- •Алгебра и геометрия конспекты лекций векторная алгебра
- •1. Основные определения
- •2. Действия над векторами
- •2.1. Умножение вектора на число
- •2.2. Сумма векторов
- •2.3. Разность векторов
- •3. Числовая ось
- •4. Единичный вектор
- •5. Угол между векторами
- •6. Проекция вектора на ось
- •7. Системы координат
- •7.1. Декартова система координат на плоскости
- •7.2. Декартова система координат в пространстве
- •10. Скалярное произведение двух векторов
- •10.1. Определение скалярного произведения
- •10.2. Свойства скалярного произведения
- •11. Векторное произведение двух векторов
- •11.1. Определение векторного произведения
- •11.2. Свойства векторного произведения
- •12. Смешанное произведение трёх векторов
- •12.1. Определение смешанного произведения
- •12.2. Свойства смешанного произведения
Алгебра и геометрия конспекты лекций векторная алгебра
Содержание |
|||
1. Основные определения |
3 |
8.1. Длина вектора |
18 |
2. Действия над векторами |
5 |
8.2. Расстояние между двумя точками |
18 |
2.1. Умножение вектора на число |
5 |
9. Направляющие косинусы вектора |
18 |
2.2. Сумма векторов |
7 |
10. Скалярное произведение двух векторов |
20 |
2.3. Разность векторов |
8 |
10.1. Определение скалярного произведения |
20 |
3. Числовая ось |
8 |
10.2. Свойства скалярного произведения |
21 |
4. Единичный вектор |
9 |
11. Векторное произведение двух векторов |
21 |
5. Угол между векторами |
10 |
11.1. Определение векторного произведения |
21 |
6. Проекция вектора на ось |
10 |
11.2. Свойства векторного произведения |
22 |
7. Системы координат |
13 |
12. Смешанное произведение трёх векторов |
22 |
7.1. Декартова система координат на плоскости |
13 |
12.1. Определение смешанного произведения |
23 |
7.2. Декартова система координат в пространстве |
14 |
12.2. Свойства смешанного произведения |
23 |
8. Длина вектора. Расстояние между двумя точками |
19 |
|
|
Лекция
Основные определения. Действия над векторами: умножение вектора на число; сумма векторов; разность векторов. Числовая ось. Единичный вектор. Угол между векторами. Проекция вектора на ось. Системы координат: декартова система координат на плоскости; декартова система координат в пространстве. Длина вектора. Расстояние между двумя точками. Направляющие косинусы вектора. Скалярное произведение двух векторов: определение скалярного произведения; свойства скалярного произведения. Векторное произведение двух векторов: определение векторного произведения; свойства векторного произведения. Смешанное произведение трёх векторов: определение смешанного произведения; свойства смешанного произведения
1. Основные определения
В физике и технических науках встречаются величины, которые полностью определяются заданием их численных значений. Эти численные значения являются вещественными числами. Такие величины называются скалярными. Скалярными величинами являются длина, площадь, объём, масса, температура и др.
Наряду со скалярными, встречаются величины, для определения которых необходимо знать их направления в пространстве, например, сила, скорость, ускорение и т.д. Такие величины называются векторными. Они описываются с помощью векторов.
Определение 1. Вектором (свободным вектором) называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление.
О всяком отрезке из этого множества говорят, что он представляет вектор. Одна из ограничивающих его точек принимается за начало, другая – за конец, который на рисунке показывается стрелкой. Если началом вектора является точка , а конец точка , то используется обозначение (рис. 1, рис.2).
Рис. 1 Рис. 2
Определение 2. Модулем вектора называется его длина. Модуль вектора обозначается (аналогично, ).
Определение 3. Вектор, у которого конец совпадает с началом, называется нулевым. Нулевой вектор обозначается .
Очевидно, что длина нулевого вектора равна нулю: . У нулевого вектора направление не определено. В качестве направления нулевого вектора можно брать желаемое в данный момент направление.
Определение 4. Векторы и называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых. Коллинеарные векторы называются сонаправленными, если они направлены в одну сторону, и противонаправленными, если они направлены в разные стороны.
На рис. 3 приведены примеры сонаправленных векторов и , и противонаправленных векторов и .
Рис. 3
Определение 5. Векторы и называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Равенство векторов и обозначается .
Если векторы и равны, то при соединение начало вектора с началом вектора , а конец с концом получится параллелограмм (рис. 4). Верно и обратное правило: если при соединении начало вектора с началом вектора , а конца с концом получится параллелограмм, то векторы и равны.
Если векторы обозначены своими концами и , то равенство эквивалентно тому, что четырёхугольник является параллелограммом (рис. 5).
Рис. 4 Рис. 5
Определение 5. Вектор называется противоположным вектору , если они противонаправлены и имеют одинаковую длину. Если вектор противоположный вектору , то обозначается .
Если вектор обозначен с помощью его концов , то для обозначения противоположного вектора можно использовать любое из двух обозначений или .