11.3 Власні вектори

Кожному значенню відповідає нескінченна множина однаково направлених, але різної довжини власних векторів. Всі вони можуть бути визначені із матричного рівняння .

Щоб виділити із множини таких векторів один з них, необхідно для нього задати одну із координат.

Для розглянутого прикладу при маємо:

.

Задамося і розділимо досліджуване матричне рівняння на субматриці:

.

Отже, власний вектор, що відповідає власному значенню має координати

.

Перевіримо:

.

Для маємо рівняння:

.

Задаючи , маємо:

.

Отже, другий власний вектор має координати

.

Перевіряємо:

.

Для одержуємо аналогічним способом третій власний вектор матриці А:

Перевіряємо:

.

Невелика розбіжність в третьому знаці результату з’явилася за рахунок роботи з неточними числами.

11.4 Знаходження найбільшого власного числа

При аналізі технічних систем часто досить знати не всі власні значення і відповідні до них власні вектори, а лише деякі з них. Наприклад, в задачі про коливання балки найбільший практичний інтерес становить перша частота коливань, а в задачі про напружений стан у точці деформованого пружного тіла бажано знати лише значення найбільшого головного напруження, яке відповідає найбільшому власному значенню напружень . В такій постановці мова йде про часткову проблему власних значень. Для її розв’язання ефективними є ітераційні методи.

Ітераційний процес відшукання найбільшого власного значення випливає із системи рівнянь:

(11.1)

Якщо декілька разів повторити операцію множення АХ, то результуючий вектор буде збільшуватись в основному за рахунок найбільшого по модулю . Якщо на деякій ітерації взяти відношення відображеного вектора до попереднього, то це і буде наближене значення .

Застосуємо цей метод для одержання попереднього прикладу. Візьмемо за первісний вектор .

1. .

2.

.

3.

.

Тобто уже на третій ітерації, з точністю три знаки після коми, ми одержали найбільше власне значення матриці. Така швидка збіжність пояснюється тим, що в нашому прикладі значно більша за та .

Для одержання найменшого власного значення матричний вираз (11.1) помножимо зліва на :

звідки

.

Тобто маємо такий же ітераційний процес, але з оберненою матрицею А.

11.5 Завдання

В таблиці вибрати варіанти матриці А, одержати для неї та для її матриці  власні числа та власні вектори. Впевнитися, що модулі матриці  мають величину меншу за 1. Для матриці А знайти та .

Варіанти завдань

Варіант	Система рівнянь	Варіант	Система рівнянь

Приклад виконання .