Три фундаментальные теоремы функционального анализа

В этом пункте формулируются три очень важные теоремы, доказательства можно найти в любом учебнике функционального анализа.

ТЕОРЕМА 16 (Хана-Банаха). Пусть Х – линейное нормированное пространство, L – линейное многообразие в Х, f – линейный непрерывный функционал на L. Тогда f можно продолжить до линейного непрерывного функционала F на Х такого, что ||F|| = ||f ||.

Не всякое непрерывное отображение можно продолжить на более обширное множество. Так, функцию sin(1/x), непрерывную на множестве положительных чисел, нельзя продолжить на множество неотрицательных чисел. В то же время, равномерно непрерывную функцию продолжить можно (упражнение 5.1). Линейный функционал является равномерно непрерывным и в этой части утверждение теоремы достаточно понятно. Сильнейшим является утверждение о возможности продолжения с сохранением нормы.

ТЕОРЕМА 17. (Банаха об обратном операторе). Если А – линейный непрерывный оператор, биективно отображающий банахово пространство Х на все банахово пространство Y, то оператор А имеет непрерывный обратный.

Ранее (п.) отмечалось, что отображение, обратное к непрерывному и взаимно однозначному, не обязано быть непрерывным. В задаче 3.15 утверждается, что это так для отображений компактных пространств. Теорема Банаха утверждает справедливость этого для линейных отображений банаховых пространств.

ТЕОРЕМА 18. (Банаха-Штейнхауза) Если последовательность {A_n} линейных операторов ограничена в каждой точке банахова пространства Х, т.е. ||A_nх||  N(х), то нормы операторов ограничены, т.е. существует число M такое, что ||A_n||  M.

Упражнения

1. Докажите, что линейный функционал является равномерно непрерывным.

2. Операторы А,B:CC таковы: Ах = ,Bх = tx(t). Найдите нормы этих операторов и докажите, что АB  BА.

3. На множестве всех вещественных многочленов определены операторы Ар = р, Bр = xр. Найдите оператор АBBА.

4. Докажите линейность, ограниченность и найдите норму функционала F:L²R, где Fх =.

5. Ядром линейного оператора называется прообраз нулевого элемента. Найдите ядра и образы операторов, отображающих l²l², заданных формулами (х₁, х₂,…)(0,х₁, х₂,…); (х₁, х₂,…)(х₂, х₃,…); (х₁, х₂,…)(х₁, х₂/2, х₃/3,…).

6. Пусть линейный функционал удовлетворяет условию . Докажите, чтоF(x) = 0.

7. Докажите, что линейный функционал, неотрицательный на некотором шаре, ограниченный.

8. Если в гильбертовом пространстве последовательность {х_n} слабо сходится к х₀ и ||х_n||  ||х₀||, то х_n  х₀.

9. Если в гильбертовом пространстве последовательность {х_n} слабо сходится к х₀ и последовательность {y_n} сходится по норме к y₀, то (х_n,y_n)(х₀,y₀). Достаточно ли слабой сходимости последовательности {y_n}?

10. Докажите, что в конечномерном пространстве слабая сходимость совпадает с сильной.

6. Литература

1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Наука, 2002.

2. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. Высшая школа, 1982.

3. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. Наука, 1984.

4. Треногин В.А. Функциональный анализ. Высшая школа, 2002.