- •В.Н. Витвицкая, л.В. Климович линейная алгебра
- •Аналитическая геометрия
- •1. Матрицы и действия над ними
- •2. Определители и их вычисление
- •3. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •4. Системы линейных уравнений и методы их решения
- •5. Векторная алгебра
- •6. Аналитическая геометрия
- •7. Полярная система координат. Построениие линии в полярной системе координат
- •8. Комплексные числа
- •9. Вопросы и задания при самостоятельной подготовке к экзамену
- •9.1. Элементы линейной алгебры
- •9.2. Векторная алгебра
- •9.3. Аналитическая геометрия
- •9.4. Комплексные числа
3. Обратная матрица. Ранг матрицы
Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. Если же det A = 0, то матрица А называется вырожденной.
Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных невырожденных матриц.
Матрица А–1 называется обратной для квадратной матрицы А порядка n, если А–1 ·А = А ·А–1 = E, где Е – единичная матрица порядка n.
Теорема. Для того чтобы существовала обратная матрица А–1, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной.
Для любой невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица, которую находят по формуле:
А–1 = (3.1)
Пример 1. Дана матрица
.
Убедиться, что она невырожденная, найти обратную ей матрицу и проверить выполнение равенств
А·А–1 = А–1·А = E.
Решение. Вычислим определитель второго порядка:
|А| = = 3 + 8 = 11 ≠ 0,
следовательно, матрица А невырожденная и имеет обратную матрицу. Формула (3.1) для квадратной матрицы второго порядка имеет вид:
А–1 = .
Найдем алгебраические дополнения для каждого элемента данной матрицы А:
А11 = (–1)1+1 M11 = а22 = 1; А21 = (–1)2+1 M21 = –a12 = 4;
А12 = (–1)1+2 M12 = – а21 = – 2; А22 = (–1)2+2 M22 = a11= 3.
Обратная матрица примет вид:
А–1 = .
Выполним проверку:
А–1 ·А =
= E.
Пример 2. Найти обратную матрицу для заданной матрицы:
B = .
Решение. Вычислим определитель матрицы B:
det B = = 4 + 0 – 0 – 0 – 1 + 12 = 15 ≠ 0,
следовательно, матрица B–1 существует. Формулу (3.1) для квадратной матрицы третьего порядка перепишем в виде
B–1 = .
Найдем алгебраические дополнения А ij элементов bij матрицы B:
A11 = (–1)1+1· = 3; А21 = = 4; А31 = = –2;
А12 = (–1)1+2 = – 6; А22 = = 2; А32 = = –1;
А13 = (–1)1+3· = 3; А23 = = – 1; А33 = = 8.
Обратная матрица запишется так:
B–1 = .
Выполним проверку:
B–1 ·B =
= E.
Рассмотрим матрицу А произвольной размерности m×n. Выделим в ней k строк и k столбцов, где k ≤ min(m,n). Элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель этой матрицы называется минором k-того порядка матрицы А.
Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличный от нуля. Обозначается rang A, r(А).
Элементарными преобразованиями матрицы А называются:
1) перестановка местами двух строк или столбцов матрицы;
2) умножение каждого элемента строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) сложение элементов строки (столбца) с соответствующими элементами другой строки (столбца), умноженными на одно и то же произвольное число.
Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы. Значит, при его нахождении целесообразно провести такие преобразования над строками или столбцами матрицы, которые бы привели к матрице В, ранг которой найти просто. К таким матрицам относятся трапециевидные матрицы:
В = ,
где bii ≠0, i = 1, 2, …, r. Ранг матрицы В равен r. Действительно, вычеркнув нулевые строки, получим матрицу размерности r×n. Ранг этой матрицы равен r, так как ее минор r-го порядка, стоящий в левом верхнем углу, не равен нулю:
= b11·b22·b33·….brr ≠ 0.
Поскольку матрица В получена из матрицы А путем элементарных преобразований, то rang A = rang B.
В трапециевидной матрице ранг равен числу ее ненулевых строк.
Пример 3. Найти ранг матрицы
А = .
Решение. Производя последовательно элементарные преобразования, будем иметь:
Последнюю строку мы поменяли местами с первой. Затем элементы первой строки умножили на 3 и на 2 и сложили с соответствующими элементами второй и третьей строк.
Далее элементы второй строки разделили на (–11), третьей на (–5), четвертой на 5, пятой на 2. Потом элементы второй строки умножили на (–1) и сложили с соответствующими элементами третьей, четвертой и пятой строк.
Последняя матрица трапециевидная, она имеет две ненулевых строки. Следовательно, ее ранг равен двум. Таков же ранг исходной матрицы: rang A = 2.