |
4 |
0,0759 |
0,133 |
|
|
|
|
хср, % |
|
|
|
|
30 |
0,0414 |
|
Таблица 11 – Результаты расчета
(xi-xср)2 % |
Значение функции НОРМРАСП |
Теоретические частоты n’i |
Округленные частоты n’i |
Теоретические частости n’i /n |
Критерий Пирсона |
0,00104 |
5,990839 |
3,002459 |
3 |
0,100082 |
1,333 |
0,00024 |
14,27652 |
7,155032 |
7 |
0,238501 |
0,142 |
1,24E-06 |
18,56264 |
9,303129 |
9 |
0,3 |
0 |
0,00031 |
13,16861 |
6,599778 |
7 |
0,219993 |
0,142 |
0,00119 |
5,097099 |
2,554539 |
3 |
0,085151 |
0,333 |
σ, % |
|
|
|
χ2набл |
1,95 |
0,0214 |
|
|
|
χ2кр |
6,25 |
Т= -0,314-0,4246 %
=6
Хср=0,0414%
Рисунок 4 – Гистограмма распределения величины массовой доли влаги и летучих веществ растительного масла «Олейна».
Поскольку =1,95 не попадает в критическую область, то гипотезу о том, что наблюдаемые значения показателя качества имеют нормальный закон распределения, не отвергаем.
Массовая доля влаги и летучих веществ растительного масла для всех партий попадает в интервал значений [ ], где
%,
%
Все значения диапазона удовлетворяют требованиям к качеству растительного масла.
Нормативной документацией установлено, что йодное число растительного масла не должно превышать 125 йода/100г.
Таблица 12 – Результаты расчета
Номер интервала |
Границы интервала, йода/100г |
Частота ni |
Середина интервала xi, йода100г |
Частость ni/n |
|
1 |
120,06 |
121,00 |
4 |
120,53 |
0,133333 |
2 |
121,00 |
121,94 |
5 |
121,47 |
0,166667 |
3 |
121,94 |
122,88 |
10 |
122,41 |
0,333333 |
4 |
122,88 |
123,82 |
6 |
123,35 |
0,2 |
5 |
123,82 |
124,76 |
5 |
124,29 |
0,166667 |
|
|
|
|
хср, йода/100г=122,51 |
|
Таблица 13 – Результаты расчета
(xi-xср)2, йода/100г |
Значение функции НОРМРАСП |
Теоретические частоты n’i |
Округленные частоты n’i |
Теоретические частости n’i /n |
Критерий Пирсона |
3,896681 |
0,085046 |
2,398306 |
2 |
0,079944 |
2 |
1,069157 |
0,229699 |
6,477527 |
6 |
0,215918 |
0,166667 |
0,008836 |
0,333406 |
9,402069 |
9 |
0,313402 |
0,111111 |
0,715717 |
0,260075 |
7,334108 |
7 |
0,24447 |
0,142857 |
3,1898 |
0,109026 |
3,074544 |
3 |
0,102485 |
1,333333 |
σ=1,19 |
|
|
|
χ2набл |
3,75 |
|
|
|
|
χ2кр |
6,25 |
П
Т= 118,94-124,08 йода/100г
йода/100г
=6
Хср=122,51йода/100г
Рисунок 5 – Гистограмма распределения величины йодного числа растительного масла «Олейна»
Поскольку =3,75 не попадает в критическую область, то гипотезу о том, что наблюдаемые значения показателя качества имеют нормальный закон распределения, не отвергаем.
Йодное число растительного масла для всех партий попадает в интервал значений [ ], где
йода/100г,
йода/100г.
Все значения диапазона удовлетворяют требованиям к качеству растительного масла.
На основании анализа процесса получения растительного масла проведем поиск причин повышенного содержания цветного числа в растительном масле с помощью диаграммы Исикавы.