- •Введение
- •1. Определение производной. Дифференцирование функций
- •16. (Логарифмическая производная).
- •2. Геометрические приложения производной. Уравнения касательной и нормали
- •3. Дифференцирование неявных функций
- •4. Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •5. Производные и дифференциалы высших порядков
- •6. Правило Лопиталя
- •7. Применение производной к исследованию функций и построению графиков
- •8. Нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
- •9. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин
- •Варианты заданий для ргр
- •Литература
- •Формат Объем Тираж Заказ
8. Нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке:
1) Найти все критические точки функции, принадлежащие отрезку ;
2) Вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка;
3) Из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Пример 8.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Решение. 1) Найдем критические точки функции.
,
.
На отрезке знаменатель не обращается в нуль. Следовательно, дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю:
.
Значит, – критическая точка функции. Она принадлежит данному отрезку.
Найдем значение функции в критической точке:
.
2) Найдем значения функции на концах отрезка:
, .
3) Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее:
, .
9. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин
При решении задач на вычисление наименьших и наибольших значений величин надо прежде всего определить, для какой величины в задаче требуется найти наименьшее или наибольшее значение. Эта величина и будет исследуемой функцией. Затем одну из величин, от изменения которых зависит применение функции, следует взять за независимую переменную и выразить через неё функцию. При этом нужно в качестве независимой переменной выбрать ту величину, через которую исследуемая функция выражается проще всего. После этого решается задача на нахождение наименьшего и наибольшего значения полученной функции в некотором промежутке изменения независимой переменной, которое обычно устанавливается из самого существа задачи.
Пример 9.1. Найти высоту конуса наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса .
Р ешение. Обозначив радиус основания, высоту и объём конуса соответственно , и , запишем . Это равенство выражает зависимость от двух переменных и ; исключим одну из этих величин, а именно . Для этого из прямоугольного треугольника выводим (по теореме о квадрате перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла на гипотенузу):
Рисунок 6 – Иллюстрация к примеру 9.1.
или .
Подставив значение в формулу объёма конуса, получим:
.
Мы видим, что объём конуса, вписанного в шар радиуса ,есть функция от высоты этого конуса . Найти высоту при которой вписанный конус имеет большой объём, это значит найти такое , при котором функция имеет максимум. Ищем максимум функции:
1) ,
2) , , , откуда или ,
3) .
Подставив вместо сначала , а потом , получим:
В первом случае имеем минимум ( при ), во втором искомый максимум (так как при ).
Следовательно, при конус, вписанный в шар радиуса , имеет наибольший объём.
П ример 9.2. Требуется огородить проволочной сеткой длиной 60 м прямоугольный участок, прилегающий к стене дома (рис. 7). Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь?
Решение. Пусть ширина участка м, а площадь м2, тогда:
Рисунок 7 – Иллюстрация к пр. 9.2.
.
Значения и не могут быть отрицательными, поэтому множитель , а .
Площадь есть функция , определим промежутки ее возрастания и убывания:
. , и функция возрастает, когда ; , и функция убывает, когда . Следовательно, точка является точкой максимума. Так как это единственная точка, принадлежащая интервалу , то в точке функция имеет наибольшее значение.
Следовательно, площадь участка наибольшая (максимум), если ширина м, а длина м.
Пример 9.3. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадь которой 36 м2, чтобы периметр ее был наименьший?
Решение. Пусть длина равна м, тогда ширина прямоугольника м, а периметр:
.
Периметр есть функция длины , определенная для всех положительных значений : .
Определим промежутки ее возрастания и убывания:
.
Знак производной определяется знаком разности . В промежутке
, а в промежутке .
Следовательно, точка является точкой минимума. Так как это единственная точка, принадлежащая интервалу: , то в точке функция имеет наименьшее значение.
Следовательно, периметр прямоугольника имеет наименьшее значение (минимум), если длина его 6 м и ширина м = 6 м, т. е. когда он квадрат.