3. Задачи на определение величины угла

3.1. Определение величины угла между пересекающимися прямыми

Угол между пересекающимися прямыми можно определить следующими способами:

1) заключением угла в треугольник: нужно пересечь стороны угла произвольной прямой и определить натуральную величину полученного треугольника, откуда можно определить натуральную величину заданного угла;

2) вращением: поставить плоскость угла в положение, параллельное какой-либо плоскости проекций;

3) совмещением: найти один из следов плоскости угла – горизонтальный или вертикальный – и вращением около этого следа совместить угол с соответствующей плоскостью проекций;

4) вращением около горизонтали или фронтали: совместить заданный угол с плоскостью, параллельной горизонтальной (вертикальной) плоскости проекций, проходящей через произвольную горизонталь (фронталь) плос- кости угла;

5) заменой плоскостей проекций: изменить плоскости проекций так, чтобы одна из них стала параллельной плоскости заданного угла.

Из всех перечисленных способов решения наиболее просто и быстро приводит к цели четвертый.

Задача 19. Определить величину угла между двумя пересекающимися прямыми.

Решение. Истинная величина углов между двумя пересекающимися прямыми с и d (рис. 17) определена следующим образом: плоскость угла повернута вокруг своей фронтали f (1, 2) до совмещения ее с фронтальной плоскостью уровня Ф (Ф1), проходящей через проекцию фронтали f₁.

Проекция M₁ совмещения вершины угла между прямыми с и d находится на проекции фронтально проецирующей плоскости Σ, в которой вращается точка М. Определив с помощью прямоугольного треугольника МО₂М₂ натуральную величину радиуса вращения R = [МО₂] и отложив ее на проекции Σ₂ от О₂, получаем изображение точки М´₂ на плоскости П₂. Соединяя фронтальные проекции неподвижных точек 1₂ и 2₂ с построенной точкой М´₂, получаем проекции с₂ и d₂, совмещенных с плоскостью Ф прямых с и d. Угол между прямыми с´₂ и d´₂ определяет натуральную величину искомого угла между пересекающимися прямыми с и d.

Для прямых, не лежащих в одной плоскости, мерой угла между ними служит угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным.

Рис. 17. Определение величины угла между двумя пересекающимися прямыми

3.2. Определение величины угла между прямой общего положения и плоскостью общего положения

Задача 20. Определить угол между прямой общего положения и плоскостью общего положения.

Решение. Мерой такого угла является линейный угол между прямой и ее ортогональной проекцией на заданную плоскость. Угол спроецируется без искажения, если прямая будет параллельной плоскости проекций, а заданная плоскость окажется проецирующей на ту же плоскость проекций.

Задачу решают тройным преобразованием чертежа (рис. 18): придают плоскости проецирующее положение, преобразуют заданную плоскость в плоскость уровня, превращают заданную прямую в прямую уровня.

Рис. 18. Определение величины угла между прямой общего положения и

плоскостью общего положения. Тройное преобразование чертежа

3.3. Определение величины угла

между двумя скрещивающимися прямыми

Известно (из геометрии), что этот угол измеряется углом между пересекающимися прямыми, параллельными заданным скрещивающимся прямым, следовательно, после проведения вспомогательных прямых получаем задачу 19.

3.4. Определение величины угла между прямой и поверхностью

Угол между прямой и поверхностью измеряется углом между прямой и плоскостью, касательной к поверхности в точке пересечения этой прямой с поверхностью; решение таких задач рассматривается в специальной литературе.

3.5. Определение величины угла между двумя пересекающимися

плоскостями

Задача 21. Определить угол между двумя плоскостями.

Решение. Линию пересечения двух плоскостей (общее ребро двугранного угла) преобразуют в проецирующее положение. Тогда каждая из двух плоскостей превращается в прямую линию. Угол между этим двумя пересекающимися прямыми и есть искомый угол между двумя плоскостями (рис. 19).

Рис. 19. Определение величины угла между двумя

пересекающимися плоскостями