6.4 Метод Монте-Карло
Розглянуті вище методи називаються детермінованими, тобто позбавленими елемента випадковості.
Розглянемо метод Монте-Карло обчислення визначених інтегралів – стохастичний метод, який має випадкову природу.
Методи Монте-Карло (ММК) – це чисельні методи рішення математичних задач за допомогою моделювання випадкових величин. Методи Монте-Карло дозволяють успішно вирішувати математичні задачі, обумовлені процесами ймовірності. Більш того, при вирішенні задач, не пов’язаних з якою-небудь ймовірністю, можна штучно придумати модель (і навіть не одну) ймовірності, що дозволяє вирішувати ці задачі.
Розглянемо процес обчислення визначеного інтеграла
При
обчисленні цього інтеграла по формулі
прямокутників інтервал
розбивається на
однакових інтервалів, в серединах яких
обчислюються значення підінтегральної
функції. Обчислюючи значення функції
у випадкових вузлах, можна отримати
більш точний результат:
,
де
.
Тут
– випадкове число, значення рівномірно
розподіленої на інтервалі
випадкової величини. Похибка обчислення
інтеграла ММК значно більше, ніж у раніше
розглянутих детермінованих методів.
Примітка. Значення рівномірно розподіленої на інтервалі випадкової величини можна отримати у MS Excel за допомогою функції «=слчис()»
Проте при обчисленні кратних інтегралів детермінованими методами оцінка похибки переростає в задачу значно складнішу, ніж обчислення інтеграла. В той же час похибка обчислення кратних інтегралів ММК слабо залежить від кратності і легко обчислюється у кожному конкретному випадку практично без додаткових витрат.
Приклад. Методом Монте-Карло обчислити визначений інтеграл:
.
Розв’язок
Маємо:
Покладемо
.
Проміжні розрахунки викладені у наступній таблиці.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1,75978 |
0,044752 |
18 |
3,013099 |
0,339147 |
35 |
2,948981 |
0,665592 |
2 |
2,570243 |
0,317381 |
19 |
3,091528 |
-0,13238 |
36 |
1,569451 |
0,627561 |
3 |
1,57783 |
0,606812 |
20 |
1,679743 |
0,314619 |
37 |
2,926051 |
0,7598 |
4 |
3,185662 |
-0,66213 |
21 |
1,427757 |
0,89261 |
38 |
2,433466 |
-0,35361 |
5 |
3,092926 |
-0,14094 |
22 |
1,651851 |
0,401342 |
39 |
2,962526 |
0,603768 |
6 |
1,98422 |
-0,71424 |
23 |
3,046806 |
0,141277 |
40 |
1,533453 |
0,710434 |
7 |
2,984119 |
0,496715 |
24 |
3,137237 |
-0,40546 |
41 |
2,972563 |
0,555236 |
8 |
1,979487 |
-0,70098 |
25 |
1,579383 |
0,602908 |
42 |
2,545969 |
0,197464 |
9 |
3,990397 |
-0,21365 |
26 |
3,091248 |
-0,13066 |
43 |
2,166906 |
-0,99986 |
10 |
1,902056 |
-0,45843 |
27 |
3,289811 |
-0,98512 |
44 |
1,529511 |
0,71888 |
11 |
1,633964 |
0,454449 |
28 |
3,999448 |
-0,28367 |
45 |
1,259116 |
0,999894 |
12 |
1,788161 |
-0,0559 |
29 |
3,080821 |
-0,06663 |
46 |
2,613865 |
0,521925 |
13 |
1,301476 |
0,99244 |
30 |
3,373923 |
-0,92575 |
47 |
1,155509 |
0,972375 |
14 |
3,772689 |
0,995394 |
31 |
1,763322 |
0,032283 |
48 |
3,749268 |
0,996789 |
15 |
2,706746 |
0,864064 |
32 |
3,587042 |
0,295999 |
49 |
3,328066 |
-0,99677 |
16 |
1,428555 |
0,891581 |
33 |
2,774359 |
0,987714 |
50 |
2,095103 |
-0,94831 |
17 |
1,070715 |
0,9113 |
34 |
1,533394 |
0,71056 |
Сума |
10,44859 |
|
Обчислюємо визначений інтеграл:
.