Раздел 1. Электрические цепи с линейными элементами

Тема 1.1. Электрические цепи постоянного тока

Элементы и методы расчета электрических цепей постоянного тока. Закон Ома. Правила преобразования сопротивлений. Законы Кирхгофа.

Комментарий: закон Ома, законы Кирхгофа и правила преобразования последовательных и параллельных соединений рассматриваются на лекционных и практических занятиях.

Преобразование «звезда–треугольник» и обратное

Часто при анализе электрических цепей встречаются более сложные, чем последовательно-параллельные, соединения. Примером такой конфигурации может служить, например, мостовая структура, схема которой имеет внутренние узлы, в каждом из которых сходятся по три ветви, направленные от трех различных узлов и образующие звезду ветвей, а также внутренние контуры, в которые входят по три ветви, образующие треугольники ветвей.

Рассмотрим преобразование участка цепи в виде трехлучевой звезды ветвей в эквивалентный треугольник ветвей, позволяющее устранить внутренний узел. На рисунке показаны три ветви с проводимостями G_i присоединенные к узлам 1, 2 и 3 и сходящиеся в узле 0. Поставим задачу определения проводимостей G_ik трех ветвей, образующих треугольник, из условия эквивалентности, т.е. одинаковых у обеих схем напряжений узлов и токов, идущих к узлам из внешних участков цепи. Будем рассматривать ток, идущий к одному из узлов, например к узлу 2. В схеме звезды этот ток равен току в ветви G₂, а в схеме треугольника – сумме токов ветвей G₁₂ и G₂₃.

Для упрощения выкладок воспользуемся тем положением, что условия эквивалентности должны выполняться при любых режимах, в частности при нулевом напряжении между узлами 2 и 3: u₂₃ = 0, равносильном короткому замыканию указанных узлов. При этом напряжение между узлами 1 и 3 u₁₃ = u₁₂; в схеме треугольника тока (в дальнейшем обозначено индексом ) в ветви G₂₃ не будет и ток, входящий в узел 2, будет равен току ветви G₁₂:

. (1)

Схема звезды превратилась в последовательно-параллельную структуру: к напряжению u₁₃=u₁₂ подключена схема из последовательной ветви G₁ и параллельных ветвей G₂ и G₃.

Ток в ветви G₂ можно записать через проводимость передачи, которую для данного случая можно записать как

.

Ток, приходящий к узлу 1, для схемы звезды (обозначено символом Y)

. (2)

Приравняв по условию эквивалентности (1) и (2), получим искомую проводимость G₁₂ и по аналогии проводимости остальных ветвей треугольника:

; ; . (3)

Проводимость ветви треугольника равна произведению проводимостей смежных лучей звезды, деленному на сумму проводимостей всех трех ее ветвей.

Рассмотрим обратное преобразование структуры в виде треугольника ветвей с сопротивлениями R_ik в эквивалентную структуру трехлучевой звезды ветвей с сопротивлениями R_i. Для определения искомых сопротивлений можно воспользоваться уравнениями (3). Решив эту систему уравнений, получим:

; ; . (4)

Сопротивление ветви трехлучевой звезды равно произведению сопротивлений смежных ветвей треугольника, деленному на сумму сопротивлений трех его ветвей. В справедливости выражений (4) можно убедиться, подставляя их в систему уравнений (3).