1.3. События, операции над ними

Как уже было отмечено выше, событие состоит из некоторой совокупности элементарных событий. Оно происходит, если произошло одно из элементарных событий, содержащихся в нем.

Примем пока такое определение события: событием называют любое подмножество Ω (в п. 1.5 это понятие будет уточнено).

Часто бывает полезным наглядное представление событий в виде так называемой диаграммы Венна (Д. Венн – английский математик). В ней все пространство Ω изображается прямоугольником, каждое элементарное событие – точкой в прямоугольнике, каждое событие A – некоторой областью прямоугольника:

Пространство Ω – тоже событие, согласно определению последнего. Но это особое событие, оно происходит всегда! Такое событие называется достоверным.

Для удобства дальнейшего изложения введем в рассмотрение невозможное событие, обозначать его будем символом Ø. Невозможное событие никогда не происходит, так как не содержит ни одного элементарного события. На языке множеств это пустое множество.

В примере 1 такое событие можно было бы описать, например, так: {произведение выпавших чисел делится на 11}. В первом опыте событие {выпадение хотя бы одного очка} – достоверное событие; событие {выпадение дробного числа очков} – невозможное событие.

Отношение включения. Говорят, что событие A входит (включено) в событие B, если наступление события A влечет за собой наступление события В. Обозначение: А В.

Поскольку в свою очередь событие A происходит, если происходит одно из элементарных событий, благоприятствующих событию А (составляющих событие А, содержащихся в событии А), то отношение А В возможно тогда и только тогда, когда множество элементарных событий, содержащихся в A, является подмножеством элементарных событий, содержащихся в B.

Если одновременно A В и В А, то А и В считаются равными или эквивалентными, А = В.

Пример 2. В первом опыте событие A = {ω₂, ω₄,ω₆} входит в событие B = {выпадение не менее двух очков}={ω_2, ω₃, ω₄, ω₅, ω₆}, .

На диаграмме Венна отношение A В означает, что множество А целиком содержится в множестве В.

Очевидны соотношения Ø A Ω.

Произведение двух событий. Произведением (пересечением) двух событий A и B назовем событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят одновременно оба события А и В, т. е. событие С состоит из элементарных исходов, принадлежащих одновременно событиям А и В. Обозначение: С = А ∩ В или .

Если АВ=Ø, то события A и B называют несовместными.

В третьем опыте события C={герб выпал не менее одного раза} и D={обе монеты упали одной стороной вверх} имеют непустое пересечение, CD={ω₁}, ω₁=(Г, Г). В первом опыте событие A несовместно с событием H: А={ω₂, ω₄, ω₆}, H ={ω₁, ω₃, ω₅} => АH =Ø.

Справедливы соотношения: АΩ=А, АØ=Ø, АВ=А, если A В.

Последнее соотношение означает, что включение события А в B, А В, эквивалентно выполнению равенства АВ=А.

Замечание. Определение произведения двух событий очевидным образом обобщается на определение произведения любого конечного числа событий. В частности, события А_1, А₂,…А_N называются попарно несовместными, если .

Это замечание касается всех операций над событиями, о которых речь пойдет дальше.

Сумма событий. Суммой (объединением) двух событий A и B называют событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий А, В, т.е. событие С состоит из эл. событий, принадлежащих либо событию A, либо событию B, либо тому и другому.

Обозначение: С=АUВ, С=А+В, если A∩В=Ø.

Справедливы соотношения: АUΩ=Ω, АUØ=A, АUB=B, если .

Разность событий. Разностью событий А и В называется событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А и не происходит событие В, т.е. событие С состоит из тех эл. событий, которые принадлежат A, но не принадлежат В. Обозначение: или С=А–В.

Справедливы соотношения: А–Ω=Ø, А–Ø=А; Ø–А=Ø; А–В=А, если A∩В=Ø; А–В=Ø, если А В.

Событие Ω – А принято обозначать символом и называть дополнением события А. Событие происходит тогда и только тогда, когда А не происходит. Событие Ā называют также событием, противоположным событию А.

В первом опыте событие A={выпадение четного числа очков}, тогда событие H={выпадение нечетного числа очков} является дополнением события A, то есть H= и наоборот A= .

Или пусть эксперимент состоит в стрельбе по мишени. Событие А={цель поражена}, событие = {цель не поражена}.

Отметим, что из включения A В следует включение . Справедливы соотношения: А =; А+ =; =, =, =А.

Симметрической разностью двух событий A и B называется объединение двух событий (А–В) и (В–А). Обозначение: С=А∆В= (А–В)U(B–A). Поскольку (А–В)∩(B–A)=Ø, то A∆B=(А–В)+(B–A). Кроме того, так как А–В=А∩ , В–А=В∩Ā, то А∆В=А + В. Если А∩В=Ø, то А∆В=А+В; если A В , то A∆В = В–А.

Приоритет выполнения вышеперечисленных действий: дополнение; умножение; сложение и вычитание.

Упражнение. Изобразить на диаграмме Венна все введенные выше арифметические операции.

Пользуясь диаграммой Венна легко показать справедливость формул де Моргана (шотландский математик и логик): , . Формулы справедливы для любого конечного числа событий.

Отметим, что все операции могут быть выражены через две – объединение и дополнение или пересечение и дополнение. Основанием для этого утверждения служат формулы де Моргана и соотношение А–В= А .