Задание для самостоятельного решения

1. Линия, описываемая в пространстве концом вектора , называется годографом вектор-функции Записать параметрические уравнения годографа, если

а)

б)

в)

2. Дано уравнение движения Определить траекторию и скорость движения. Построить векторы скорости для моментов t =  /2 ; t = 

3. Найти , если а)

б)

4. Найти , если где u = sin t.

5. Найти , если

4.27. Кривизна пространственной кривой

При изучении плоской кривой линии мы ввели понятие кривизны. При этом оказалось возможным рассматривать кривую состоящей из бесконечно малых дуг окружностей, отвечающих кругам кривизны. Выполним подобный анализ для пространственной кривой.

П усть кривая задана вектор-функцией , когда роль скалярного аргумента выполняет длина дуги кривой (рис.4.27.1), при этом длина дуги отсчитывается от точки А так, что

Вектор

(4.27.1)

направлен по касательной к кривой в точке М, а его модуль равен единице, так как  (длина хорды и длина стягиваемой его дуги эквивалентны – см. п.4.11). Поэтому говорят, что формула (4.27.1) выражает единичный вектор касательной к кривой.

Рассмотрим теперь производную

(4.27.2)

Е сли векторы и  изображенные на рис. 4.27.1, отложить от общего начала , то получится то, что показано на рис. 4.27.2, причем

 = 1, = 2sin  (4.27.3)

Очевидно, что вектор должен быть направлен ортогонально к (по касательной к кривой  = l), расположенной на сфере единичного радиуса). Модуль вектора в силу (4.27.2), (4.27.3) равен

где величина k называется кривизной пространственной кривой, а – радиусом кривизны. Если ввести единичный вектор , сонаправленный с вектором , то

и вместо (4.27.2) получим формулу

(4.27.4)

где вектор , ортогональный к , называется единичным вектором главной нормали к кривой.

И з формулы (4.27.4) ясно, что кривизна характеризует скорость изменения направления касательной к кривой.

Введем еще единичный вектор бинормали:

=  . (4.27.5)

Векторы , , условимся откладывать от соответствующей точки М (рис. 4.27.3). Плоскость, содержащая в себе и , называется соприкасающейся (на рис. 4.27.3 отмечена цифрой 1); плоскость, содержащая и , называют спрямляющей (цифра 2 на рис. 4.27.3), наконец, плоскость содержащая векторы и , называется нормальной.

Если кривая является плоской, то вектор всегда параллелен одной и той же прямой: он всегда ортогонален соприкасающейся плоскости, в которой расположена вся кривая линия. Для пространственной же кривой вектор должен поворачиваться по мере перемещения точки М по кривой. Скорость поворота бинормали характеризует отклонение кривой от плоскости, т.е. ее “закручивание”. Для того чтобы охарактеризовать закручивание, введем производную

. (4.27.6)

Выясним направление вектора . Для этого обратим внимание на то, что вектор направлен ортогонально к (вектор - единичный), т.е. лежит в спрямляющей плоскости (рис. 4.27.3). Поэтому векторы и определяют спрямляющую плоскость, а вектор (4.27.6) ортогонален спрямляющей плоскости, т.е. коллинеарен вектору . Поэтому вместо (4.27.6) можно записать

(4.27.7)

где величина Т называется кручением кривой, a  = T ^–1 – радиусом кручения. Знак величин Т и  зависит от того, в какую сторону закручивается кривая линия. Для плоской кривой, очевидно, Т = 0 ( = 

Формулы (4.27.4), (4.27.7) выражают скорость изменения векторов и вдоль кривой. По аналогии рассматривают также производную вектор-функции :

откуда окончательно получаем

. (4.27.8)

Ф ормулы (4.27.4), (4.27.7), (4.27.8) связывают скорости изменения векторов , , с двумя важными характеристиками кривой линии: радиусами кривизны и кручения. Эти соотношения называют формулами Френе (французский математик ХIХ века). Совокупность трех плоскостей: соприкасающейся, спрямляющей и нормальной, – сопровождающая точку при ее перемещении вдоль кривой, называется трехгранником Френе.

П р и м е р

Рассмотрим винтовую линию:

(рис. 4.27.4).

Для того чтобы воспользоваться введенными соотношениями, параметр t следует заменить на l:

откуда, считая, что длина дуги отсчитывается от точки А, имеем l = vt.

Поэтому уравнение винтовой линии зададим с помощью вектор-функции

).

С помощью (4.27.1) получаем

Hетрудно видеть, что  = 1.

Затем с помощью (4.27.4) находим

откуда следует, что , а вектор направлен радиально (от точки М к оси цилиндра).

Далее используем формулу (4.27.5)

а затем – (4.27.7):

откуда кручение Т = –