- •1.Векторное поле. Векторные линии и их
- •2.1. Вычисление потока
- •2.1.1. Вычисление методом проектирования на одну
- •2.1.2. Вычисление потока методом проектирования
- •3. Дивергенция векторного поля.
- •3.1. Вычисление дивергенции
- •3.2. Формула Остроградского в векторной форме
- •4. Линейный интеграл в векторном поле.
- •4.1. Определение и вычисление циркуляции
- •4.2. Плотность циркуляции векторного поля
- •5. Ротор векторного поля. Теорема стокса
- •6. Классификация векторных полей
- •6.1. Безвихревое поле
- •6.2. Потенциальное поле
- •6.3. Соленоидальные поля
- •7. Задание для самостоятельной работы
- •Список литературы
УФИМСКИЙ государственный НЕФТЯНОЙ технический Университет
Стерлитамакский филиал
Учебно-МЕТОДИЧЕСКоЕ пособие
по теме “Векторный анализ”
Уфа, 2003
Учебно-методическое пособие содержит основные сведения по векторному анализу, предусмотренные программой по высшей математике технического вуза. Предлагаемое методическое пособие рекомендуется для студентов дневного и вечернего отделения по специальностям 1705, 2103, 2903. Разработки являются средством управления и самоуправления учебной работой студентов в аудиторное и внеаудиторное время. Расчетные задания скомплектованы по степени сложности, что позволяет осуществить индивидуальный подход в обучении.
Составители: Григорьева Т. В., доц., канд. пед. наук
Рахматуллина Ф.Т., доц., канд. техн. наук
Жигалова О.В., ст. преподаватель
Седаева Л.С., ст. преподаватель
Рецензент Шулаев Н. С., проф., д-р техн. наук
©Уфимский государственный нефтяной технический
институт, 2002
1.Векторное поле. Векторные линии и их
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Определение 1.1. Векторным полем точки М называется векторная функция точки М вместе с областью ее определения.
Задание векторного пространственного поля равносильно заданию трех скалярных функций , , , являющихся проекциями вектора на координатные оси. Примерами векторных полей являются поле магнитной напряженности, поле сил тяготения, поле скоростей установившегося потока жидкостей и т.д.
Определение 1.2. Векторной линией поля называется такая линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением вектора . Векторная линия обычно называется линией тока для поля скоростей, силовой линией – для силового поля.
Как известно, направляющие косинусы касательной пропорциональны дифференциалам , , . Для нахождения векторных линий поля векторов и
, (1.1)
где - проекция вектора на координатные оси.
Уравнения (1.1) называются дифференциальными уравнениями векторных линий поля . Если - непрерывно дифференцируемые функции и в точке М вектор отличен от нуля, то через точку М проходит одна определенная векторная линия поля .
Пример 1.1. Найти векторные линии поля .
Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий имеют вид или , ;
, . Интегрируя, получим и , где и - произвольные постоянные. Векторными линиями являются окружности, расположенные в плоскостях, параллельных плоскости и в самой плоскости при .
Пример 1.2. Найти векторные линии магнитного поля бесконечного проводника тока.
Решение. Будем считать, что проводник направлен по оси и в этом же направлении течет ток I . Вектор напряженности H магнитного поля, создаваемого током, равен
, (1.2)
где есть вектор тока, - радиус-вектор точки , - расстояние от оси провода до точки М. Раскрывая векторное произведение (1.2), получим
.
Дифференциальные уравнения векторных линий:
,
откуда
, Рис 1.
т.е. векторные линии являются окружностями с центрами на оси (рис. 1).
2. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ
Определение 2.1. Потоком П векторного поля через
двустороннюю поверхность называется поверхностный интеграл
второго рода.
, (2.1)
где - единичный вектор нормали к , указывающей её ориентацию; - элемент площади поверхности ; - проекция вектора на направление .
Дадим физическое истолкование формулы (2.1). Пусть - скорость жидкости, протекающей через произвольную (двустороннюю) поверхность . Рассмотрим разбиение поверхности на n частей с площадками . Тогда произведение равно количеству жидкости, протекающей через
поверхность за единицу времени в
направлении вектора (рис.2.1).
Интеграл , являющийся
пределом интегральной суммы