2.5. Определение объема выборки [2, с.44] (к заданию № 5 самостоятельной работы)

О т объема выборки (числа опытов) n зависит точность результатов, но и трудоемкость эксперимента. Минимально необходимый объем выборки n_min следует выбирать исходя из целей эксперимента. Если эксперимент проводят с целью оценки математического ожидания какого-либо параметра X, а генеральный стандарт  распределения X неизвестен (так обычно и бывает), то n_min определяют по следующей формуле (ср. с выражением (2.35)):

(2.36)

Далее следует задаться определенной степенью значимости  (например,  = 0,05, что соответствует доверительной вероятности Р = 1 -  = 0,95) и желаемым значением половины величины доверительного интервала _x, являющейся статистическим аналогом абсолютной погрешности x параметра X. Затем, при отсутствии априорной информации относительно значения s, проводят несколько опытов (например, n₁ = 3…5) и по их результатам определяют выборочный стандарт s. Но и в этом случае в выражении (2.36) остается неизвестным значение критерия t_,k, которое зависит от n. Поэтому (2.36) представляют в виде выражения (2.35) и рассчитывают значение _x при известных значениях n₁, s и t_,k (выбирают из табл. П2.3). Если значение _x оказалось больше его желаемого значения, то далее расчетным путем (путем последовательной подстановки в выражение (2.35) новых (увеличивающихся) значений n и соответствующих им значений t_,k) подбирают такое значение n_min, при котором должен быть достигнут желаемый результат относительно _x  x. После этого проводят дополнительное число опытов n_доп = n_min - n₁ и уточняют значения s и x при окончательном значении n = n_min.

С учетом выражения (2.31) для выборочного коэффициента корреляции: (2.31)

выражение (2.36) можно представить в виде следующего выражения: (2.37)

которое также используют для определения n_min.

В этом выражении параметр _x имеет смысл максимальной относительной ошибки (погрешности) оценки среднего значения :

(2.38)

В этом случае при подборе значения nmin оперируют понятиями  и X, но сам порядок процедуры не изменяется.

У словно считается, что минимальное число опытов (измерений) n_min не должно быть меньше численного значения коэффициента вариации , выраженного в процентах. Поэтому в упрощенном виде для установления значения n_min рекомендуется рассчитать  по результатам 35 опытов и добавить к ним необходимое количество дополнительных опытов (измерений). Корректировку необходимого объема испытаний проводят с помощью преобразованного выражения (2.37):

(2.39)

2.6. Погрешности измерений [1, с. 30 – 32; 3, с. 132] (к заданию № 6 самостоятельной работы)

Каждый результат измерения (наблюдения) – случайная величина. Отклонение реального результата от истинного называется ошибкой измерения. В зависимости от основных причин погрешностей (ошибок), возникающих при измерении различных величин, различают:

 погрешности, связанные с изменчивостью свойств объекта исследований;

 погрешности, обусловленные недостаточной квалификацией исследователя;

 погрешности (методические), связанные с недостатками в самом методе измерений (ошибки в расчетных выражениях, в порядке измерительных операций);

 погрешности (инструментальные), связанные с несовершенством измерительной аппаратуры и инструмента;

 погрешности, вызванные влиянием неучтенных факторов, в том числе воздействием факторов окружающей среды.

Ошибка измерения какой-либо случайной величины также является случайной величиной. Если обозначить истинный результат через а, результат измерения – через x, а погрешность (абсолютную погрешность) – через x, то: x = x – а . (2.40)

По характеру изменения величины погрешностей при повторных измерениях различают:

 систематическую погрешность (постоянную и переменную);

 случайную погрешность.

Условно к этой же классификации можно отнести и грубые ошибки (погрешности) измерений, которые возникают вследствие нарушения основных правил и условий измерения. Результат, содержащий грубую ошибку, резко отличается по величине от остальных измерений, на чем основаны статистические критерии исключения грубых ошибок.

Под систематической погрешностью _сист понимают составляющую погрешности измерений , сохраняющую (постоянная систематическая погрешность _пост) или принимающую закономерно изменяющиеся значения (переменная систематическая погрешность _пер). Случайная погрешность _сл – это составляющая погрешности измерений, случайным образом принимающая при неизменных условиях различные значения. В общем случае суммарная погрешность измерений складывается из ее составляющих:

 = _сист + _сл = _пост + _пер + _сл . (2.41)

Характерными причинами систематических погрешностей могут служить неправильная настройка приборов или ошибочная методика измерений. Систематические погрешности не могут быть выявлены методами математической статистики, поэтому они должны быть обязательно выявлены и исключены при проведении исследовательских работ. Возможными путями их выявления и устранения могут быть проведение измерений с помощью более точных приборов и эталонных образцов, последующей перенастройки прибора или введения поправки, равной систематической погрешности измерения. Случайные погрешности остаются после устранения всех выявленных грубых и систематических погрешностей и объективно обусловлены влиянием различных случайных факторов на объект измерений, на прибор, на метод и т.д. Для оценки ее величины используются статистические методы.

Р азличают также абсолютную (x) и относительную (_x) погрешности измерений. Последняя равна абсолютной величине отношения абсолютной погрешности к значению x самой измеряемой величины:

(2.42)

Измерения делят на прямые и косвенные. В первом случае непосредственно измеряется определяемая величина, при косвенных измерениях она задается некоторой функцией от непосредственно измеряемых величин. В связи с тем, что не все величины поддаются прямым измерениям, погрешности их измерения зависят от погрешностей вспомогательных параметров, участвующих в расчете искомой величины (косвенные измерения).

Т ак, если некоторая величина у определяется из уравнения у = f (x₁, x₂, … x_k), то при малых значениях абсолютных погрешностей x_i переменных x_i абсолютную погрешность у функции у = f (x₁, x₂, … x_k) (имеется в виду предельная абсолютная погрешность) приближенно заменяют на ее дифференциал dy и рассчитывают по следующему выражению [3, с. 132]:

( 2.43)

где – частная производная функции по переменной x_i (i = 1, 2, … , k).