- •Свойства пределов функции
- •Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности Свойства сходящихся последовательностей
- •5) Число является пределом последовательности тогда и только тогда, когда , где – бесконечно малая последовательность.
- •6) Пусть последовательность – ограниченная, а последовательность – бесконечно малая. Тогда их произведение является бесконечно малой последовательностью.
- •7) Пусть , – сходящиеся последовательности и
- •8) Пусть и ( ), . Тогда .
- •9) Пусть последовательности и сходятся и для любого ℕ имеет место неравенство
- •10) Пусть последовательности и сходятся и имеют равные пределы. Если для любого ℕ имеет место неравенство
- •Свойства бесконечно больших последовательностей
- •Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •Свойства бесконечно малых функций
- •Свойства бесконечно больших функций
- •1. Определение производной функции. Необходимое условие существования производной
- •2. Физический и геометрический смысл производной
- •3. Правила дифференцирования
7) Пусть , – сходящиеся последовательности и
, .
Тогда их сумма, разность, произведение и частное также являются сходящимися последовательностями, причем
а) ;
б) ;
в) (при условии, что ).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (для 7(а) и 7(б) )
а) Возьмем любое число . Так как , то существует номер такой, что
, . (4)
Так как , то существует номер такой, что
, . (5)
Пусть . Тогда для любого выполняются одновременно оба неравенства (4) и (5). Следовательно, для любого
.
⇒ . ∎
б) Докажем сначала вспомогательное утверждение.
Если и – бесконечно малые последовательности, то их произведение – тоже является бесконечно малой последовательностью.
Возьмем любое число . Так как – бесконечно малая, то существует номер такой, что
, . (6)
Так как – бесконечно малая, то существует номер такой, что , . (7)
Пусть . Тогда для любого выполняются одновременно оба неравенства (6) и (7). Следовательно, для любого
, .
⇒ .
Теперь рассмотрим две произвольные сходящиеся последовательности и . Если , , то
, ,
где , – бесконечно малые последовательности (свойство 5). Тогда .
Но , , – бесконечно малые. Следовательно, их сумма тоже является бесконечно малой (свойство 7(а)).
Таким образом, получили
,
где – бесконечно малая последовательность. Согласно свойству 5, это значит, что . ∎
СЛЕДСТВИЕ свойства 7. Пусть – сходящаяся последовательность и .
Тогда для любого ℝ последовательность тоже сходится, причем .
Так как последовательность очевидно является сходящейся, то это утверждение является следствием пункта б) свойства 7.
8) Пусть и ( ), . Тогда .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Предположим противное. Пусть . Возьмем такое, что . Для выбранного существует номер такой, что
, ;
⇒ , . (8)
Так как , то из неравенства (8) получаем:
, .
Но этот результат противоречит условию. Следовательно, предположение было неверным и .
9) Пусть последовательности и сходятся и для любого ℕ имеет место неравенство
( ).
Тогда .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Рассмотрим последовательность . Ее члены по условию будут неотрицательны (положительны). Тогда по свойству 8
,
⇒ ,
⇒ . ∎
10) Пусть последовательности и сходятся и имеют равные пределы. Если для любого ℕ имеет место неравенство
,
то последовательность тоже сходится и
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Пусть . Докажем, что .
Возьмем любое число . Так как , то существует номер такой, что
, . (9)
Так как , то существует номер такой, что
, . (10)
Пусть . Тогда для любого выполняются одновременно оба неравенства (9) и (10). Следовательно, для любого
⇒
и ⇒ .
Но если , то (т.к. по условию , ℕ). Следовательно,
, ,
⇒ . ∎