7.2. Основные положения синтеза оптимальных сау
Стремление проектировщиков при синтезе САУ удовлетворить многие требования выдвинуло проблему оптимального синтеза, при котором все необходимые требования могут удовлетворяться простейшим образом. В качестве критерия простоты обычно выбирается функционал в частотной области:
,
(7.10)
где
– степень астатизма,
– частотная передаточная функция
разомкнутого канала управления.
Этот функционал определяет полосу пропускания рабочих частот САУ. Минимизация значения полосы пропускания при выполнении требований по точности, быстродействию, запасу устойчивости по фазе и амплитуде упрощает реализацию САУ. Функционал (7.10) является критерием оптимальности синтеза САУ по заданным качественным показателям.
Если необходимо обеспечить наилучшую работу САУ в наименее благоприятных условиях, то используется критерий оптимальности, называемый минимаксным, например, получение минимального значения максимального отклонения (перерегулирования) управляемой переменной от заданной функции во времени (минимум максимальной мощности исполнительного привода рулей).
В зависимости от оптимизации режима работы объекта управления рассматриваются уравнения статики и динамики, которые являются его математической моделью. В статических режимах работы объекта управления все координаты, характеризующие этот режим, будут постоянными во времени.
Простейшие объекты управления с одним входом и выходом описываются уравнением статики
(7.11)
Для линейных статических характеристик уравнение (7.11) имеет вид
(7.12)
где к – коэффициент пропорциональности.
Если же статическая характеристика нелинейна и ее можно выразить аналитически, то уравнение статики может иметь, например, одну из следующих форм:
где
–
некоторые постоянные коэффициенты;
– постоянная величина.
Для объектов управления с несколькими входами и одним выходом уравнение статики может быть линейным
,
(7.13)
либо нелинейным
,
(7.14)
где
– некоторые постоянные коэффициенты,
Для объектов управления нелинейных, многомерных, а также систем с несколькими входами и выходами уравнение статики при наличии линейных и квадратических зависимостей в матричной форме будет иметь следующий вид:
,
(7.15)
где
;
;
;
;
.
Если
,
то получим уравнение статики многомерного
линейного объекта управления
(7.16)
Рассмотрим уравнения динамики объектов управления.
В простейшем случае, когда объект управления имеет один вход и один выход, его динамика характеризуется дифференциальным уравнением n-го порядка:
(7.17)
где
– сигналы выхода и входа соответственно;
Обозначим
через
состояние
детерминированного объекта управления
в момент времени
.
Множество состояний этого объекта
назовем пространством состояний. Тогда
уравнение динамики объекта, представляющее
математическую модель общего вида,
можно выразить уравнением Коши в
матричной форме
(7.18)
где
;
;
;
.
Конечной
целью задачи синтеза оптимальных САУ
является определение сигналов управления
,
которые обеспечивают оптимальное
значение критерия качества, характеризующего
оптимальный режим работы объекта.
При разработке САУ в статических режимах при известном аналитическом выражении статической характеристики объекта управления для определения экстремума этой характеристики используют методы дифференциального исчисления. Значение входной переменной, соответствующей экстремуму на статической характеристике объекта, является искомым оптимальным управлением.
В качестве методов синтеза оптимального управления в статических режимах используют градиентные методы, а также метод на основе множителей Лагранжа, линейного и нелинейного программирования.
В качестве методов синтеза оптимального управления в динамических режимах используют классический метод вариационного исчисления, метод динамического программирования и метод принципа максимума Л.С. Понтрягина.
В зависимости от выбранного критерия оптимальности САУ разделяют на следующие основные классы:
оптимальные по точности (критерий минимума ошибки);
оптимальные по быстродействию (критерий минимума времени переходного процесса);
оптимальные по расходу энергии (критерий минимума расхода энергии);
оптимальные по условиям инвариантности (критерий независимости выходных координат системы от внешних воздействий).
Кроме того можно различать оптимальные САУ:
по характеристикам объектов управления (линейные, нелинейные, непрерывные, дискретно-непрерывные, дискретные);
по требованиям, предъявляемым к объектам (равномерно-оптимальным, статистически-оптимальным);
по характеру информации об объекте, которая поступает в управляющее устройство (системы с полной и неполной информацией).