Три фундаментальные теоремы функционального анализа
ТЕОРЕМА
16 (Хана-Банаха).
Пусть Х –
линейное нормированное пространство,
L
– линейное
многообразие в Х,
f
– линейный непрерывный функционал на
L.
Тогда f
можно продолжить
до линейного непрерывного функционала
F
на Х
такого, что
||F||
= ||f
||.
Не
всякое непрерывное отображение можно
продолжить на более обширное множество.
Так, функцию sin(1/x),
непрерывную на множестве положительных
чисел, нельзя продолжить на множество
неотрицательных чисел. В то же время,
равномерно непрерывную функцию продолжить
можно. Линейный функционал является
равномерно непрерывным и в этой части
утверждение теоремы достаточно понятно.
Сильнейшим является утверждение о
возможности продолжения с сохранением
нормы.
ТЕОРЕМА
17. (Банаха об обратном операторе).
Если А
– линейный непрерывный оператор,
биективно отображающий банахово
пространство Х
на все банахово
пространство Y,
то оператор А
имеет непрерывный обратный.
Ранее
отмечалось, что отображение, обратное
к непрерывному и взаимно однозначному,
не обязано быть непрерывным. Утверждается,
что это так для отображений компактных
пространств. Теорема Банаха утверждает
справедливость этого для линейных
отображений банаховых пространств.
ТЕОРЕМА
18. (Банаха-Штейнхауза)
Если последовательность {An}
линейных операторов ограничена в каждой
точке банахова пространства Х,
т.е. ||Anх||
N(х),
то нормы операторов ограничены, т.е.
существует число M
такое, что
||An||
M.