- •20,Опыт показывает, что заряженный конденсатор содержит запас энергии.
- •5, Потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2, находящихся в вакууме на расстоянии r12 друг от друга можно вычислить по:
- •72, Эффе́кт До́плера — изменение частоты и длины волн, регистрируемых приёмником, вызванное движением их источника или приёмника.
- •62, Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными.
- •36,Дивергенция и ротор магнитного поля
- •37, Поле соленоида и тороида
- •51, Ферромагнетизм
- •39, Электродвижущая сила индукции
- •41, Токи Фуко
36,Дивергенция и ротор магнитного поля
Для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности S имеет место условие
Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора В: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю.
Заменив в соответствии с (1.110) поверхностный интеграл в (6.98) объемным, получим, что
Условие, к которому мы пришли, должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральная функция в каждой точке поля равна нулю. Таким образом, магнитное поле обладает тем свойством, что его дивергенция всюду равна 0:
Теперь обратимся к циркуляции вектора В. По определению циркуляция равна интегралу
Проще всего вычислить этот интеграл в случае поля прямого тока. Пусть замкнутый контур лежит в плоскости, перпендикулярной к току (рис. 6.25; ток перпендикулярен к плоскости чертежа и направлен за чертеж). В каждой
В каждой точке контура вектор В направлен по касательной к окружности, проходящей через эту точку. Заменим в выражении для циркуляции ВdL на Вlp [dlB — проекция элемента контура на направление вектора В). Из рисунка видно, что dlB равно bd, где b — расстояние от провода с током до dI ( d — угол, на который поворачивается радиальная прямая при перемещении вдоль контура на отрезок dl. Таким образом, подставив выражение (6.25) для В, получим
С учетом равенства (6.101) имеем
При обходе по контуру, охватывающему ток, радиальная прямая все время поворачивается в одном направлении, поэтому §da = 2. Иначе обстоит дело, если ток не охватывается контуром (рис. 6.25 б). В этом случае при обходе по контуру радиальная прямая поворачивается сначала в одном направлении (участок 1-2}, а затем в противоположном (участок 2-1), вследствие чего d равен нулю. Учтя этот результат, можно написать
где под I следует подразумевать ток, охватываемый контуром. Если контур тока не охватывает, циркуляция вектора В равна нулю.
Знак выражения (6.103) зависит от направления обхода по контуру (в этом же направлении отсчитывается угол ). Если направление обхода образует с направление тока правовинтовую систему, величина (6.103) положительна, в противном случае — отрицательна. Знак можно учесть, полагая I алгебраической величиной, причем положительным нужно считать ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта;
ток противоположного направления будет отрицательным.
С помощью соотношения (6.103) легко восстановить в памяти формулу (6.30) для В поля прямого тока. Представим себе плоский контур в виде окружности радиуса R (рис. 6.26). В каждой точке этого контура вектор В одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности. Следовательно, циркуляция равна произведению В
на длину окружности 2b, и соотношение (6.103) имеет вид
В • 2b = I0
Случай неплоского контура (рис. 6.27) отличается от рассмотренного выше случая плоского контура лишь тем, что при перемещении вдоль контура радиальная прямая не только поворачивается вокруг провода, но и перемещается вдоль него. Все выкладки, приведшие нас к формуле (6.103), остаются справедливыми, если под d подразумевать угол, на который поворачивается проекция радиальной прямой на перпендикулярную к току плоскость.
Формула (6.103) получена нами для случая прямого тока. Можно показать, что она справедлива и для тока, текущего по проводу произвольной формы, например для кругового тока. Допустим, что некоторый контур охватывает несколько проводов с токами. В силу принципа суперпозиции (см. (6.16))
Если токи текут во всем пространстве, где расположен контур, алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром, можно представить в виде
Интеграл берется по произвольной поверхности S, натянутой на контур. Вектор j есть плотность тока в той точке, где расположена площадка dS; n — положительная нормаль к этой площадке (т. е. нормаль, образующая с направлением обхода по контуру при вычислении циркуляции правовинтовую систему). Заменив в (6.104) сумму токов выражением (6.105), получим Bdl = o sjdS. Преобразовав левую часть по теореме Стокса, придем к равенству
Полученное равенство должно выполняться при произвольном выборе поверхности S, по которой берутся интегралы. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральные функции имеют в каждой точке одинаковые значения. Таким образом, мы приходим к выводу, что ротор вектора магнитной индукции пропорционален вектору плотности тока в данной точке:
Коэффициент пропорциональности в СИ равен о.
Отметим, что формулы (6.104) и (6.106) справедливы только для поля в вакууме в отсутствие меняющихся во времени электрических полей.
Итак, мы нашли дивергенцию и ротор магнитного поля в вакууме. Сравним полученные формулы с аналогичными формулами для электростатического поля в вакууме. Согласно (1.119), (1.114), (6.99) и (6.106)
Сопоставление этих формул показывает, что электростатическое и магнитное поля имеют существенно различный характер. Ротор электростатического поля равен нулю; следовательно, электростатическое поле потенциально и может быть охарактеризовано скалярным потенциалом . Ротор магнитного поля в тех точках, где есть ток, отличен от нуля. Соответственно циркуляция вектора В пропорциональна току, охватываемому контуром. Поэтому магнитному полю нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с В соотношением, аналогичным (1.40). Этот потенциал не был бы однозначным — при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку и получал бы приращение, равное 0l. Поле, , у которого ротор отличен от нуля, называется вихревым или соленоидальным.
Поскольку дивергенция вектора В всюду равна нулю, этот вектор можно представить в виде ротора некоторой функции А:
Функция А называется векторным потенциалом магнитного поля.