Вопрос 2.
Основные алгебраические тождества
Тождество 1. a + b = b + a
Тождество 2. a + (b + c) = (a + b) +c
Тождество 3. a + 0 = a
Тождество 4. a + (-a) = 0
Тождество 5. a (b c) = ab ac
Тождество 6. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Тождество 7. a + (b + c) = a + b + c
Тождество 8. a + (b - c) = a + b - c
Тождество 9. a - (b + c) = a - b - c
Тождество 10. a - (b - c) = a - b + c
Тождество 11. a b = b a
Тождество 12. a (b c) = (a b) c
Тождество 13. a 1 = a
Вопрос 3.
Вопрос 4.
Декартовы прямоугольные системы координат. Для задания декартовой прямоугольной системы координат нужно выбрать несколько взаимноперпендикулярных прямых, называемых осями. Точка пересечения осей O называется началом координат.
На каждой оси нужно задать положительное направление и выбрать единицу масштаба. Координаты точки P считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки P.
|
Рис. 2: Декартова плоскость
|
Когда говорят про двухмерную систему коодинат, горизонтальную ось называют осью абсцисс (осью Ox), вертикальную ось - осью ординат (осью Оy). Положительные направления выбирают на оси Ox - вправо, на оси Oy - вверх. Координаты x и y называются соответственно абсциссой и ординатой точки.
Запись P(a,b) означает, что точка P на плоскости имеет абсциссу a и ординату b.
Декартовыми прямоугольными координатами точки P в трехмерном пространстве называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей или, что то же, проекции радиус-вектора r точки P на три взаимно перпендикулярные координатные оси.
В зависимости от взаимного расположения положительных направлений координатных осей возможны левая и правая координатные системы.
|
|
Рис. 3а: Левые координатные системы
|
Рис. 3б: Правые координатные системы
|
Полярные системы координат
|
Рис. 4: Полярные системы координат
|
Координатные линии в полярных системах - окружности с центром в полюсе и лучи.
Формулы для перехода от полярных координат к декартовым
x=ρ*cos(φ), y=ρ*sin(φ)
и обратно:
ρ=sqrt(x2)+y2), φ=arctg(y/x)=arcsin(y/ρ)
Цилиндрические системы координат
|
Рис. 5: Цилиндрические системы координат
|
Для цилиндрических координат координатными поверхностями являются плоскости, перпендикулярные к оси Oz (z=const), полуплоскости, ограниченные осью z (φ=const) и цилиндрические поверхности, осью которых является ось z (ρ=const). Координатные линии - линии пересечения этих поверхностей.
Формулы для перехода от цилиндрических координат к декартовым
x=ρ*cos(φ), y=ρ*sin(φ), z=z
и обратно:
ρ=sqrt(x2+y2), φ=arctg(y/x)=arcsin(y/ρ)
Сферические системы координат
|
Рис. 6: Сферические системы координат
|
0 ≤ r < ∞, -π < φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ π,
то получаются однозначно все точки пространства.
Координатные поверхности: сферы с центром в начале (r=const), полуплоскости, ограниченные осью z (φ=const), конусы (с вершиной в начале), для которых ось z является осью (θ=const). Координатные линии - линии пересечения этих поверхностей.
Формулы перехода от сферических координат к декартовым
x=r*sin(θ)*cos(φ), y=r*sin(θ)*sin(φ), z=r*cos(φ)
и обратно
r=sqrt(x2+y2+z2), φ=arctg(y/x), φ=arctg(sqrt((x2+y2)/z))
Ра́диус-ве́ктор (обычно обозначается или просто ) — вектор, задающий положения точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.
Для произвольной точки в пространстве, радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку.
Длина радиус-вектора, или его модуль, определяет расстояние, на котором точка находится от начала координат, а стрелка указывает направление на эту точку пространства.
На плоскости углом радиус-вектора называется угол, на который радиус-вектор повёрнут относительно оси абсцисс в направлении против часовой стрелки.Проекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительными направлениями оси и вектора. Вектор равен нулю, если все три его проекции равны нулю (этим положением пользуются, например, в механике при выводе необходимых и достаточных условий равновесия тела под действием системы сил, проходящих через одну точку)