- •Глава 1. Линейная и векторная алгебра
- •Глава 2. Системы координат
- •Глава 3. Прямая на плоскости
- •Глава 4. Плоскость в пространстве
- •Глава 5. Прямая в пространстве
- •Глава 6. Кривые второго порядка
- •Глава 7. Поверхности второго порядка
- •Глава 8. Дифференциальная геометрия
- •Глава 9. Предел функции в точке
- •Глава 10. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Глава 11. Функции нескольких переменных
- •Глава 12. Неопределенный интеграл
- •§1 Основные методы интегрирования
- •Глава 13. Определенный интеграл
Глава 10. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
|
|||||||
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ;
|
7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ;
|
13. 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. . |
|||||
|
|||||||
Пусть функции и дифференцируемы в точке . Тогда: 1. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: . 2. Производная произведения двух функций равна:
3. Производная частного двух функций равна: , если . |
Задача. Найти производные функций и . Решение. Воспользуемся формулой производной частного: , т.е. . Аналогичным образом получим формулу . |
||||||
|
|||||||
Пусть и , тогда является сложной функцией переменной , а переменную называют промежуточным аргументом. Теорема. Если функция имеет в некоторой точке производную , а функция имеет в соответствующей точке производную , то сложная функция в указанной точке также имеет производную, которая находится по формуле или, коротко,
|
Задача. Найти производную функции . Решение. Представим функцию как сложную, введя промежуточный аргумент : , где . Тогда и, следовательно, .
|
||||||
|
|||||||
Теорема. Если функция в некоторой точке имеет отличную от нуля производную , то обратная ей функция в соответствующей точке также имеет производную , равную
|
Задача. Найти производную обратных тригонометрических функций . Решение. Пусть . Обратная ей функция имеет вид , где . В интервале имеем . Тогда по правилу дифференцирования обратной функции , где перед корнем взят знак +, так как при . Итак, . |
||||||
|
|||||||
Если функция задана неявным уравнением , т.е. не разрешенным относительно , то для нахождения производной надо продифференцировать по обе части этого уравнения, учитывая, что есть функция от , и затем разрешить полученное уравнение относительно .
|
Задача. Найти производную функции , заданную уравнением . Решение. Функция задана неявно. Дифференцируя обе части этого тождества по , считая, что есть функция от и, пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, получим
|
||||||
|
|||||||
На практике встречаются функции, производные которых находят логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так называемая степенно-показательная функция . Найдем производную, предварительно логарифмируя:
или
|
Задача. . Решение. Найдем логарифм данной функции или . Дифференцируя обе части этого равенства, получим
Отсюда
Задача. . Решение. Прологарифмируем данное равенство
Дифференцируя обе части последнего равенства, получим
. |
||||||
|
|||||||
Если функция аргумента задана параметрическими уравнениями
то производная функции по переменной , т.е. вычисляется по формуле: . |
Задача.
Решение. Найдем и . Следовательно . |
||||||
|
|||||||
Уравнение прямой, касательной к графику в точке имеет вид . Уравнение нормали, т.е. прямой, проходящей через точку перпендикулярно к касательной, имеет вид . |
Задача. Составить уравнение касательной и нормали к параболе в точке . Решение. Найдем производную функции при . Имеем отсюда . В результате получим искомые уравнения касательной или и уравнение нормали или . |
||||||
|
|||||||
Дифференциал любой дифференцируемой функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной.
|
Задача. Найти дифференциал функции . Решение. . |
||||||
10 Приближенное вычисление с помощью дифференциала |
|||||||
Если достаточно мало по абсолютной величине, то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости, чем , имеет место приближенное равенство: или . |
Задача. Вычислить приближенное значение . Решение. Рассмотрим функцию , полагая и применяя формулу , получим
. Ответ. 0,513. |
||||||
11 Производные высших порядков |
|||||||
Производной го порядка называют производную от производной го порядка. Производную го порядка обозначают или . |
Задача. Найти , если . Решение. ; . Ответ. 60. |
||||||
12 Производные высших порядков, заданных параметрически |
|||||||
Если функция задана параметрически, то производные вычисляются по формулам
|
Задача. Найти , если . Решение.
. |
||||||
13 Дифференциалы высших порядков |
|||||||
Дифференциалом го порядка называется дифференциал от дифференциала го порядка:
или
|
Задача. Найти дифференциалы второго и третьего порядков функции . Решение.
. ; . |
||||||
|
|||||||
Пусть функции и дифференцируемы в окрестности точки и при всех из этой окрестности, тогда, если
или
т.е. частное имеет в точке неопределенность типа или , то
при условии, что существует предел отношения производных. Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида и . Но на практике встречаются неопределенности вида , . Эти неопределенности путем элементарных преобразований можно свести к неопределенностям вида или .
|
Задача. Найти . Решение. Здесь имеет место неопределенность . Применим правило Лопиталя, т.е. рассмотрим предел отношения производных заданных функций . Последний предел дает неопределенность . Снова применим правило Лопиталя и получим .
Задача.
Найти Решение.
. Задача. Найти Решение.
. |
15 Теорема Ролля |
||||||||||||||||||||||
Теорема (Ролля). Пусть функция удовлетворяет следующим условиям: 1. непрерывна на отрезке , 2. дифференцируема в интервале , 3. на концах отрезка принимает одинаковые значения: . Тогда внутри отрезка найдется хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль, т.е. .
Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику параллельна оси
|
Задача.
Выполняется ли теорема Ролля для функции , если , ? При каком значении ? Решение. Так как функция непрерывна и дифференцируема при всех значениях и ее значения на концах отрезка равны: . , то теорема Ролля на этом отрезке выполняется. Значит с определяется из уравнения ; ; . Следовательно, Ответ. выполняется, . |
|||||||||||||||||||||
16 Теорема Лагранжа |
||||||||||||||||||||||
Теорема (Лагранжа). Если функция 1. непрерывна на отрезке , 2. дифференцируема в интервале , то найдется хотя бы одна точка такая, что
.
Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Отношение есть угловой коэффициент секущей , а угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой . |
Задача. Проверить справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке . Решение. Функция определена при всех значениях , а следовательно и на отрезке . Функция дифференцируема на интервале . Найдем точку с, для которой выполняется равенство , где . , , . Откуда , причем . |
|||||||||||||||||||||
17 Теорема Коши |
||||||||||||||||||||||
Теорема (Коши). Если функции и 1. непрерывны на отрезке , 2. дифференцируемы в интервале , причем для всех , то найдется хотя бы одна точка такая, что
|
||||||||||||||||||||||
18 Теорема Ферма |
||||||||||||||||||||||
Теорема (Ферма). Пусть функция определена на интервале и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна 0, то есть . |
||||||||||||||||||||||
19 Интервалы монотонности |
||||||||||||||||||||||
Теорема (достаточные условия). Если функция дифференцируема в интервале и для , то эта функция возрастает (убывает) в интервале .
|
Задача. Определить интервалы монотонности функции . Решение. Найдем . Функция возрастает для всех значений , для которых . Решая неравенство , получим . Аналогично, решая неравенство , получим . Следовательно, функция возрастает в промежутках и и убывает в интервале . |
|||||||||||||||||||||
20 Экстремум функции |
||||||||||||||||||||||
Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками функции. Если дифференцируемая функция y=f(x) в точке имеет экстремум, то ее производная в этой точке равна нулю, то есть (необходимое условие экстремума функции) Т еорема (достаточное условие экстремума). непрерывна в некотором интервале содержащем критическую точку . Если функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки (кроме, быть может, самой точки ) и при переходе аргумента через нее слева направо производная меняет знак с плюса на минус, то точка максимума; если меняет знак с минуса на плюс, то точка минимума. |
Задача. Найти экстремумы функции . Решение. Очевидно, что . Находим . Определим критические точки: . Эти критические точки разбивают всю область определения функции на интервалы и . Полученные результаты удобно представить в виде следующей таблицы:
Из таблицы видно, что в точке нет экстремума, а точка минимума. Минимум этой функции равен . |
21 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции |
||||
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо:
|
Задача. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на Решение. Находим критические точки: , , , , , , , . Наибольшее значение функции при равно 3. Наименьшее значение функции при равно -8. |
|||
22 Вертикальная асимптота |
||||
Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке равен бесконечности, то есть или .
|
Задача. К ривая имеет вертикальную асимптоту , так как и . |
|||
23 Горизонтальная асимптота |
||||
Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции при (или ), если .
|
Задача. Прямая является горизонтальной асимптотой кривой , так как . |
|||
24 Наклонная асимптота |
||||
Прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b. ;
|
Задача. Найти асимптоты и построить график функции . 1) Вертикальные асимптоты: y+ x0-0: y- x0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота. 2) Наклонные асимптоты:
Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой. Построим график функции:
|
|||
25 Мера плоского множества |
||||
Мера множества, математическое понятие, обобщающее понятия длины отрезка, площади плоской фигуры и объёма тела на множества более общей природы. В качестве примера можно привести определение меры Лебега (введённой А. Лебегом в 1902) для ограниченных множеств, лежащих на плоскости. При определении меры Лебега, так же как и при определении площади плоских фигур в геометрии, исходят из сравнения части плоскости, занимаемой множеством, с выбранной единицей измерения. |
||||
Задача. Мера множества, изображенного на рисунке, равна… Решение. Мерой данного множества будет площадь четверти круга, следовательно, если площадь круга , то площадь четверти круга . Ответ. .
Задача. Мера плоского множества, изображенного на рисунке,
равна… Решение. Площадь заштрихованного треугольника и будет мера данного множества, следовательно, используя геометрический смысл определенного интеграла для нахождения площади, получим: . Ответ. 1 |