- •Свойства пределов связанные, с арифметическими операциями над последовательностями.
- •Критерий сходимости в последовательностях в терминах частичных пределов.
- •Верхний и нижний предел последовательности. Существование верхнего предела у ограниченной последовательности.
- •Характеристика верхнего предела на языке n – ε
- •Понятие функции. Способы задания функции.
- •Предел функции. Эквивалентность определений пределов функции. Примеры.
- •Свойства пределов функций, связаные с арифметическими операциями и переходом в неавенства.
- •Локальная ограниченность. Критерий Коши о существовании предела.
- •Теорема о сохранении знака функции, имеющей предел.
Множества и операции над множествами.
Множество – совокупность объектов произвольной природы. Объекты, входящие в состав множества -элементы этого множества.
Подмножество -
Объединение или сумма -
Пересечение или произведение -
Разность -
Действительные числа. Числовые множества.
Что это такое
Операции
Интервалы\отрезки
Свойства действительных чисел. ∀ε > 0
+ (4)
* (4)
*+
Упорядоченность
Беспрерывность
Тривиальность
Ограниченные и неограниченные множества.
Множество Х – ограничено сверху ∃ М ϵ R ; ∀ хϵХ : х≤ М / снизу…
Множество Х наз ограниченным (2 варианта).
Лемма об эквивалентности определений.
Множество Х наз неограниченным –
Максимальное и минимальное число во множестве.
Т : если максимум существует, то он единственный и ограничивает сверху Х.
Точные верхние и нижние грани числовых множеств. Теорема о существовании точной грани.
Если мно-во ограничено сверху, то оно имеет бесконечное число верхних граней.
Sup(x) and inf (x)
Число М называют точной верхней гранью, если оно удовлетворяет:
∀ хϵХ : х≤М
∀ε > 0 ∃ хϵХ : x> M- ε
T: Всякое ограниченное сверху( не пустое) множество Х ϵ R имеет точную верхнюю грань.
Числовые последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности.
Пусть каждому натуральному числу по некоторому закону сопоставлено действительное число хn , тогда говорят, что задана числовая последовательность.
Числовые операции.
Определение ограниченности (2) ∃ M,m ; ∀ nϵN : m≤ хn≤M ∃ A ; ∀ nϵN : |хn| ≤A
Доказательство эквивалентности определений.
Неограниченные
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Отношения между бесконечно большими и неограниченными последовательностями.
{αn} – бмп, if ∀ε > 0 ∃ N=N(ε) ; ∀n > N(ε) : | αn| < ε
{βn} – ббп, if ∀A > 0 ∃ N=N(A) ; ∀n > N(A) : | βn| > A
Любая ббп является неограниченной (видно из определения) !Обратное утверждение неверно. {010203..}
Свойства бесконечно малых последовательностей. Связь бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.
Сумма/разность бмп = бмп. ( по определению бмп и ε=0.5) + (неравенство треугольника)
Если все элементы ббп отличны от 0, то 1/ббп = бмп
Если все элементы бмп отличны от 0, то 1/бмп = ббп
Л: Произведение бмп на ограниченную = бмп (ε/A по определению)
Следствие из Л: с*бмп = бмп, где с - константа
Теорема о промежуточной бесконечно малой последовательности.
Т: Пусть {αn} и {βn} – бмп и {γ} – промежуточная, тогда ∀nϵN : αn ≤ γn ≤ βn
Предел числовой последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности.
Число а называют пределом последовательности {хn}, если {хn - а} – бмп.
Число А называют пределом последовательности {хn}, если ∀ε > 0 ∃ N=N(ε) ; ∀n > N(ε) : | хn - А| < ε
Число А называют пределом последовательности {хn}, если в любой ε окрестности точки А находятся все элементы этой последовательности, начиная с какого-то номера.
Если числовая последовательность имеет предел, то она называется сходящейся.
Т: Сходящаяся посл. может иметь только один предел (от противного)
Т: Сходящаяся посл. ограничена (через определение и неравенство треуг) (обратное – неверно) {(-1)nn}
Свойства пределов связанные, с арифметическими операциями над последовательностями.
Т: Если {хn} и {yn} сходящиеся, то их +-/* тоже сходящиеся. (по определению предела и свойства бмп)
Л: Если , то { } – ограниченная.
Свойства пределов последовательностей, связанные с переходом к пределу в неравенствах.
Т: Пусть и ∀nϵN : xn ≤ yn Тогда а ≤ b. (от противного)
Т: Если все элементы сходящейся последовательности {хn} принадлежат отрезку [a,b], то и предел
будет также принадлежать этому отрезку.
Т: Пусть ∀nϵN хn ≤ уn ≤ zn и пусть ∃ = тогда .
Монотонные последовательности. Признак сходимости монотонной последовательности.
{хn} называется неубывающей, если ∀nϵN : хn+1 ≥ xn . Ограничена снизу своим первым элеметом.
Т: Если неубывающая последовательность ограничена сверху, то она сходящаяся.
Док-во: ( Через точную верхнюю грань и определение монотонности)
Число е.
(через Бином Ньютона доказываем, что возрастает, и что ограничена сверху)
Принцип вложенных отрезков.
Пусть дана бесконечная система отрезков δn=[an,bn] nϵN вложенных друг в друга, то есть δn+1 > δn
C ∀nϵN, с длинами стремящимися к нулю. . Тогда ∃ и при том единственная точка С, принадлежащая всем отрезкам. (по признаку сходимости монотонной последовательности, а потом единственность от противного)
Подпоследовательности. Частичные пределы. Теорема Больцана-Вейерштрасса.
Пусть последовательность, выведем из нее бесконечное число с номерами (1<2<3….). В результате получаем новую последовательность, которая называется подпоследовательностью.
Пределы подпоследовательностей – частичные пределы.
Л: Пусть {хn} сходится и имеет предел =а. Тогда любая ее подпоследовательность сходится также сходится и имеет предел = а. (Определение сходимости и опр. подпоследовательности)
Утв: Всякая сходящаяся последовательность ограничена, обратное утв неверно
Т Б-В: Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпос-сть
(Разбиваем на отрезки, тС – единственная, кот принадлежит всем, значит все сходится к ней)
Л: Для любой неограниченной последовательности можно выделить ббп (по опр ббп)
Критерий сходимости в последовательностях в терминах частичных пределов.
Т: Для того, чтобы ограниченная последовательность являлась сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она имела единственный частичный предел.
(необходимаость – если сходится, значит имеет частичный предел.)
(достаточность – от противного берем обратное определение предела)
Верхний и нижний предел последовательности. Существование верхнего предела у ограниченной последовательности.
Верхний предел огр сверху последовательности, называется наибольший из частичных пределов данной п-сти)
Т: M=sup L и m = inf L являются частичными пределами ограниченной посл-ти {хn}. (через жопу)
Л: Ограниченная посл-ть сходится титт, когда ее верхний и нижний предел совпадают.
Характеристика верхнего предела на языке n – ε
Для того, чтобы число М являлось верхним пределом ограниченной {хn} необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла следующим условиям:
∀ε > 0 ∃ N=N(ε) ; ∀n > N(ε) : хn < ε + М (Правее М находится конечное число элементов)
∀ε > 0 ∃ N; n0>N : M – ε < x0 (Сущ элементы с огромными номерами, лежащие близко к М)
Критерий Коши сходимости последовательностей.
{хn} называется фундаментальной, если ∀ε > 0 ∃ N=N(ε) ; ∀n,m > N(ε) : | xn-xm| < ε
{хn} называется фундаментальной, если ∀ε > 0 ∃ N=N(ε) ; ∀n > N(ε) и∀ Р≥0 : | xn+р-xn| < ε
Т: Для того, чтобы {хn} являлась сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была фунд-ной.
( сход -> фунд: опр предела + опр фунд и ε/2)
( фунд->сход: 1) раз ограничена, значит по Б-В из нее можно выделить сход п-псть част предел)
2)Что {хn} сходится к этому частичному пределу.