- •Лекции по дифференциальной геометрии §1. Вектор-функция одного скалярного аргумента
- •§2. Предел вектор-функции
- •§3. Свойства пределов вектор-функции
- •§5. Производная вектор-функции
- •§6. Техника дифференцирования
- •§7. Производные высших порядков
- •§8. Путь
- •При любом те [а, р ] г (/(т) ) — g(t).
- •§9. Кривая. Касательная к кривой.
- •§10. Нормальная плоскость кривой
- •§11. Производная единичной вектор-функции
- •§12. Длина дуги кривой
- •§13. Формулы Френе
§11. Производная единичной вектор-функции
Пусть вектор-функция а = a(t) такова, что при любом t ad)| = const. Такая вектор-функция называется вектор-функцией постоянной длины. В частности, если \a(t)\ = 1, то она называется единичной вектор-функцией. Справедлива
Лемма. Производная от единичной вектор-функции в каждой точке перпендикулярна самой этой вектор-функции, т.е. из a(t)\-\ следует a' (t) _L a(t).
Доказательство. \a(t)\ = 1 => ~ (t) = 1 => a 2(t) = 1.
Продифференцируем это равенство: 2 a (t)- a' (t) =0 => a' (t) _L а(!). Лемма доказана.
§12. Длина дуги кривой
Длиной дуги кривой г = г (/) между точками /Ц, (/0) и Л/(/) называется предел периметра ломаной (MqM\ ... Mn_i Мп), вписанной в эту кривую, при стремлении числа точек М0М\ ... Мп к бесконечности и длины наибольшего отрезка ломаной к нулю.
Как известно из курса математического анализа, длина дуги кривой г = г (t) от точки
М () (t0) до точки M(t) вычис- ляется по формуле
(12.1)
или
S
(12.2)
- J+ (У'У + (ZT dtДлина дуги есть функция параметра t: S = S(t). Из (12.2) имеем :
dS
=
(12.3)
л1(х'У~ +(/)2 +(z')2dt
Мы можем в качестве параметра выбрать длину дуги, отсчитываемой от некоторой начальной точки М0. Тогда уравнение кривой можно представить в виде г = г (.s’) . Параметр s называется естественным или натуральным параметром кривой. При t=s из (12.3) получаем:
(
dr
ds
12.4)
Следовательно, вектор производной вектор-функции г = г (s), отнесенной к естественному параметру, по длине дуги есть единичный вектор. Его обозначают г .
г = -^,|т|=1 (12.5)
ds
Вектор есть орт касательной к кривой.
§13. Формулы Френе
Рассмотрим уравнение кривой в естественной паарамет- ризации г = г (s). Продифференцируем его по натуральному параметру .s’:
dr
= т (13.1)
ds
т- орт касательной к кривой. Продифференцируем это выражение еще раз:
11олученный вектор мы обозначили через /V. Вектор /V называется вектором кривизны кривой в данной точке, а его длина /V | - кривизиои кривой, j N\ = к. Если кФ 0, то число
= р называется радиусом кривизны кривой в данной точке.
к
Так как вектор г - единичный, то по лемме § 11 он перпендикулярен своей производной, т.е.
1г ,а, значит, /V_L г. ds
Прямая, проходящая через данную точку М0 кривой с направляющим вектором N , называется главной нормалью кривой в точке М{). Главная нормаль перпендикулярна касательной и лежит в нормальной плоскости.
В ыберем орт главной нормали v 11 N, | v | = 1. Тогда N = kv. Итак,
ds
Рассмотрим векторное произведение векторов гик Это единичный вектор, который обозначим р.
£ = [r,v]
О
(13.4)
н перпендикулярен г и v. Вектор Р называется ортом бинормали кривой в точке М0, а прямая, проходящая через точку Mq по вектору р - бинормалью кривой в точке А/0.Таким образом, с каждой точкой кривой связана тройка единичных векторов г, V, Д которая образует репер, называемый каноническим репером кривой. Координатные плоскости этого репера носят следующие названия:
[А/0, г, v\ - соприкасающаяся плоскость,
[А/о, p. v] - нормальная плоскость,
[А/0, г, /?] - спрямляющая плоскость.
Совокупность трех прямых: касательной, нормали, бинормали и трех плоскостей: соприкасающейся, нормальной и спрямляющей образует сопровождающий трехгранник кривой.