4 Задача о замене оборудования динамического программирования
Решить задачу о замене оборудования динамического программирования.
В начале планового периода продолжительностью в N лет имеется оборудование возраста t. Известны стоимость r(t) продукции, производимой в течение года с использованием этого оборудования; ежегодные расходы u(t), связанные с эксплуатацией оборудования; его остаточная стоимость s; стоимость p нового оборудования (сюда же включены расходы, связанные с установкой, наладкой и запуском оборудования). Требуется:
1) пользуясь функциональными уравнениями, составить матрицу максимальных прибылей fn(t) за N лет;
2) сформировать по матрице максимальных прибылей оптимальные стратегии замены оборудования данных возрастов t и t1 лет в плановом периоде продолжительностью соответственно N и N1 лет.
Исходные данные представлены в таблицах 8 и 9.
Таблица 8
N |
N1 |
t |
t1 |
S |
p |
10 |
8 |
7 |
1 |
0 |
10 |
Таблица 9
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
r(t) |
20 |
20 |
20 |
19 |
19 |
18 |
18 |
17 |
17 |
16 |
15 |
u(t) |
10 |
11 |
12 |
12 |
13 |
13 |
14 |
14 |
15 |
15 |
15 |
В зависимости от выбранного управления по-разному будет вычисляться целевая функция:
Из данной формулы видно, что в случае замены оборудования каждый раз мы будем получать одно и то же значение Z. Вычислим его:
.
Сведем все решения задачи в табл. 10-19.
Таблица 10 Таблица 11
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
С |
1 |
9 |
2 |
8 |
17 |
17 |
З |
0 |
0 |
1 |
9 |
9 |
- |
|
2 |
С |
2 |
8 |
3 |
7 |
15 |
15 |
З |
0 |
0 |
1 |
9 |
9 |
- |
|
3 |
С |
3 |
7 |
4 |
6 |
13 |
13 |
З |
0 |
0 |
1 |
9 |
9 |
- |
|
4 |
С |
4 |
6 |
5 |
5 |
11 |
11 |
З |
0 |
0 |
1 |
9 |
9 |
- |
|
5 |
С |
5 |
5 |
6 |
4 |
9 |
9 |
З |
0 |
0 |
1 |
9 |
9 |
- |
|
6 |
С |
6 |
4 |
7 |
3 |
7 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
9 |
9 |
9 |
|
7 |
С |
7 |
3 |
8 |
2 |
5 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
9 |
9 |
9 |
|
8 |
С |
8 |
2 |
9 |
1 |
3 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
9 |
9 |
9 |
|
9 |
С |
9 |
1 |
10 |
0 |
1 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
9 |
9 |
9 |
|
10 |
С |
10 |
0 |
- |
- |
- |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
9 |
9 |
9 |
|
|
|
|
|
1 |
С |
1 |
9 |
9 |
З |
0 |
0 |
- |
|
2 |
С |
2 |
8 |
8 |
З |
0 |
0 |
- |
|
3 |
С |
3 |
7 |
7 |
З |
0 |
0 |
- |
|
4 |
С |
4 |
6 |
6 |
З |
0 |
0 |
- |
|
5 |
С |
5 |
5 |
5 |
З |
0 |
0 |
- |
|
6 |
С |
6 |
4 |
4 |
З |
0 |
0 |
- |
|
7 |
С |
7 |
3 |
3 |
З |
0 |
0 |
- |
|
8 |
С |
8 |
2 |
2 |
З |
0 |
0 |
- |
|
9 |
С |
9 |
1 |
1 |
З |
0 |
0 |
- |
|
10 |
С |
10 |
0 |
0 |
З |
0 |
0 |
- |
Таблица 12 Таблица 13
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
С |
1 |
9 |
2 |
21 |
30 |
30 |
З |
0 |
0 |
1 |
24 |
24 |
- |
|
2 |
С |
2 |
8 |
3 |
18 |
26 |
26 |
З |
0 |
0 |
1 |
24 |
24 |
- |
|
3 |
С |
3 |
7 |
4 |
17 |
24 |
24 |
З |
0 |
0 |
1 |
24 |
24 |
- |
|
4 |
С |
4 |
6 |
5 |
17 |
23 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
24 |
24 |
24 |
|
5 |
С |
5 |
5 |
6 |
17 |
22 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
24 |
24 |
24 |
|
6 |
С |
6 |
4 |
7 |
17 |
21 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
24 |
24 |
24 |
|
7 |
С |
7 |
3 |
8 |
17 |
20 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
24 |
24 |
24 |
|
8 |
С |
8 |
2 |
9 |
17 |
19 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
24 |
24 |
24 |
|
9 |
С |
9 |
1 |
10 |
17 |
18 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
24 |
24 |
24 |
|
10 |
С |
10 |
0 |
- |
- |
- |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
24 |
24 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
С |
1 |
9 |
2 |
15 |
24 |
24 |
З |
0 |
0 |
1 |
17 |
17 |
- |
|
2 |
С |
2 |
8 |
3 |
13 |
21 |
21 |
З |
0 |
0 |
1 |
17 |
17 |
- |
|
3 |
С |
3 |
7 |
4 |
11 |
18 |
18 |
З |
0 |
0 |
1 |
17 |
17 |
- |
|
4 |
С |
4 |
6 |
5 |
9 |
15 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
17 |
17 |
17 |
|
5 |
С |
5 |
5 |
6 |
9 |
14 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
17 |
17 |
17 |
|
6 |
С |
6 |
4 |
7 |
9 |
13 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
17 |
17 |
17 |
|
7 |
С |
7 |
3 |
8 |
9 |
12 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
17 |
17 |
17 |
|
8 |
С |
8 |
2 |
9 |
9 |
11 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
17 |
17 |
17 |
|
9 |
С |
9 |
1 |
10 |
9 |
10 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
17 |
17 |
17 |
|
10 |
С |
10 |
0 |
- |
- |
- |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
17 |
17 |
17 |
Таблица 14 Таблица 15
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
С |
1 |
9 |
2 |
32 |
41 |
41 |
З |
0 |
0 |
1 |
35 |
35 |
- |
|
2 |
С |
2 |
8 |
3 |
31 |
39 |
39 |
З |
0 |
0 |
1 |
35 |
35 |
- |
|
3 |
С |
3 |
7 |
4 |
30 |
37 |
37 |
З |
0 |
0 |
1 |
35 |
35 |
- |
|
4 |
С |
4 |
6 |
5 |
30 |
36 |
36 |
З |
0 |
0 |
1 |
35 |
35 |
- |
|
5 |
С |
5 |
5 |
6 |
30 |
35 |
35 |
З |
0 |
0 |
1 |
35 |
35 |
- |
|
6 |
С |
6 |
4 |
7 |
30 |
34 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
35 |
35 |
35 |
|
7 |
С |
7 |
3 |
8 |
30 |
34 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
35 |
35 |
35 |
|
8 |
С |
8 |
2 |
9 |
30 |
33 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
35 |
35 |
35 |
|
9 |
С |
9 |
1 |
10 |
30 |
31 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
35 |
35 |
35 |
|
10 |
С |
10 |
0 |
- |
- |
- |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
35 |
35 |
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
С |
1 |
9 |
2 |
26 |
35 |
35 |
З |
0 |
0 |
1 |
30 |
30 |
- |
|
2 |
С |
2 |
8 |
3 |
24 |
32 |
32 |
З |
0 |
0 |
1 |
30 |
30 |
- |
|
3 |
С |
3 |
7 |
4 |
24 |
31 |
31 |
З |
0 |
0 |
1 |
30 |
30 |
- |
|
4 |
С |
4 |
6 |
5 |
24 |
30 |
30 |
З |
0 |
0 |
1 |
30 |
30 |
- |
|
5 |
С |
5 |
5 |
6 |
24 |
29 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
30 |
30 |
30 |
|
6 |
С |
6 |
4 |
7 |
24 |
28 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
30 |
30 |
30 |
|
7 |
С |
7 |
3 |
8 |
24 |
27 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
30 |
30 |
30 |
|
8 |
С |
8 |
2 |
9 |
24 |
26 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
30 |
30 |
30 |
|
9 |
С |
9 |
1 |
10 |
24 |
25 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
30 |
30 |
30 |
|
10 |
С |
10 |
0 |
- |
- |
- |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
30 |
30 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
С |
1 |
9 |
2 |
45 |
54 |
54 |
З |
0 |
0 |
1 |
48 |
48 |
- |
|
2 |
С |
2 |
8 |
3 |
43 |
51 |
51 |
З |
0 |
0 |
1 |
48 |
48 |
- |
|
3 |
С |
3 |
7 |
4 |
41 |
48 |
48 |
З |
0 |
0 |
1 |
48 |
48 |
- |
|
4 |
С |
4 |
6 |
5 |
41 |
47 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
48 |
48 |
48 |
|
5 |
С |
5 |
5 |
6 |
41 |
46 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
48 |
48 |
48 |
|
6 |
С |
6 |
4 |
7 |
41 |
45 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
48 |
48 |
48 |
|
7 |
С |
7 |
3 |
8 |
41 |
44 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
48 |
48 |
48 |
|
8 |
С |
8 |
2 |
9 |
41 |
43 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
48 |
48 |
48 |
|
9 |
С |
9 |
1 |
10 |
41 |
42 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
48 |
48 |
48 |
|
10 |
С |
10 |
0 |
- |
- |
- |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
48 |
48 |
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
С |
1 |
9 |
2 |
39 |
48 |
48 |
З |
0 |
0 |
1 |
41 |
41 |
- |
|
2 |
С |
2 |
8 |
3 |
37 |
45 |
45 |
З |
0 |
0 |
1 |
41 |
41 |
- |
|
3 |
С |
3 |
7 |
4 |
36 |
43 |
43 |
З |
0 |
0 |
1 |
41 |
41 |
- |
|
4 |
С |
4 |
6 |
5 |
35 |
41 |
41 |
З |
0 |
0 |
1 |
41 |
41 |
- |
|
5 |
С |
5 |
5 |
6 |
35 |
40 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
41 |
41 |
41 |
|
6 |
С |
6 |
4 |
7 |
35 |
39 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
41 |
41 |
41 |
|
7 |
С |
7 |
3 |
8 |
35 |
38 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
41 |
41 |
41 |
|
8 |
С |
8 |
2 |
9 |
35 |
37 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
41 |
41 |
41 |
|
9 |
С |
9 |
1 |
10 |
35 |
36 |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
41 |
41 |
41 |
|
10 |
С |
10 |
0 |
- |
- |
- |
- |
З |
0 |
0 |
1 |
41 |
41 |
41 |
Таблица 18 Таблица 19
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
C |
0 |
10 |
1 |
60 |
70 |
70 |
З |
0 |
1 |
1 |
60 |
60 |
- |
|
1 |
С |
1 |
9 |
2 |
56 |
65 |
65 |
З |
0 |
1 |
1 |
60 |
60 |
- |
|
2 |
С |
2 |
8 |
3 |
55 |
63 |
63 |
З |
0 |
1 |
1 |
60 |
60 |
- |
|
3 |
С |
3 |
7 |
4 |
54 |
61 |
61 |
З |
0 |
1 |
1 |
60 |
60 |
- |
|
4 |
С |
4 |
6 |
5 |
54 |
60 |
60 |
З |
0 |
1 |
1 |
60 |
60 |
- |
|
5 |
С |
5 |
5 |
6 |
54 |
59 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
60 |
60 |
60 |
|
6 |
С |
6 |
4 |
7 |
54 |
58 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
60 |
60 |
60 |
|
7 |
С |
7 |
3 |
8 |
54 |
57 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
60 |
60 |
60 |
|
8 |
С |
8 |
2 |
9 |
54 |
56 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
60 |
60 |
60 |
|
9 |
С |
9 |
1 |
10 |
54 |
55 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
60 |
60 |
60 |
|
10 |
С |
10 |
0 |
- |
- |
- |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
60 |
60 |
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
С |
1 |
9 |
2 |
51 |
60 |
60 |
З |
0 |
1 |
1 |
54 |
54 |
- |
|
2 |
С |
2 |
8 |
3 |
48 |
56 |
56 |
З |
0 |
1 |
1 |
54 |
54 |
- |
|
3 |
С |
3 |
7 |
4 |
48 |
55 |
55 |
З |
0 |
1 |
1 |
54 |
54 |
- |
|
4 |
С |
4 |
6 |
5 |
48 |
54 |
54 |
З |
0 |
1 |
1 |
54 |
54 |
- |
|
5 |
С |
5 |
5 |
6 |
48 |
53 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
54 |
54 |
54 |
|
6 |
С |
6 |
4 |
7 |
48 |
52 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
54 |
54 |
54 |
|
7 |
С |
7 |
3 |
8 |
48 |
51 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
54 |
54 |
54 |
|
8 |
С |
8 |
2 |
9 |
48 |
50 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
54 |
54 |
54 |
|
9 |
С |
9 |
1 |
10 |
48 |
49 |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
54 |
54 |
54 |
|
10 |
С |
10 |
0 |
- |
- |
- |
- |
З |
0 |
1 |
1 |
54 |
54 |
54 |
Матрица максимальных прибылей (табл.20):
Таблица 20
Возраст |
Годы планового периода |
|||||||||
оборудования |
1-10 |
2-10 |
3-10 |
4-10 |
5-10 |
6-10 |
7-10 |
8-10 |
9-10 |
10 |
t, лет |
Максимальная прибыль |
|||||||||
0 |
70 |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
- |
1 |
65 |
60 |
54 |
48 |
41 |
35 |
30 |
24 |
17 |
9 |
2 |
63 |
56 |
51 |
45 |
39 |
32 |
26 |
21 |
15 |
8 |
3 |
61 |
55 |
48 |
43 |
37 |
31 |
24 |
18 |
13 |
7 |
4 |
60 |
54 |
48 |
41 |
36 |
30 |
24 |
17 |
11 |
6 |
5 |
60 |
54 |
48 |
41 |
35 |
30 |
24 |
17 |
9 |
5 |
6 |
60 |
54 |
48 |
41 |
35 |
30 |
24 |
17 |
9 |
4 |
7 |
60 |
54 |
48 |
41 |
35 |
30 |
24 |
17 |
9 |
3 |
8 |
60 |
54 |
48 |
41 |
35 |
30 |
24 |
17 |
9 |
2 |
9 |
60 |
54 |
48 |
41 |
35 |
30 |
24 |
17 |
9 |
1 |
10 |
60 |
54 |
48 |
41 |
35 |
30 |
24 |
17 |
9 |
0 |
Стратегия оптимальной замены оборудования возраста t = 7 в плановом периоде продолжительностью N = 10 имеет вид:
Оптимальная политика предприятия по замене оборудования при t1 = 1 и N1 = 8:
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1 Деменкова Е.А., Деменков М.Е, Басовская А.А. Методы математического программирования: методические указания по выполнению расчётно-графической работы. - Архангельск: Изд-во АГТУ, 2009. - 36с.