1.6 Неопределённость измерений

В международной практике с целью сопоставления результатов измерений перешли к оценке их точности новым показателем – неопределённостью измерений [56, 38].

Появление критерия неопределённости измерений связано с практической нереализуемостью понятия погрешности измерения как разности между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины, т.к. истинное значение величины – это философская абсолютная истина, значение которой неизвестно. Вместо истинного значения принимают действительное значение с некоторой минимальной погрешностью, но опять же отсчитываемой от неизвестного истинного.

Неопределённость измерений характеризует рассеяние значений, которые могли бы быть обоснованно приписаны измеряемой величине.

Количественными выражениями неопределённости результата измерений являются:

• стандартная неопределённость (u) для прямых измерений, вычисленная как среднее квадратическое отклонение;

- суммарная стандартная неопределенность (u_c) для косвенных измерений, вычисленная квадратическим суммированием стандартных неопределенностей прямых измерений величин, функционально связанных с искомой, с учетом их коэффициентов влияния;

- расширенная неопределенность (U) – это ширина половины интервала вокруг результата измерений, в пределах которого находится большая часть распределения значений, которые могли бы быть приписаны измеряемой величине с указанной доверительной вероятностью.

За результат измерения величины принимается среднее арифметическое исправленных, т.е. с введением поправок, многократных (m) измерений.

Различают два типа вычисления стандартной неопределенности:

- по типу A – путем статистической обработки результатов многократных измерений;

- по типу B – с использованием других способов.

По типу A стандартную неопределенность находят как среднее квадратическое отклонение ряда исправленных наблюдений x_i многократных измерений:

- для единичных измерений i-й величины

^, (1.12)

где – математическое ожидание, или среднее арифметическое значение наблюдений i-й измеряемой величины:

; (1.13)

- для измерений, при которых каждый результат определяют как среднее арифметическое:

(1.14)

По типу B исходными данными для вычисления стандартной неопределенности являются:

- данные предшествующих измерений величин, входящих в уравнение измерения;

- сведения о виде распределения вероятностей;

- экспертные оценки, основанные на опыте исследователя;

- общие знания о поведении и свойствах соответствующих средств измерений;

- неопределенности констант и справочных данных;

- данные поверки и калибровки;

- сведения изготовителя о приборе и др.

Неопределенности этих данных обычно представляют в виде границ отклонений значений величин от их оценок.

Особенностью стандартной неопределенности типа B является постулирование равномерного закона в качестве основного для распределения возможных значений измеряемой величины между нижней (b_i-) и верхней (b_i+) границами (рис. 1.4 а):

, (1.15)

а для симметричных границ (±b_i) (рис. 1.4 б):

. (1.16)

а) несимметричное распределение; б) симметричное распределение.

Рис. 1.4 Равномерный закон распределения возможных значений измеряемой величины

Суммарная неопределенность результата измерений величины рассчитывается по формуле

, (1.17)

где y – определяемая величина, устанавливаемая расчетом по результатам измерения других величин (x_i), связанных с ней функциональной зависимостью (функционалом):

y = f(x₁, x₂, .. x_m) ; (1.18)

u(x_i) – стандартные неопределенности измеряемых величин x₁, x₂, .. x_m;

∂f/∂x_i – частные производные функционала по измеряемым величинам, или коэффициенты их влияния на определяемую величину.

Расширенная неопределенность больше стандартной или суммарной неопределенности в k раз:

U = k·u ; (1.19)

U = k·u_c , (1.20)

где k – коэффициент охвата:

k = t_p(v_f) , (1.21)

равный квантилю распределения Стьюдента t_p(v) с эффективным числом степеней свободы v_f и доверительной вероятностью p (табл. 1.5).

Таблица 1.5

Значение квантилей t_p(v) для случайной величины, имеющей распределение Стьюдента с v степенями свободы

v	p = 0,95	p = 0,99	v	p = 0,95	p = 0,99
3	3,182	5,841	16	2,120	2,921
4	2,776	4,604	18	2,101	2,878
5	2,571	4,032	20	2,086	2,845
6	2,447	3,707	22	2,074	2,819
7	2,365	3,499	24	2,064	2,797
8	2,306	3,355	26	2,056	2,779
9	2,262	3,250	28	2,048	2,763
10	2,228	3,169	30	2,042	2,750
12	2,179	3,055	∞	1,960	2,576
14	2,145	2,977

Эффективное число степеней свободы определяют по формуле

, (1.22)

где v_i – число степеней свободы при определении оценки i-й входной величины по n_i наблюдениям:

v_i = n_i – 1 – для вычисления неопределенности по типу A;

v_i = ∞ – для вычисления неопределенности по типу B.

На практике для равномерного закона распределения полагают

k =1,65 при p = 0,95 и k =1,71 при p = 0,99;

для закона нормального распределения

k =2 при p = 0,95 и k =3 при p = 0,99.

Сравнивая расчеты неопределенности с расчетами погрешностей измерения [37], легко убедиться в большей ясности, простоте и меньшей трудоемкости расчетов неопределенности.

Однако настораживает то обстоятельство, что неопределенность не учитывает переменность измеряемых величин в пределах одного объекта измерения и, следовательно, необходимость измерения двух граничных значений величины, как это имеет место при измерениях геометрических величин.

По-существу расчеты неопределенности сводятся к нахождению среднего квадратического отклонения. Задаваясь доверительной вероятностью p (0,99; 0,95; 0,90 или меньше), законом распределения, переходим к расширенной неопределенности U и определяем границы интервала, в пределах которого любое значение может быть обоснованно приписано измеряемой величине.

Вычисление стандартной неопределенности по типу B более достоверно, т.к. опирается не только на статистику, но и на дополнительные источники информации.

При проведении совместных работ с зарубежными странами в области стандартизации, метрологии, производства продукции, при подготовке публикаций в зарубежной печати, при выступлениях с докладами на международных научных конференциях, в исследованиях физических констант необходимо приводить данные о неопределенности величин.