Методичка по электронике

Моделирование транзисторов

Эквивалентные схемы и параметры транзисторов

Электрические и другие свойства транзисторов зависят от его геометрических размеров, электрофизических параметров полупроводников, конструктивных и технологических особенностей.

Моделирование транзисторов состоит в отыскании уравнений, связывающих процессы в транзисторе с его геометрическими и электрофизическими характеристиками. На основе этих уравнений определяют электрические параметры и составляют эквивалентные схемы.

Создание единой универсальной модели транзистора, которая отражала бы все процессы в транзисторе и была пригодна для описания свойств различных конструктивных типов транзисторов, изготовленных разными технологическими способами, является сложной задачей:

• каждая конструктивная и технологическая разновидность транзисторов характеризуется своими, присущими только ей уравнениями, описывающими физические процессы;

• при учете всех явлений в транзисторах исходные уравнения получаются очень сложными, что иногда приводит к непреодолимым математическим трудностям.

Поэтому при моделировании процессов в транзисторах обычно поступают так:

Для упрощения исходных соотношений пренебрегают рядом процессов, играющих второстепенную роль, и затем в окончательные результаты вводят (при необходимости) уточнения для учета этих допущений.

При моделировании процессов в транзисторе стремятся выделить только основные, наиболее важные явления для получения результатов, пригодных для возможно большего числа конструктивных и технологических разновидностей приборов.

Транзисторы представляют в виде моделей, разновидностью которых являются эквивалентные схемы, состоящие из более простых элементов (диодов, источников тока и напряжения, резисторов, конденсаторов и др.).

Модели используют для расчета характеристик и параметров электронных схем.

Модель Эберса-Молла

Простейший вариант этой модели для p-n-p транзистора показан на рис. 1.

Схема состоит из двух идеальных диодов, включенных встречно, и двух источников тока, наличие которых обусловлено переносом неосновных носителей через нейтральную область базы. Модель основывается на уравнении диода.

_I₂ I₁

Э VD1 VD2 К

I_э I₁ I₂ I_к

Б

Рис. 1. Эквивалентная схема p-n-p транзистора, соответствующая модели Эберса-Молла

Диоды VD1 и VD2 отображают инжекцию (экстракцию) носителей через эмиттерный и коллекторный переходы. Диод VD1 моделирует свойства эмиттерного перехода, а диод VD2 – коллекторного.

I₁ и I₂ – внутренние токи модели. Положительными считаются токи I₁ и I₂ и напряжения U_эб и U_кб , соответствующие прямым включениям переходов.

Вольт-амперные характеристики диодов представлены формулами:

I₁=I_э0[exp(U_эб/_т) - 1],

I₂=I_к0[exp(U_кб/_т) - 1],

где I_э0 , I_к0 – тепловые обратные токи эмиттерного и коллекторного переходов (параметры модели), _т=kT/e – тепловой потенциал.

Они могут быть определены измерением:

|I_к0|=|I_к| при обратносмещенном коллекторном переходе (U_кп<0) и I_э=0 (разорвана цепь эмиттера);

|I_э0|=|I_э| при обратносмещенном эмиттерном переходе (U_эп<0) и I_к=0 (разорвана цепь коллектора);

или по обратным ветвям вольт-амперных характеристик переходов.

Тепловые токи переходов не всегда можно измерить по обратной ветви ВАХ переходов, т.к. тепловой ток кремниевых p-n переходов на несколько порядков меньше тока термогенерации. Поэтому, например, для определения параметра I_э0 снимают зависимость I_к=f(U_эб) при U_кб=const в активном режиме и |U_кб|>>_т, строят ее в полулогарифмическом масщтабе, как показано на рис. 2.

ln I_к, А

U_кб=const

10^-5

10^-10

10^-15

0 0,2 0,4 0,6 U_эб, В

Рис. 2. Определение теплового тока I_к0 по передаточной характеристике I_к=f(U_эб) | U_кб=const, построенной в полулогарифмическом масштабе

Так как эта зависимость экспоненциальна I_к*I_к0*exp(U_эб/_т), то в указанном масштабе она изображается прямой линией. Продолжая эту линию с осью пересечения токов (U_эб=0), получаем I_к *I_к0 I_к0.

Зная I_к0, можно определить I_э0, т.к. в транзисторе выполняется соотношение взаимности I_э0=₁I_к0, т.е. три из четырех параметров являются независимыми.

Источники токов отображают взаимодействие переходов. Если токи I₁ и I₂ положительны, они имеют смысл токов инжекции через переходы. Источник _I₁, шунтирующий диод VD2, учитывает передачу тока из эмиттера в коллектор. Параметр  и источник тока  I₁ отражают инжекцию дырок из эмиттера в базу, их перенос через базу в коллектор, а также нежелательную инжекцию электронов из базы в эмиттер.

Рассматривая принцип работы биполярного транзистора, вывели формулу, устанавливающую связь между током коллектора I_к и током эмиттера I_э в активном режиме:

I_к=I_э+I_к0,

где  – статический коэффициент передачи тока эмиттера.

Из этой формулы

=(I_к - I_к0)/ I_э.

Обычно рабочие токи коллектора значительно превышают величину I_к0, тогда можно записать

=I_к/ I_э.

Источник тока _I₂, шунтирующий VD1учитывает передачу тока из коллектора в эмиттер. Параметр _ (инверсный коэффициент передачи тока коллектора) и источник тока _I₂отражают инжекцию дырок из коллектора в базу, их перенос через базу в эмиттер и инжекцию электронов из базы в коллектор. В инверсном режиме коллекторный переход включен в обратном направлении, поэтому в базу из коллектора инжектируются дырки. Подходя к эмиттерному переходу, включенному в обратном направлении, дырки под действием его электрического поля в переходе экстрагируются в эмиттер.

Поэтому I_э=_I_к+I_э0,

отсюда следует

_=(I_э – I_э0)/ I_к.

Большинство транзисторов несимметричны, концентрация примеси в коллекторе обычно мала (N_к<<N_б<<N_э), поэтому коллекторный переход, в отличие от эмиттерного, не обладает свойством односторонней инжекции.

Кроме того, значительная часть дырок инжектируется из коллектора в пассивную базу (рис. 7). Эти дырки не попадают в эмиттер, т.к. рекомбинируют в пассивной базе, на базовом контакте или окисленной поверхности полупроводника, поэтому _<.

Параметры _ и  тоже являются параметрами модели.

Положительные направления токов во внешних выводах эмиттера (I_э), базы (I_б) и коллектора (I_к) совпадают с направлениями токов в активном режиме.

Согласно теории цепей, токи эмиттера, коллектора, базы (рис. 1) связаны с внутренними токами модели соотношениями

I_э=I₁ - _I₂, I_к=I₁-I₂.

Выражая токи I₁ и I₂ через напряжения U_эб и U_кб (приведены выше), получаем систему уравнений, определяющих токи транзистора:

I_э=I_э0[exp(U_эб/_т)-1]- _I_к0[exp(U_кб/_т)-1]; (1)

I_к=I_э0[exp(U_эб/_т)-1]- I_к0[exp(U_кб/_т)-1]; (2)

I_б=I_э-I_к=(1-)I_э0[exp(U_эб/_т)-1]- (1-_)I_к0[exp(U_кб/_т)-1]. (3)

Из этих выражений можно получить аналитически любое семейство статических характеристик по любой схеме включения. Например, семейство статических входных характеристик по схеме с общей базой (ОБ) непосредственно определяет уравнение (1). Чтобы получить семейство статических выходных характеристик в схеме ОБ в уравнении (2) с помощью (1) нужно исключить переменную U_эб. Из (1)

I_э0[exp(U_эб/_т)-1]=I_э+_I_к0[exp(U_кб/_т)-1].

Подставив в (2), получаем

I_к=I_э-(1-_) I_к0 [exp(U_кб/_т)-1].

Соотношения для статических входных и выходных характеристик транзистора по схеме с общим эмиттером можно получить после замены U_кб=U_кэ-U_бэ и U_эб= -U_бэ .

В простейшей модели параметры , _, I_э0, I_к0 считаются постоянными, т.е. не зависящими от токов и напряжений.

Простешая модель Эберса-Молла не учитывает многих особенностей реального транзистора: объемные сопротивления полупроводниковых областей, эффект модуляции толщины базы (W_б), эффекты высокого уровня инжекции, токи термогенерации и утечки и др. Поэтому точность модели невелика.

Для повышения точности модели вводят дополнительные элементы, учитывающие те или иные эффекты и получают более сложные модификации исходной модели.

Но при усложнении модели возникают трудности эспериментального определения все большего числа параметров, некоторые из которых не могут быть имерены непосредственно (например узловые точки Э, К, Б модели на рис.3 недоступны для непосредственного присоединения измерительных приборов).

Поэтому применяемые для расчета электронных схем модифицированные модели Эберса-Молла представляют компромисс межу точностью и сложностью. Одна из таких моделей показана на рис. 3.

_I₂ I₁

Э r_э Э VD1 VD2 К r_к К

0

I_э I₁ I₂ I_к

C_эб C_кб

Б

C_эд C_кд

I_б r_б

Б

Рис. 3. Модифицированная модель Эберса-Молла.

Эта модель содержит три резистора r_э, r_к, r_б, учитывающих влияние полупроводниковых областей эмиттера, коллектора и базы, и четыре конденсатора C_эб, C_эд, C_кб, C_кд, отображающие инерционные свойства эмиттерного и коллекторного переходов при работе транзистора с изменяющимися во времени сигналами.

При наличии резисторов диоды VD1 и VD2 управляются внутренними напряжениями U_эб и U _кб, отличающимися от внешних U_эб и U_кб из-за падения напряжения на резисторах.

Барьерная и диффузионная емкости переходов зависят от напряжений на эмиттерном (U_эб) и коллекторном (U_кб) переходах, поэтому в модели используются либо усредненные значения емкостей, либо для повышения точности зависимости C_б=f(U), C_д=f(U).

Рассмотренные модели справедливы для большого сигнала и используются для расчета импульсных и цифровых схем, т.е. при анализе логических устройств.

Малосигнальные модели транзистора

Малосигнальная модель транзистора представлена на рис. 4. Это так называемая Т-образная схема, за основу которой обычно принимают схему с общей базой. Для малого низкочастотного сигнала p-n переход можно представить линейным резистором, сопротивление которого зависит от режима работы p-n перехода, т.е. от положения рабочей точки на ВАХ.

C_эд I₁

Э r_э _осU_к Б r_к r_к К

I₁ I_к

C_эб I_б r_б C_кб

Б

Рис. 4. Малосигнальная модель транзистора в активном режиме

Она получена из модели, показанной на рис. 1 путем замены диодов VD1 и VD2 резисторами r_э и r_к, сопротивления которых равны дифференциальным сопротивлениям эмиттерного и коллекторного переходов. Кроме того, исключены резистор r_э (область эмиттера сильно легируется примесями, поэтому имеет малое сопротивление), источник тока _I₂ и конденсатор C_кд, т.к. при обратном смещении коллекторного перехода ток I₂ практически отсутствует. Генератор напряжения _осU_к отражает влияние внутренней обратной связи (эффект Эрли – эффект модуляции толщины базы W_б коллекторным напряжением).

При заданных постоянных составляющих тока эмиттера I_э и коллекторного напряжения U_к параметры модели постоянны, они изменяются при изменении постоянных составляющих.

Элементы эквивалентных схем (моделей), которые характеризуют основные физические процессы в транзисторе можно назвать физическими (внутренними, первичными) параметрами транзистора. К ним можно отнести дифференциальные сопротивления переходов (r_э,r_к), коэффициенты передачи тока эмиттера и базы (, ), объемные сопротивления областей (r_к, r_б), коэффициент обратной связи по напряжению (_ос или _эк), емкости переходов (C_э, C_к) и др.

Нарисуем низкочастотный вариант Т-образной эквивалентной схемы (рис. 5). Влияние емкостей исключено. Исключен также резистор r_к, т.к. сопротивление r_к (сопротивление полупроводниковой области, расположенной между коллекторным переходом и контактом) мало по сравнению с сопротивлением внешних резисторов, включаемых в цепь коллектора. Рассмотрим более подробно элементы этой эквивалентной схемы (r_э, r_к, , _ос, r_б).

I₁

Э r_э _осU_к Б r_к К

I_э

r_б

Б

Рис. 5. Низкочастотная Т-образная схема транзистора

r_э

В активном режиме ВАХ эмиттерного перехода описывается формулой

I_э=I_э0[exp(U_эп/_т)-1], где I_э0 – тепловой ток эмиттерного перехода.

Дифференциальное сопротивлене эмиттерного перехода

r_э=dU_эп/dI_э | U_кб=const.

Поскольку ток эмиттера I_э>>I_э0, дифференциальное сопротивление эмиттерного перехода r_э=_т/ I_э. Оно имеет малое значение (единицы – десятки Ом), уменьшается с ростом тока I_э и линейно возрастает с повышением температуры T.

Для комнатной температуры (T=300 K) e/kT39 1/В, поэтому r_э=1/39*I_э0,026/ I_э.

r_к

Дифференциальное сопротивление коллекторного перехода

r_к=dU_кб/dI_к | I_э=const.

В активном режиме коллекторный переход включен в обратном направлении, поэтому r_к велико (сотни кОм и более), это подтверждает и наклон выходных характеристик транзистора в схеме с общей базой в активном режиме – они идут почти параллельно оси коллекторных напряжений U_кб при I_э=const, т.е. большим приращениям коллекторного напряжения U_кб соответствует I_к0, r_к.

Однако при более внимательном рассмотрении этих характеристик в активном режиме видим, что наклон их зависит от режима работы по постоянному току. При малых напряжениях на коллекторе, когда ударная ионизация в коллекторном переходе не наблюдается, сопротивление r_к определяется эффектом модуляции толщины базы (эффект Эрли больше проявляется в области меньших напряжений, т.к. между толщиной коллекторного перехода _кп и подводимым коллекторным напряжением U_кб существует параболическая зависимость: кп~U_кб, поэтому dкп~1/U_кб).С ростом U_кб сопротивление r_к увеличивается (dкп/dU_кб и связанное с ним изменение толщины базы dW_б/dU_кб уменьшаются). При больших напряжениях U_кб начинается ударная ионизация в коллекторном переходе или происходит смыкание переходов (в высокочастотных транзисторах), поэтому сопротивление r_к снижается с ростом U_кб и становится очень малым при пробое коллекторного перехода. Значение r_к практически не изменяется при изменении температуры.

_диф

Дифференциальный коэффициент передачи тока эмиттера

_диф= dI_к/dI_э | U_кб=const.

Для активного режима справедливо уравнение

I_к=I_э+I_к0, отсюда

_диф= dI_к/dI_э | _Uкб=const =+I_э*d/dI_э,

где  – статический коэффициент передачи тока эмиттера.

I_к

U_кб=const

A

I_к

I_э 0

I_э

I_э''''' I_э'''' I_э''' I_э'' I_э'

Рис. 6. Определение  по передаточной характеристике

На передаточной характеристике I_к=f(I_э)| U_кб=const в схеме с общей базой (рис. 6) хорошо видно, что до точки A (I_э<I_э) одинаковым приращениям тока эмиттера I_э соответствуют одинаковые же приращения тока коллектора I_к (почти равные I_э), т.е. до точки A передаточная характеристика линейна, поэтому d/dI_э=0 и _диф=.

Если же I_э>I_э (выше точки A), одинаковым приращениям I_э уже не соответствуют одинаковые приращения тока коллектора I_к (с ростом I_э I_к уменьшаются, т.к. передаточная характеристика уплощается ), поэтому d/dI_э0 и _диф.

Обычно стараются работать на линейных участках передаточных характеристик, чтобы обеспечить режим неискаженного усиления, поэтому не делают разницы между _диф и  статическим, и _диф можно определить как  статический, т.е. на основании формулы в активном режиме I_к=I_э+I_к0

= (I_к- I_к0)/ I_э .

Обычно рабочие токи коллектора I_к>> I_к0, поэтому = I_к/ I_э при U_кб=const.

Аналогичные рассуждения можно провести и для дифференциального коэффициента передачи тока базы _диф, который обычно принимают равным статическому коэффициенту передачи тока базы . Он связан с  следующей формулой: =/(1-).

В настоящее время основное применение находит схема включения с общим эмиттером, и в справочной литературе обычно приводят значения коэффициента . Кроме того, при изменении параметров структуры транзистора и режимов его работы  изменяется в абсолютном значении незначительно и остается близким к единице (обычно =0,950,99), в то время как диапазон изменений  будет большим. Поскольку коэффициент передачи тока эмиттера  близок к единице, то значения  обычно лежат в пределах от 10 до 300 и более.

r_б

Через область базы транзистора течет базовый ток в поперечном направлении и создает в этом направлении падение напряжения I_бr_б, определяемое эквивалентным поперечным сопротивлением базовой области r_б (иногда его называют сопротивлением внутренней обратной связи). База транзистора выполняется обычно из относительно высокоомного материала, поэтому ее объемное сопротивление заметно влияет на работу транзистора.

Сопротивление базы r_б является важным физическим параметром транзистора. Его значение определяется размерами структуры и распределением концентрации примеси в активной и пассивной областях базы. Поясним это на структуре эпитаксиально-планарного транзистора (рис. 7).

Часть базы, находящуюся непосредственно между эмиттерным и коллекторным переходами, через которую проходят носители заряда в активном режиме работы транзистора, называют активной частью, а ту часть, которая расположена между эмиттером и выводом базы – пассивной.

Э Б

SiO₂

n⁺

p (б) 10 мкм

n (к)

активная база

пассивная база

n⁺

Si

К

Рис. 7. Структура эпитаксиально-планарного транзистора

В структуре, показанной на рис. 7, сопротивление активной базы r_ба – это сопротивление в горизонтальном направлении части базового слоя между центром и краем эмиттерного перехода, а сопротивление пассивной базы r_бп – это сопротивление между краем эмиттерного перехода и базовым контактом (SiO₂). Для транзисторов с тонкой активной базой обычно r_ба>r_бп. Например, r_ба=400 Ом, r_бп=100 Ом.

При достаточно большом токе базы падение напряжения на сопротивлении базы снижает напряжение на эмиттерном переходе по сравнению с внешним напряжением U_эб между выводами эмиттера и базы на величину U_эб. Основная часть эмиттерного тока протекает через краевые области эмиттерного перехода, и падение напряжения происходит на сопротивлении пассивной базы r_бп. Тогда U_эб=I_бr_б, где r_б – эквивалентное эффективное сопротивление базы, зависящее от r_бп и геометрии транзисторной структуры. Например, для структуры, представленной на рис. 6, r_б= r_бп/2, т.к. через каждый из двух базовых контактов течет ток I_б/2.

При уменьшении толщины базы ( в высокочастотных транзисторах это необходимо для уменьшения времени пролета носителей через базу) сопротивление базы возрастает и в некоторых транзисторах доходит до 150200 Ом.

Проходящие через базу токи могут создавать на этом сопротивлении падения напряжения, которые прикладываются к переходам транзистора, изменяя высоту потенциального барьера в переходе, тем самым создавая обратные связи. Сопротивление базы также определяет значение постоянных времени заряда барьерных емкостей переходов.

I_э

Б C_кб

r_б R_н

Б

Рис. 8. Включение нагрузки в цепь коллектора

С ростом частоты сигнала коэффициент усиления транзистора по мощности падает. Это связано не только с уменьшением коэффициента усиления по току вследствие конечного времени пролета носителей (их инерционности), но также и с влиянием цепи r_бC_кб (рис. 8). С ростом частоты шунтирующее действие этой цепи на нагрузку усиливается, поэтому в нагрузку ответвляется меньший ток, что и приводит к снижению коэффициента усиления по мощности.

_ос (_кэ)

Этот коэффициент обратной связи по напряжению учитывает обратную связь между коллекторным переходом и эмиттерным (между выходом и входом в схеме с общей базой) в соответствии с эффектом Эрли – эффектом модуляции толщины базы коллекторным напряжением.

Определим коэффициент обратной связи в схеме с общей базой в активном режиме.