X1 Объект y1

X2 исследо- y2

 вания 

Xn Yi

  

W₁ W₂ … Wm

Входы характеризуют все способы возможного воздействия (входные параметры): X₁-Xn - управляемые параметры (или факторы), Z₁-Zp - контролируемые параметры (можно измерить в процессе исследования, но не изменяют целенаправленно, обычно возможность воздействия на них отсутствует), W₁-Wm - возмущающие неконтролируемые параметры, недоступные для измерения, значения которых изменяются во времени случайным образом. Y₁-Yi – выходной параметр (или параметр оптимизации).

Y = F (Xi, Zi, Wi) (1)

Требования к параметру оптимизации:

1. должен задаваться числом, т.е. иметь количественную оценку (области его определения могут быть непрерывными и дискретными, ограниченными и неограниченными). Если нет способа количественного измерения, то используют ранговый подход (ранжирование). При этом параметрам присваивают оценки- ранги по заранее выбранной шкале (например, пятибальной). Ранговый параметр имеет дискретную ограниченную область определения (в простейшем случае область содержит 2 значения: да, нет; хорошо, плохо). Ранг – это количественная оценка, которая носит субъективный характер и соответствует некоторому количественному признаку;

2. должен выражаться одним числом;

3. должен быть однозначным и эффективным в статистическом смысле, т.е. заданному набору значений факторов должна соответствовать одно значение параметра оптимизации (с точностью до ошибки);

4. должен быть универсальным и полным (т.е. способным всесторонне характеризовать объект);

5. должен иметь физический смысл, быть простым и по возможности легко вычисляемым.

3. Зная объект (предмет) исследования и параметры его оценки необходимо определить входные параметры, т.е. все параметры, которые могут повлиять на результат. Эти параметры необходимо разделить на 3 группы (управляемые, контролируемые и возмущающие). При этом следует помнить, что каждый воздействующий параметр можно отнести только к одной группе (либо Вы им управляете, либо можете проконтролировать, либо не можете заранее предвидеть степень его действия).

Фактор – управляемая независимая переменная, соответствующая одному из возможных способов воздействия на объект исследования. Фактор считается заданным, если указаны его название и область определения. В выбранной области определения он может иметь несколько значений, которые соответствуют числу его различных состояний. Выбранные для эксперимента количественные и качественные состояния фактора носят названия уровней фактора.

В процессе выбора факторов рекомендуется учитывать ряд требований. В качестве факторов целесообразно выбирать такие независимые переменные, которые:

1. соответствуют одному из разумных воздействий на объект исследования;

2. могут быть измерены имеющимися средствами с достаточно высокой гарантированной точностью;

3. являются управляемыми и однозначными;

4. совместимы один с другим;

5. не связаны между собой линейными корреляционными связями.

Желательно, чтобы факторы оценивались количественно, хотя возможна и качественная характеристика. При этом надо оценить границы областей определения факторов. Ограничения бывают нескольких типов: 1-ый тип – принципиальные ограничения, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах ( например, нижним пределом температуры будет абсолютный нуль); 2-ой тип – ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями ( например, стоимость сырья, время обработки и т.п.); 3-ий тип – ограничения, связанные с конкретными условиями проведения процесса (например, с технологией, с организацией производства).

Если изменяется (варьируется ) один фактор, то эксперимент является однофакторным; если несколько – многофакторным.

При выборе области определения факторов и их уровней варьирования рекомендуется обращать специальное внимание на выбор нулевой точки, или нулевого (основного) уровня фактора. Выбор нулевой точки эквивалентен определению такого состояния объекта исследований, которое принимается за исходное при поиске оптимума. Если проведению эксперимента предшествовали другие исследования (теоретические или экспериментальные) по рассматриваемому вопросу, то за нулевую принимается такая точка, которой соответствует наилучшее значение оцениваемого параметра. Часто при постановке задачи область определения факторов бывает заданной, является локализованной областью факторного пространства. Тогда центр этой области принимается за нулевую точку.

Из общего числа выделенных управляемых параметров - факторов выбирают те, которые целесообразно и можно варьировать в ходе эксперимента, для остальных выбирают постоянные уровни. Если переменных характеристик мало (до 3), для установления степени важности характеристик можно изучать процесс в зависимости от одной переменной при остальных постоянных. Если переменных величин много, применяют многофакторный анализ и отсеивающий эксперимент.

Пример. При исследовании прочности клеевых соединений одежды объектом исследования является клеевое соединение, параметром оптимизации может являться прочность на расслаивание, а факторами – температура t,C, давление Р, МПа, время, с. Если температура по предположениям теоретических исследований может меняться от 140 до 180 С, то за нулевой уровень можно принять среднюю t=160 С, после чего выбираем интервал варьирования фактора (масштабный коэффициент), который закодировано обозначается +1 и –1. При этом величина варьирования  должна быть больше удвоенной квадратичной ошибки фиксирования данного фактора. Аналогично выбираем уровни варьирования для двух других факторов.

Таблица 1- Управляемые параметры (факторы) и уровни их варьирования

Факторы	Уровни варьирования					Интервал варьиро- вания, 
	-2	-1	0	+1	+2
t,С	140	150	160	170	180		10
Р, МПа	0.06	0.07	0.08	0.09	0.1		0.01
, с	10	15	20	25	30		5

Минимальное число уровней варьирования, которое допустимо на первой стадии работы – два (1). Его обычно используют в отсеивающем эксперименте и при описании объекта линейными моделями, т.к. если через 2 точки (2 уровня варьирования) можно провести одну прямую, то кривых можно построить множество.

Когда число уровней для всех факторов плана одинаково в общем виде зависимость числа опытов (различных состояний объекта исследования) от числа уровней факторов имеет вид

N=р^К , (1)

где N - число опытов;

р – число уровней;

к – число факторов.

Для приведенного выше примера N= 4³=64 опыта (перебора).

Чем тщательнее проведены теоретические исследования, тем точнее область определения искомых значений факторов. Так, если теоретически доказано, что можно отбросить крайние уровни варьирования (табл.1), то число опытов сразу сокращается до N= 2³=8.

4. Планирование объема выборки

Для статистической оценки параметра необходимо знать закон распределения случайных значений определяемого параметра. Обычно этот закон уже известен. Если закон распределения не известен, то он устанавливается в поисковом эксперименте.

На первичном уровне исследований можно считать закон распределения случайных величин нормальным. Этот закон возникает тогда, когда отклонения вызываются множеством малозначащих причин, среди которых нет доминирующих. Для нормального закона распределения действует соотношение

n = t²²/ ², (2)

где n – объем выборки;

t – параметр, которому соответствует значение функции Лапласа Ф(t) = /2; параметр t можно определить по таблице 4 в зависимости от заданной вероятности (надежности) оценки  (при =0,95 t=1,96; =0,9 t=1,65; =0,.85 t=1,44; =0,8 t=1,29);

- точность (погрешность) измерений, задается в пределах 0,01-0,10.

Для инженерных расчетов допускается принимать =0,8, а =0,10.

- среднее квадратичное отклонение (либо уже известно, либо находится в результате поискового эксперимента);

Например, П – прочность ниточного соединения

П,н	20,5	21,0	19,9	20,3	20,8	20,9	…..	19,8
Номер замера	1	2	3	4	5	6	…..	20

_ П₁ + П₂ + П₃ +…П_n 20,5+21+19,9+….

П ( среднее значение) =  = - = 20,3

N _ 20

Математическое ожидание прочности М_П  П, т.к. в другом эксперименте оно может быть другим

М_П  20,3 – точечная оценка, или числовая характеристика математического ожидания прочности, полученного по данной выборке.

Находим отличие экспериментальных данных от полученного среднего значения прочности (П).

- П – П	0,2	0,7	-0,4	0	0,5	0,6	…..	-0,5
Номер замера	1	2	3	4	5	6	…..	20

Чтобы получить абсолютную величину отклонения можно либо откинуть знак, либо, как принято в теории вероятностей, возвести в квадрат ( т.к. при простом откидывании знака функция хуже обрабатывается математически, т.е. сложнее делать выводы и обоснование).

- (П – П)2	0,04	0,49	0,16	0	0,25	0,36	…..	0,25
Номер замера	1	2	3	4	5	6	…..	20

Снова считаем среднее значение

0,04+0,49+0,16+ …0,25

Д_П (дисперсия) =   0,22 > 0

20

(Д_П =0 – если все значения одинаковые)

_П=Dп =  0,22 = 0,46 – стандартное среднеквадратичное отклонение

Пример расчета: если =0,22. =0,8 (t=1,29), =0,1, то n=1,29²х0,22²/0,10²=8,05, т.е. следует сделать 8 повторов измерений при одних и тех же условиях.

Так при 3-х факторном 4-х уровневом эксперименте потребуется

N = 64 опыта х 8 повторов = 512 измерений

Варианты задания представлены в таблице 2.

Таблица 2 – Данные для расчета объема выборки при нормальном законе распределения

№ варианта	n – объем выборки	 - погрешность (точность)	- вероятность (надежность)	- среднее квадратичное отклонение
1		0,10	0,80	0,22
2		0,07	0,80	0,22
3		0,05	0,80	0,22
4		0,03	0,80	0,22
5		0,01	0,80	0,22
6		0,10	0,85	0,22
7		0,07	0,85	0,22
8		0,05	0,85	0,22
9		0,03	0,85	0,22
10		0,01	0,85	0,22
11		0,10	0,90	0,22
12		0,07	0,90	0,22
13		0,05	0,90	0,22
14		0,03	0,90	0,22
15		0,01	0,90	0,22
16		0,10	0,95	0,22
17		0,07	0,95	0,22
18		0,05	0,95	0,22
19		0,03	0,95	0,22
20		0,01	0,95	0,22