6.3. Составление интегродифференциальных уравнений

Задача расчета переходных процессов заключается в определении мгновенных значений токов в ветвях и напряжений на элементах электрической цепи после коммутации при . При составлении уравнений по законам Ома и Кирхгофа используются соотношения, связывающие мгновенные значения напряжений на пассивных элементах R, L, C электрических цепей с мгновенными значениями токов, протекающих через них (описывающих вольт-амперные характеристики элементов)

a) сопротивление

– закон Ома (6.3)

б) индуктивность

– закон Фарадея (6.4)

в) емкость

(6.5)

С учетом этих соотношений уравнения, составленные по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений, приобретают вид интегродифференциальных уравнений, которые могут быть преобразованы в дифференциальные уравнения. Порядок дифференциального уравнения n определяется количеством независимых реактивных элементов. Дифференциальные уравнения I порядка (n=1) описывают переходные процессы в электрических цепях с одним реактивным элементом (RL и RC – цепи). При n=2 электрическая цепь содержит L и C элементы и переходные процессы описываются дифференциальными уравнениями II порядка.

Примеры составления дифференциальных уравнений:

1

Рис. 6.2. Схема подключения источника ЭДС к RL цепи

. RL – цепь (рис. 6.2).

По 2-му закону Кирхгофа

.

Учитывая (6.3) и (6.4), запишем

.

Полученное соотношение является неоднородным дифференциальным уравнением I-го порядка, где независимой переменной является ток .

2

Рис. 6.3. Схема подключения источника ЭДС к RС цепи

. RC – цепь (рис. 6.3).

По второму закону Кирхгофа

.

Дифференцируя (1.5) записываем

Рис. 6.4. Схема подключения источника ЭДС к последовательному колебательному контуру

.

Далее получаем дифференциальное уравнение

.

3. RLC – последовательный колебательный контур (рис. 6.4).

По 1-му и 2-му законам Кирхгофа

.

C учетом (6.3), (6.4), (6.5) имеем

Рис. 6.5. Схема подключения источника ЭДС к параллельному колебательному контуру

.

Учитывая, что ток в цепи получаем

.

4. RLC – параллельный колебательный контур

По 1-му и 2-му законам Кирхгофа

, .

Учитывая, что

и ,

записываем

.

После преобразования имеем неоднородное дифференциальное уравнение II порядка

.

6.4. Решение дифференциальных уравнений

В общем случае для переходных процессов в линейной электрической цепи с n независимыми реактивными элементами составляется неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка

, (6.6)

где – независимая переменная (ток или напряжение), – внешнее воздействие, коэффициенты определяются параметрами цепи. Решение уравнения (6.6) находится как сумма двух независимых решений

, (6.7)

где – свободная составляющая, являющаяся общим решением однородного дифференциального уравнения [уравнения (6.6) с нулевой правой частью], – принужденная составляющая, частное решение неоднородного уравнения.

Принужденная составляющая находится в установившемся режиме при (после завершения переходных процессов) с учетом внешнего источника . Для расчета применяются такие же методы, что и при определении начальных условий, с учетом нового состояния электрической цепи. Для решения однородного дифференциального уравнения на основе (6.6) составляют характеристическое уравнение

, (6.8)

где оператор . Решением алгебраического уравнения (6.8) являются корни , вид которых определяет характер свободной составляющей .

Если корни вещественные и различные, свободная составляющая представляет собой сумму экспонент

, (6.9)

где постоянные интегрирования находятся из начальных условий.

Для случая вещественных и равных корней решение однородного дифференциального уравнения записывается в виде

. (6.10)

Наиболее интересным является случай комплексно-сопряженных корней . В этом случае каждой паре корней характеристического уравнения в выражении для соответствует слагаемое

,

где A и  - постоянные интегрирования, находятся из начальных условий.

Для упрощения решения задач расчета переходных процессов характеристическое уравнение составляется с использованием понятия обобщенного сопротивления цепи , которое получается из комплексного сопротивления заменой j на оператор p. Комплексное сопротивление определяется для электрической цепи после коммутации при короткозамкнутых источниках ЭДС. Далее одна из ветвей размыкается и относительно места размыкания находится входное сопротивление. Например, для электрической цепи на рис. 6. 5 входное сопротивление

.

Далее после преобразований и замены j на p получим характеристическое уравнение

.