- •1,2,3.Періодичні сигнали і ряди Фур’є. Спектри амплітуд і фаз. Спектральний аналіз періодичних сигналів. Періодичні сигнали і ряди Фур’є. Спектри амплітуд і фаз
- •6. Спектральний аналіз періодичної послідовності радіоімпульсів
- •9,13. Властивість дійсної та уявної частини спектральної щільності. Лінійність перетворення Фур'є
- •10. Залежність спектральної щільності сигналу від вибору масштабу виміру часу.
- •11. Зв'язок між тривалістю імпульсу і шириною його спектра.
- •12. Комплексна форма ряду Фур’є. Поняття негативної частоти.
- •14. Основні властивості перетворення Фур’є
- •16,17. Спектральна щільність комплексного експонентного сигналу. Спектральна щільність одиночних (уніполярних) сигналів
- •18.Зв’язок між тривалістю імпульсу і шириною його спектра.
- •19,21. Спектральна щільність одиночних (уніполярних) сигналів. Спектральна щільність постійного в часі сигналу.
- •20,22. Спектральна щільність одиночних (уніполярних) сигналів. Узагальнена формула Релея.
- •23. Спектральна щільність сигналу, зміщеного в часі.
- •24,26 Спектральний аналіз неперіодичних сигналів. Основні властивості перетворення Фур’є.
- •25. Спектральний аналіз неперіодичних сигналів. Умови існування спектральної щільності сигналу.
- •27. Спектральний аналіз неперіодичних сигналів. Спектральна щільність аналогових сигналів. Пари перетворень Фур’є.
- •28. Спектральний аналіз періодичних сигналів
- •29. Спектральний аналіз періодичних сигналів. Комплексна форма ряду Фур’є. Поняття негативної частоти.
- •30,31 Модульовані сигнали. Амплітудна модуляція. Модульовані сигнали. Амплітудна модуляція. Спектр однотональних ам коливань.
- •32 . Модульовані сигнали. Однотональна ам.
- •33. Модульовані сигнали. Багатотональна ам
- •34. Модульовані сигнали. Фазова модуляція.
- •35. Модульовані сигнали. Частотна модуляція.
9,13. Властивість дійсної та уявної частини спектральної щільності. Лінійність перетворення Фур'є
Между сигналом и его спектральной плотностью существует однозначное соответствие. Для практических приложений важную роль играет связь между преобразованием сигнала и соответствующему этому преобразованию изменение спектра
Рассмотрим основные свойства преобразований Фурье.
1.Линейность преобразования Фурье Если имеется некоторая совокупность сигналов , ,…и т.д., причем , ,…и т. д., то взвешенная сумма сигналов преобразуется в следующем виде.
(8)
-произвольные числовые коэффициенты.
2.Свойство вещественной и мнимой части спектральной плотности.
Пусть -сигнал, принимающий вещественные значения. Его спектральная плотность в общем случае является комплексной величиной, а следовательно может быть представлена в виде.
Величины и представляют собой соответственно вещественную и мнимую части спектральной плотности. и -модуль и аргумент спектральной плотности. (9 Подставим (2) в ОПФ.
Из (3) видно, что сигнал будет вещественным только в том случае, когда
Это возможно лишь в том случае, если вещественная часть -четная функция, а мнимая часть -нечетная функция.
(10)
При этом подынтегральные выражения в симметричных пределах равны нулю.
10. Залежність спектральної щільності сигналу від вибору масштабу виміру часу.
Пусть сигнал с заданной внутренней структурой подвергается во временной области сжатию в -раз. При этом форма и амплитуда сигнала сохранены.
Новый сигнал связан с исходным соотношением , где . Длительность сигнала в -раз меньше сигнала . Спектральная плотность сжатого сигнала равна:
(12*)
Интеграл в правой части (5) представляет собой спектральную плотность исходного сигнала при частоте , т.е. .
Таким образом соотношение (12*) устанавливает соответствие между изменением масштаба времени в -раз и эквивалентным ему преобразованием спектральной плотности. Из данного выражения (12) видно, что сжатие сигнала по оси времени в -раз, во столько же раз расширяет его спектр. Амплитуда при этом уменьшается в -раз. Выполняется обратная зависимость : чем протяженней по времени сигнал, тем уже его спектр. Чем короче по времени сигнал, те шире его спектр.
11. Зв'язок між тривалістю імпульсу і шириною його спектра.
Если проанализировать частные случаи, то можно сделать вывод: чем меньше длительность импульса, тем шире его спектр.
Под шириной спектра обычно понимают частотный интервал в пределах которого спектральная плотность на меньше какого-то наперед заданного значения. Например изменяется в пределах
Спектр дельта импульса (длительность бесконечно мала) значит ширина спектра бесконечно велика.
Вывод: произведение ширины спектра импульса на его длительность есть постоянное число, зависящее только от формы импульса.
12. Комплексна форма ряду Фур’є. Поняття негативної частоти.
Так, як базова складова ряду Фур’є – це найпростіший гармонічний сигнал, то на основі перетворень Ейлера розкладемо його:
A*cos(nw1t)= A/2*e + A/2*e ;
Введення від’ємної частини – це лище припущення для спрощення обрахунків. Вектор обертається проти годинникової стрілки з позитивною частотою з позитивною частотою. Вектор обертається за годинниковою стрілкою з негативною частотою. Негативна частота носить чисто математичний характер відповідний комплексному розкладання і жодного фізичного сенсу не має.
Тригонометричний ряд: Ċn=(an-j*bn)/2; Čn=(an+j*bn)/2;
= > S(t)=C0+∑Ċn*e +∑Čn*e ;
В непарній функції по синусу Ċn= Čn.
Отже, припущення про існування уявної області та негативної частоти для таких сигналів підтвердилося.
Ċn= 1/T ∫S(t)* e dt;
Ċn=An/2=(√an?+ bn?)/2