3. Решить задачу п.1 при условии, что известны вероятности Рj использования вариантов состава Вj.

P1	P2	P3	P4
0,4	0,3	0,2	0,1

Решение:

Т.к. нам известны вероятности вариантов состава Вj, то задача является вероятностной. Критерием оптимальности будет являться максимум математического ожидания.

Вj Аi	В1	В2	В3	В4	M[U(Аi)]
А1	0,4 0,4	0,7 0,3	0,9 0,2	0,2 0,1	0,57
А2	0,6 0,4	0,3 0,3	0,1 0,2	0,8 0,1	0,43
А3	0,3 0,4	0,1 0,3	0,8 0,2	0,5 0,1	0,36

max M[U(Аi)]= max {0,57; 0,43; 0,36} = 0,57.

Аi

M^* = M[U(А1)] => А^*=А1.

Ответ: А^* = А1.

Вывод: при заданных вероятностях Pj использования противником вариантов состава команд Вj, j=1..4, спорт-клуб А обеспечит себе вероятность побед в 57% процентах игр, если будет использовать только состав А1. Это связано с тем, что спорт-клуб В не придерживается своей уравновешенной стратегии В^*=(0,67; 0,33; 0;0).

4. Решить задачу п.1 при условии, что вариант состава A3 не используется.

Решение:

Проверим, имеет ли задача седловую точку.

	В1	В2	В3	В4	min aij j
А1	0,4	0,7	0,9	0,2	0,2
А2	0,6	0,3	0,1	0,8	0,1
max aij	0,6	0,7	0,9	0,8

i

u = max min a_ij = max {0,2; 0,1} = 0,2 => α⁰ = α₁

i j

v = min max a_ij = min {0,6; 0,7; 0,9; 0,8} = 0,6 => β⁰ = β₁

i j

Т.к. u ≠ v, то решения игры в чистых стратегиях нет, значит, решение игры следует искать в смешанных стратегиях.

Т.к. наша задача имеет размерность 2x4, то ее решение можно найти графическим методом.

А₁⁰ А₂⁰

А⁰ = (0,5; 0,5); u = 0,5.

Т.к. графический метод не дает точного решения, то найдем аналитическое решение. Из графика видно, что решение задачи образуется пересечением всех прямых. Составим и решим систему используя прямые В1 и В2

M (А, В1) = 0,4·А1 + 0,6·А2;

M (А, В2) = 0,7·А1 + 0,3·А2.

=> A1=A2=0,5

U = M (А⁰, В1) = 0,4·0,5 + 0,6·0,5 = 0,5.

Ответ: u = 0,5; А^* = (0,5; 0,5).

Вывод: результат данной задачи совпадает с результатом задачи п.1, т.к. и в том и в другом случае чистая стратегия А3 не входит в смешанную уравновешенную стратегию спорт-клуба А.