Практична № 5

Управління чергами

Якщо заявки на обслуговування поступають в сервісну систему абсолютно довільно, то часові інтервали між сусідніми заявками розміщуються за експоненціальним законом (ф-ла 1).

(1)

де - середня кількість заявок, які поступають за визначений період часу.

Щоб знайти число заявок, що поступають на протязі визначеного періоду Т, необхідно скористатись законом розподілу ймовірностей Пуассона, що описується формулою:

(2)

Розрізняють чотири основні типи задач аналізу черг. При цьому слід пам’ятати, що процес, який аналізується в даний момент є стійким і незмінним.

Модель 1 – міст з однією смугою і платним проїздом; банківський касир, що обслуговує водіїв;

Модель 2 – прогулянковий човен в парку відпочинку;

Модель 3 – стоянка в авторемонтній майстерні;

Модель 4 – поломка і ремонт станка на підприємстві.

Модель 1. (3)

Модель 2 (4)

Модель 3 (5)

Модель 4 (6)

Позначення для безкінечної черги (моделі 1 - 3)

- інтенсивність вхідного потоку;

- інтенсивність обслуговування;

- середній час обслуговування;

- середній час між вхідними заявками;

- співвідношення інтенсивності вхідного потоку до інтенсивності обслуговування (позначене через );

- середня кількість одиниць, що чекає в черзі;

- середня кількість одиниць в системі;

- середній час очікування в черзі;

- середній сумарний час перебування в системі (включаючи час обслуговування);

n – кількість одиниць в системі;

М – кількість ідентичних каналів обслуговування;

P_n – ймовірність знаходження n одиниць в системі;

P_W – ймовірність очікування в черзі.

Позначення для кінцевої черги (модель 4)

F – коефіцієнт ефективності очікування в черзі;

Н – середня кількість одиниць, що знаходяться в процесі обслуговування;

(N-n), - J – вихідна генеральна сукупність без числа одиниць, що ввійшли в систему масового обслуговування;

L – середнє число одиниць в черзі;

n – середня кількість одиниць в системі масового обслуговування (включаючи тих, що обслуговуються);

N – кількість одиниць у вихідній генеральній сукупності;

P_n – ймовірність знаходження n одиниць в системі масового обслуговування;

Т – середній час обслуговування;

U – середній час між черговими заявками на обслуговування клієнтів;

W – середній час очікування в черзі;

Х – коефіцієнт обслуговування або доля необхідного часу обслуговування на протязі одного циклу перебування в системі масового обслуговування.

Задача 1.

Промінвестбанк розглядає можливість відкриття пункту обслуговування клієнтів в автомобілях. Управлінський персонал оцінив, що клієнти будуть прибувати з інтенсивністю 15 автомобілів у годину. Черговий, призначений на цю роботу, може обслуговувати їх із швидкістю один автомобіль в кожні три хвилини.

Частина 1. Виходячи із розподілу Пуассона вхідних заявок і експоненціального розподілу часу обслуговування, визначте наступні значення.

1. Завантаження чергового.

2. Середня кількість клієнтів в системі.

3. Середній час очікування в черзі.

4. Середній час очікування в системі, включаючи час обслуговування.

Розв’язок.

1. Середня завантаження чергового буде:

2. Середня кількість клієнтів, що очікують в черзі

(клієнтів).

3. Середня кількість клієнтів в системі:

(клієнти)

4. Середній час очікування в черзі:

години або 9 хвилин.

4. Середній час очікування в системі:

години або 12 хвилин.

Частина 2. Із-за обмеженості площі, стараючись забезпечити прийнятний рівень обслуговування, банківський менеджер хоче досягти 95% гарантії того, що черга в системі не буде перебільшувати 3-х автомобілів. Яка інтенсивність обслуговування відповідає даній межі? Який рівень завантаження черговому потрібно забезпечити і якою повинна бути інтенсивність обслуговування їм, щоб досягти 95% рівня обслуговування?

Розв’язок.

Текучий рівень обслуговування для трьох і менше автомобілів представляє собою ймовірність того, що в системі знаходиться 1,2 або 3 машини. Для моделі 1 вибираємо розрахункову формулу.

, за якою знаходимо:

при n = 0, Р₀ = (1-15/20)(15/20)⁰ = 0,250;

при n = 1, Р₁ = (1-15/20)(15/20)¹ = 0,188;

при n = 2, Р₂ = (1-15/20)(15/20)² = 0,141;

при n = 3, Р₃ = (1-15/20)(15/20)³ = 0,106.

Всього 0,685 або 68,5%.

Отже, ймовірність того, що в системі збереться більше 3-х автомобілів, буде рівна:

1,0 – 0,685 = 31,5 %.

Для 95%-вого рівня обслуговування трьох або менше автомобілів приймаємо, що

P₀ + P₁ + P₂ + P₃ = 95%:

0,95 = ;

0,95 = .

Це рівняння можна розв’язати методом підстановок різних значень для . Так, при отримуємо 0,5 (1+ 0,5 + 0,25 + 0,125) = 0,9375, тобто менше заданого значення 0,95.

При отримаємо (1 - 0,45)(1 + 0,45 + 0,203 + 0,091)= 0,96, тобто більше заданого значення 0,95.

При знаходимо (1-0,47)(1+0,47+0,221+0,104)=0,9512, що приблизно дорівнює 0,95.

Таким чином, при загрузці , тобто 47% ймовірність утворення в системі черги, яка буде із 3-х і менше машин, становитиме 95%.

Щоб взнати, яка інтенсивність обслуговування потрібна для досягнення цього 95% рівня обслуговування, потрібно розв’язати рівняння , де =15 – інтенсивність прибування на протязі часу клієнтів. Це дає значення = 32 в годину.

Таким чином, щоб мати 95% переконання в тому, що в системі не буде знаходитися більше 3-х автомобілів, банківський черговий повинен обслуговувати по 32 людини в годину (для цього потрібно 60% підвищення швидкості обслуговування в порівнянні з наявною, рівною всього 20 чоловік в годину).

Обслуговування можна прискорити, змінивши методи надання послуг, добавивши ще одного чергового, або зменшивши кількість банківських операцій, доступних в системі обслуговування водіїв в автомобілях. Необхідно звернути увагу також на те, що при умові 95% переконанні в тому, що в системі не буде збиратись більше 3-х автомобілів, черговий буде простоювати 53% часу.