1 Основні поняття математичної статистики

1.1 Задачі математичної статистики

Математична (чи теоретична) статистика спирається на методи і поняття теорії ймовірності, але вирішує в якомусь змісті зворотні задачі.

В теорії ймовірності розглядаються випадкові величини з заданим розподілом або випадкові експерименти, властивості яких цілком відомі. Предмет теорії ймовірності — властивості і взаємозв'язки цих величин (розподілів).

Але часто експеримент являє собою чорний ящик, що видає лише деякі результати, по яких потрібно зробити висновок про властивості самого експерименту. Спостерігач має набір числових (у всякому разі, їх завжди можна зробити числовими) результатів, отриманих повторенням того самого випадкового експерименту в однакових умовах. Прикладом такої серії експериментів може служити соціологічне опитування, набір економічних показників, нарешті, послідовність гербів і решок при тисячократному підкиданні монети.

При цьому виникають наступні питання:

1. Якщо ми спостерігаємо одну випадкову величину — як по наборі її значень у декількох дослідах зробити як можна більш точний висновок про її розподіл?

2. Якщо ми спостерігаємо одночасний прояв двох (чи більше) ознак, тобто маємо набір значе­нь декількох випадкових величин — що можна сказати про їхню залежність? Є вона чи немає? А якщо є, то яка ця залежність?

Часто буває можливо висловити деякі припущення про розподіл, захований в «чорний ящик», чи про його властивості. У цьому випадку по дослідним даним потрібно підтвердити чи спростувати ці припущення («гіпотези»). При цьому треба пам'ятати, що відповідь «так» чи «ні» може бути дана лише з визначеним ступенем вірогідності, і чим довше ми можемо продовжувати експеримент, тим точніше можуть бути висновки (а це далеко не завжди можливо).

Отже, про (математичну) статистику має сенс згадати, якщо

а) мається випадковий експеримент, властивості якого частково або цілком невідомі,

б) ми вміємо відтворювати цей експеримент у тих самих умовах а деяке (а краще — яке завгодно) число раз.

1.2 Основні поняття вибіркового методу

Нехай  :   R — випадкова величина, що спостерігається у випадковому експерименті. Передбачається, що ймовірний простір заданий (і не буде нас цікавити). Будемо вважати, що провівши п раз цей експеримент в однакових умовах, ми одержали числа Х₁, X₂,..., Х_п — значення цієї випадкової величини в першому, другому, і т.д. експериментах. Нехай випадкова величина ξ має деякий розподіл F , що нам частково або зовсім невідомо.

Розглянемо докладніше вектор X = (Х₁,..., Х_п), названий вибіркою (випадковою вибіркою). У конкретній серії експериментів вибірка — це набір чисел. Але вартує цю серію експериментів повторити ще раз, і замість цього набору ми одержимо новий набір чисел. Замість числа Х₁ з'явиться інше число — одне зі значень випадкової величини  . Тобто Х₁(і X₂, і Хз, і т.д.) — не якесь конкретне, раз і назавжди задане число, а змінна величина, що може приймати ті ж значення, що і випадкова величина , і так само часто (з тими ж ймовірностями). Тобто Х₁ — випадкова величина, однаково розподілена з , а число, що ми спостерігаємо в даному першому експерименті — одне з можливих значень випадкової величини Х₁ .

Отже, вибірка X = (Х₁ ,..., Х_п) обсягу п це:

1. в конкретній серії експериментів — набір з п чисел, що є значеннями («реалізація­ми») випадкової величини  у п незалежних експериментах;

2. у математичній моделі — набір з п незалежних і однаково розподілених випадок­ових величин («копій  »), що мають, як і  , розподіл F.

Що значить «по вибірці зробити висновок про розподіл»? Розподіл характеризується функцією розподілу, чи щільністю таблицею, набором числових характеристик — Е , D , E^k і т.д. По вибірці потрібно вміти будувати наближення для всіх цих характеристик.