4.Основные статистики, спользуемые в экономических моделях. Средняя величина, дисперсия (вариация), ковариация.
Линейная модель парной регрессии может быть записана в виде:
где у – значения зависимой переменной;
х – значения независимой переменной;
– среднее
значение зависимой переменной, которое
определяется на основании выборочных
данных вычисленное по формуле средней
арифметической:
уi– значения зависимой переменной,
n – объём выборки;
– среднее
значение независимой переменной, которое
определяется на основании выборочных
данных вычисленное по формуле средней
арифметической:
Параметр βyx называется выборочным коэффициентом регрессии переменной у по переменной х. Данный параметр показывает, на сколько в среднем изменится зависимая переменная у при изменении независимой переменной х на единицу своего измерения.
Выборочный коэффициент регрессии переменной у по переменной х рассчитывается по формуле:
где ryx – это выборочный парный коэффициент корреляции между переменными у и х, который рассчитывается по формуле:
– среднее
арифметическое значение произведения
зависимой и независимой переменных:
Sy – показатель выборочного среднеквадратического отклонения зависимой переменной у. Этот показатель характеризует, на сколько единиц в среднем отклоняются значения зависимой переменной у от её среднего значения. Он рассчитывается по формуле:
– среднее
значение из квадратов значений зависимой
переменной у:
Sy=
– квадрат
средних значений зависимой переменной
у:
Sx – показатель выборочного среднеквадратического отклонения независимой переменной х. Этот показатель характеризует, на сколько единиц в среднем отклоняются значения независимой переменной х от её среднего значения. Они рассчитывается по формуле:
– среднее
значение из квадратов значений независимой
переменной х:
– квадрат
средних значений независимой переменной х:
При использовании рассмотренного подхода оценивания неизвестных параметров линейной модели парной регрессии, следует учитывать что ryx=rxy, однако βyx≠βxy.
Несмещённой оценкой дисперсии (или исправленной дисперсией) случайной ошибки линейной модели парной регрессии называется величина, рассчитываемая по формуле:
где n – это объём выборочной совокупности;
еi– остатки регрессионной модели:
Для линейной модели множественной регрессии несмещённая оценка дисперсии случайной ошибки рассчитывается по формуле:
где k – число оцениваемых параметров модели регрессии.
Оценка матрицы ковариаций случайных ошибок Cov(ε) будет являться оценочная матрица ковариаций:
где In – единичная матрица.
Ковариацией называется показатель тесноты связи между переменными х и у, который рассчитывается по формуле:
где
– среднее арифметическое значение произведения факторного и результативного признаков;
Основными свойствами показателя ковариации являются:
а) ковариация переменной и константы равна нулю, т. е. cov(x,C)=0 (C=const);
б) ковариация переменной с самой собой равна дисперсии переменной, т. е. Cov(ε,ε)=G2(ε). По этой причине на диагонали ковариационной матрицы случайных ошибок нормальной линейной модели парной регрессии располагается дисперсия случайных ошибок;
4) случайная ошибка модели регрессии подчиняется нормальному закону распределения: εi~N(0, G2).