1.1.8 Вимірювання невипадкових величин та їх реалізацій Призначення контрольних меж. Рівноточні виміри постійної величини
Під час експериментів виникає задача здійснювати вимірювання очікуваної постійної величини. Наприклад, підприємство виготовляє однотипові деталі. Очікується, що результати вимірювань повинні бути однако-вими, якщо відсутня систематична та випадкова похибки. Наприклад, мікропроцесорний пристрій постійно контролює параметр силового енер-гетичного обладнання, яке знаходиться в роботі. Очікується, що результа-ти вимірювань (коли обладнання без пошкоджень) повинні бути однаковими, якщо відсутня систематична та випадкова похибки [7,8,10].
При опрацюванні результатів вимірювань постійної величини точність її оцінки і довірчі межі знаходять по наступних формулах.
Точечна оцінка постійної величини
(1.29)
де yi - результат вимірювань; n - кількість вимірювань.
Средньоквадратичне відхилення точечної оцінки постійної величини
(1.30)
де σΔ - середньоквадратична похибка вимірювань.
Довірчі межі (задача полягає в знаходженні меж, які утворюють інтервал, що перекриває невідому постійну величину y і з довірчою ймо-вірністю p):
одна нижня одностороння межа
,
(1.31)
одна верхня одностороння межа
,
(1.32)
дві (верхня і нижня) рівновіддалені двосторонні межі
,
(1.33)
де p - довірча ймовірність; tp, t(1+p)/2 - квантили нормованого нормального закону розподілу, які визначаються по таблиці 1.6.
Довірчий інтервал при односторонній межі напіввідкритий, тобто одна межа кінцева, інша - незкінченна. Зокрема, при визначенні нижньої односторонньої межі, довірчий інтервал очікуваних правильних результа-тів вимірювань знаходиться в межах yн ÷ + . При визначенні двосторон-ніх меж його розмір зкінченний і складає
.
(1.34)
Таким чином, величина інтервалу в обох випадках є невипадковою. Випадковим є лише положення кінцевих меж інтервалу на вісі. Це положення однозначно зв’язано з випадковим положенням точечної оцінки. Часто межі призначають так, щоб інтервал містив у собі постійну контрольовану величину з досить великою імовірністю р.
З
окрема,
при двосторонньому інтервалі часто
вибирають р
= 0,9973.
Тоді з таблиці 1.6 вибираємо для (1+0,9973)/2
t(1+Р)/2
=
3
і формула
(1.33)
приймає вид
. (1.35)
А
бсолютна
точність оцінки
. (1.36)
Приклад. Визначити кількість: незалежних вимірювань для оцінки постійного розміру з заданою абсолютною точністю.
Вихідні дані. έ - необхідна абсолютна точність вимірювань; р - необхідна імовірність висновків.
Рішення. Необхідний об’єм вимірювань розраховуємо по формулі
(1.37)
де t(1+Р)/2 - квантиль нормованого нормального розподілу (визначається по таблиці 1.6) Залежність об’єму випробовувань n від відношення σΔ / έ і рівня імовірності р наведена на рисунку 1.2.
Рисунок 1.2 - Залежність об’єму вимірювань n, необхідного для оцінки пос-тійної вимірюваної величини з заданою точністю, від відношення σΔ / έ.
Часто при вимірюваннях постійної величини імовірність p = 0,9973, коли квантиль t(1+Р)/2 = 3, і формула приймає вид
.
(1.38)
Ця
формула залишається справедливою і для
тих випадків, коли імовірність р
відрізняється від 0,9973.
В цьому випадку під
треба розуміти граничну похибку
вимірювань, визначену на тому ж рівні
р,
що й аб-солютна точність вимірювань έ.
Кількість вимірювань n округляється в більшу сторону до найближчого цілого числа.
Таблиця 1.6 - Квантилі tр нормованого нормального розподілу для різних p
р
|
tр
|
р
|
tр
|
р
|
tр
|
p
|
tр
|
0,50
|
0,000000
|
0,70 |
0,524401 |
0,90 |
1,281552
|
0,983 |
2,120072 |
0,51 |
0,025069 |
0,71 |
0,553385 |
0,91 |
1,340755 |
0,984 |
2,144411 |
0,52 |
0,050154 |
0,72 |
0,582842 |
0,92 |
1,405072 |
0,985 |
2,170090 |
0,53 |
0,075270 |
0,73 |
0,612813 |
0,93 |
1,475791 |
0,986 |
2,197286 |
0,54 |
0,100434 |
0,74 |
0,643345 |
0,94 |
1,554774 |
0,987 |
2,226212 |
0,55 |
0,125661 |
0,75 |
0,674490 |
0,95 |
1,644854 |
0,988 |
2,257129 |
0,56 |
0,160969 |
0,76 |
0,706303 |
0,96 |
1,750686 |
0,989 |
2,290368 |
0,57 |
0,176374 |
0,77 |
0,738847 |
0,97 |
1,880794 |
0,990 |
2,326348 |
0,58 |
0,201893 |
0,78 |
0,772193 |
0,971 |
1,895698 |
0,991 |
2,365618 |
0,59 |
0,227545 |
0,79 |
0,806421 |
0,972 |
1,911036 |
0,992 |
2,408916 |
0,60 |
0,253347 |
0,80 |
0,841621 |
0,973 |
1,926837 |
0,993 |
2,457263 |
0,61 |
0,279319 |
0,81 |
0,877896 |
0,974 |
1,943134 |
0,994 |
2,512114 |
0,62 |
0,305481 |
0,82 |
0,915365 |
0,975 |
1,959964 |
0,995 |
2,575829 |
0,63 |
0,331853 |
0,83 |
0,954165 |
0,976 |
1,977368 |
0,996 |
2,652070 |
0,64 |
0,358459 |
0,84 |
0,994458 |
0,977 |
1,995393 |
0,997 |
2,747781 |
0,65 |
0,385320 |
0,85 |
1,036433 |
0,978 |
2,014091 |
0,998 |
2,878162 |
0,66 |
0,412463 |
0,86 |
1,080319 |
0,979 |
2,033520 |
0,99865 |
3,002445 |
0,67 |
0,439913 |
0,87 |
1,126391 |
0,980 |
2,053749 |
0,999 |
3,090232 |
0,68 |
0,467699 |
0,88 |
1,174987 |
0,981 |
2,074855 |
- |
- |
0,69 |
0,495850
|
0,89 |
1,226528 |
0,982 |
2,096927 |
- |
- |