7.2. Основные правила дифференцирования.

Пусть с – постоянная, и – дифференцируемые функции.

Формулы дифференцирования основных элементарных функций.

Функция	Производная	------	Функция	Производная
с	0		х	1

Производная сложной функции.

Если , , т.е. , где и имеют производные, то .

Производная обратной функции.

Если – дифференцируемая и и строго монотонная функция на промежутке Х, то функция, обратная к данной , так же дифференцируема и ее производная определяется соотношением:

.

Производная степенно-показательной функции.

Найдем . Дифференцируя обе части равенства, получим:

.

Учитывая, что , получим

.

Значит, чтобы найти производную степенно-показательной функции, достаточно дифференцировать ее сначала как степенную, потом как показательную, а полученные результаты сложить.

Дифференцирование неявных функций.

Если зависимость между х и у задана в неявной форме уравнением то для нахождения производной функции у необходимо продифференцировать по х обе части данного уравнения, рассматривая у как функцию от х. Из полученного уравнения первой степени (относительно ) находится .

Производные высших порядков.

Производной п-го порядка называется производная от производной -го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Лекция 8 Приложения производной.

8.1. Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке Х функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю.

Это означает, что в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри данного промежутка, касательная к графику функции параллельна оси оХ.

Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1. непрерывна на отрезке ;

2. дифференцируема на интервале ;

3. на концах отрезка принимает равные значения, т.е. .

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой производная функции равна нулю: .

Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1. непрерывна на отрезке ;

2. дифференцируема на интервале ;

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой выполняется равенство: .

Теорема (правило) Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле: .

Правило Лопиталя используется для раскрытия неопределенностей вида или .

Правило Лопиталя можно применять также и для раскрытия неопределенностей вида . Для этого произведение следует представить в виде

или и получить неопределенность или .

Пример.