МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра РТ и С
Расчётно-Графическая работа
по дисциплине ОТЦ на тему:
Методы формирования уравнений
электрического равновесия цепей
Вариант 5
Выполнил: ст. гр. РТ-21
Проверил: доцент, к.т.н.
Калачев Е. Н.
Йошкар-Ола
2007
ВВЕДЕНИЕ
В электрических цепях, содержащих активные элементы (электронные лампы, транзисторы, операционные усилители и другие зависимые источники) важным режимом работы является статический. В статическом режиме на электроды активного элемента подаются постоянные токи и напряжения, обеспечивающие заданные условия работы того или иного устройства. Статический режим характеризуется зависимостями между постоянными токами и напряжениями в отдельных частях электрической цепи и является одним из основных режимов работы любого электрического устройства. Поэтому анализ цепей в режиме постоянного тока играет важную роль в общей теории электрической связи.
При постоянном токе и напряжении индуктивность эквивалентна КЗ участку, а емкость – разрыву цепи. Таким образом, в режиме постоянного тока в модели цепи будут отсутствовать реактивные элементы, и она приобретет чисто резистивный характер. Линейные резистивные цепи полностью описываются системой линейных алгебраических уравнений, составляемых на основании закона Кирхгофа.
Метод расчета электрической цепи, основанный на законах Кирхгофа, в которых независимыми переменными являются токи в ветвях, называют методом токов ветвей. В соответствии с этим методом для нахождения токов или напряжений ветвей составляются (ny – 1) уравнений по ЗТК и (nB–ny+1) уравнений по ЗНК. В результате получаем систему из (ny – 1) + (nB–ny+1) = nB линейно-независимых уравнений, число которых равно числу токов ветвей. Совместное решение этой системы позволяет найти все токи.
Метод наложения. В основе метода лежит принцип суперпозиции (наложения), линейных электрических цепей. Этот метод применяется в случае, когда в цепи действует несколько источников напряжения или тока. При этом в соответствии с этим принципом находят частичные токи и напряжения, а результирующие реакции определяются путем алгебраического суммирования частичных токов и напряжений.
Метод контурных токов. Данный метод позволяет снизить число решаемых уравнений до числа независимых контуров. В его основе лежит введение в каждый контур условного контурного тока Ik,направление которого обычно выбирают совпадающим с направлением обхода контура. При этом для контурного тока будут справедливы ЗТК и ЗНК.
Метод узловых потенциалов является наиболее общим и широко применяется для расчета электрических цепей, в частности, в различных программах автоматизированного проектирования электронных схем.
Метод эквивалентного генератора базируется на теореме об активном двухполюснике и позволяет упростить решение многих задач, связанных с передачей сигналов и электрической энергии от источника к приемнику. При этом обычно источник рассматривается как активных двухполюсник с известными задающими напряжениями Uг или током Iг и внутренними сопротивлением Rг или проводимостью Gг, а приемник – как пассивный двухполюсник с внутренним сопротивлением нагрузки Rн или проводимостью Gн.
1. УравнениЯ электрического равновесия цепи
1.1. Составим основную систему уравнений электрического равновесия цепи для схемы, приведенной на рис.1.
(3)
Рис.1
Параметры элементов приведены в таблице 1.
Таблица 1
E1 |
E2 |
E3 |
E4 |
E5 |
E6 |
R1 |
R2 |
R3 |
R4 |
R5 |
R6 |
-10 |
0 |
-10 |
0 |
10 |
0 |
10 |
100 |
10 |
100 |
10 |
100 |
Количество уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа будет определяется по формуле m = q – 1, где q – количество узлов.
m = q – 1= 4-1=3;
Для первого узла -i1-i2+i3=0
для второго узла -i3+i5+i6=0
Для третьего узла i4-i5-i6=0
Количество уравнений по второму закону Кирхгофа определяется по формуле:
n = p – q + 1, где p – количество ветвей.
n = 5 – 3 + 1 = 3;
Для первого контура u1-u2=0
Для второго контура u2+u3+u4+u5=0
Для третьего контура -u5+u6=0
Количество компонентных уравнений равно числу ветвей, а для данной схемы их число равно 6.
Для первой ветви u1=i1R1-E1
Для второй ветви u2=i2R2-E2
Для третьей ветви u3=i3R3-E3
Для четвёртой ветви u4=i4R4+E4
Для пятой ветви u5=i5R5+E5
Для шестой ветви u6=i6R6+E6
Таким образом, система уравнений необходимая для расчета данной схемы состоит из 12 уравнений.
Решая совместно компонентные и топологические уравнения найдем неизвестные токи и напряжения ветвей, а зная последние, используя компонентные уравнения, определим токи и напряжения на элементах, которые равны:
i1 = -0,2908 А
i2 = 0,07092 А
i3 = -0,21988 А
i4 = -0,21988 А
i5 = -02908 А
i6 = 0,07092 А
u1 = 7,092 В
u2 = 7,092 В
u3 = 7,8012 В
u4 = -21,988 В
u5 = 7,092 В
u6 = 7,092 В
Вывод: Составили основную систему уравнений электрического равновесия цепи, схема которой изображена на рисунке 1. Определили величины токов и напряжений этой цепи.
2. Методы, основаные на непосредственном
применении законов Кирхгофа
2.1 Используя метод токов ветвей, найдем напряжение ветвей для электрической цепи приведенной на рис.1.
П одставляя компонентные уравнения в уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа, получаем в сочетании с уравнениями по первому закону Кирхгофа сокращенную систему уравнений электрического равновесия цепи:
i1R1-E1-i2R2+E2=0
i2R2-E2+i3R3-E3+i4R4+E4+i5R5+E5=0
-i5R5-E5+i6R6+E6=0
-i1-i2+i3=0
-i3+i5+i6=0
i4-i5-i6=0
Решив данную систему, получаем:
i1 = -0,2908 А
i2 = 0,07092 А
i3 = -0,21988 А
i4 = -0,21988 А
i5 = -02908 А
i6 = 0,07092 А
Подставляя данные значения токов в компонентные уравнения, находим напряжения ветвей:
u1 = 7,092 В
u2 = 7,092 В
u3 = 7,8012 В
u4 = -21,988 В
u5 = 7,092 В
u6 = 7,092 В
Используя метод напряжений ветвей, найдем токи ветвей электрической цепи.
Выразим из компонентных уравнений токи i1, i2, i3, i4, i5, i6 и подставим их в уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа. В сочетании с уравнениями по второму закону Кирхгофа получим сокращенную систему уравнений электрического равновесия цепи.
u1-u2=0
u2+u3+u4+u5=0
-u5+u6=0
Решив данную систему получаем:
u1 = 7,092 В
u2 = 7,092 В
u3 = 7,8012 В
u4 = -21,988 В
u5 = 7,092 В
u6 = 7,092 В
Подставляя данные значения напряжений в компонентные уравнения, получаем значения токов:
i1 = -0,2908 А
i2 = 0,07092 А
i3 = -0,21988 А
i4 = -0,21988 А
i5 = -0,2908 А
i6 = 0,07092 А
Вывод: в данной работе мы рассчитали токи и напряжения с помощью двух методов: метода токов ветвей и метода напряжений ветвей. В результате и в первом, и во втором случае мы пришли к одному и тому же ответу.