Задача а. Расчеты на прочность и жесткость ступенчатого стержня при растяжении-сжатии

1. Для стержня, заданного вариантом работы (рисунок 1), построить эпюру продольных усилий, возникающих в поперечных сечениях.

2. Дать эскиз разделения стержня на расчетные участки с различными усилиями и жесткостью.

3. Подобрать диаметры сечений (d1, d2, d3, d4) из условия прочности по заданным σT и σB и [n]. По полученным размерам сделать эскиз стержня.

4. Построить эпюру нормальных напряжений по длине стержня.

5. Построить эпюру осевых перемещений по длине стержня относительно верхнего сечения.

6. Из условия прочности на срез и смятие определить необходимую толщину и диаметр головки стержня, если для материала стержня [τ]=(0.5÷0.6)[σ] и [σсм]=2[σ].

Рис. 1

Данные: Р₁ = -20 кН; Р₂ = 30 кН; Р₃ = -10 кН; m =0,4; l₁ = 18 см; l₂ = 24 см; l₃ = 30 см; l₄ = 10 см; l₅ = 11 см; l₆ = 45 см; материал – сталь 40Х; .

Решение.

1. Продольную силу в поперечном сечении определяем, проецируя внешние

силы, приложенные ниже рассматриваемого сечения, на ось бруса:

а) на участках ab и bc

б) на участках cd, de и ef

в) на участке fk

По полученным значениям строим эпюру продольных сил N (рис. 2).

Рис. 2

2. Разделим стержень на расчетные участки с различными усилиями и

жесткостью:

участок ав: - сжатие; площадь сечения

участок вс: - сжатие; площадь сечения

участок сd: – растяжение; площадь сечения

участок de: – растяжение; площадь сечения

участок ef: – растяжение; площадь сечения

участок fk: – нагрузка отсутствует; площадь сечения

Эскиз разделения стержня на расчетные участки показан на рис. 3.

Рис. 3

3. Определим диаметры сечений из условия прочности по заданным σ_Т и

[n]:

участок ав:

Площадь сечения

Диаметр сечения

участок bc:

Площадь сечения

Отсюда

участок cd:

Площадь сечения

Отсюда

участок de:

участок ef:

участок fk:

Окончательно принимаем:

По полученным размерам выполним эскиз стержня (рис. 4).

Рис. 4

4. Определяем нормальные напряжения в поперечных сечениях участков:

участок ав:

участок вс:

участок сd:

участок de:

участок ef:

участок fk:

Эпюра нормальных напряжений в поперечных сечениях участков представлена на рис. 5,б.

5. Поперечные сечения стержня под действием нагрузки смещаются по

вертикали вверх или вниз. Смещение сечения, расположенного на расстоянии х от верхнего конца стержня, равно деформации участка диной х:

для сечений на участке fk (при )

для сечений на участке ef (при )

перемещение сечения е (при х = 0,16 м)

для сечений на участке de (при )

перемещение сечения d (при х = 0,25 м)

для сечений на участке cd (при )

перемещение сечения с (при х = 0,27 м)

для сечений на участке bc (при )

перемещение сечения b (при х = 0,27 м)

для сечений на участке ab (при )

перемещение сечения a (при х = 0,7 м)

Эпюра осевых перемещений по длине стержня относительно верхнего сечения представлена на рис. 5,в

.

6. Из условия прочности на срез и смятие определим необходимую

толщину и диаметр головки стержня.

Примем [τ]=(0.5÷0.6) = 217÷ 260 МПа=240 МПа, [σсм]=2· =2· =867 МПа.

Определяем допускаемую нагрузку из условия прочности стержня   на  растяжение:

2. Определяем диаметр  опорной   поверхности  головки, из  условия  ее прочности  на смятие:

Принимая F =[F_p], получаем

откуда

Принимаем D = 10 мм.

3. Определяем высоту головки из условия прочности на срез:

Принимая  ,  получаем

откуда

Принимаем h = 4 мм.